Лекция Жоғары алгебрада бiр белгiсiздi көпмушелiктер сақинасы
жүктеу/скачать 42.44 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема .[7] Р[х] жиыны жоғарыда анықталған көпмүшелiктердi қосу және көбейту амалдарына қарағанда коммутативтiк(ауыстырымдылық) сақина болады. Дәлелдеуi.
- Сөйлем 2.
- Мысал
| (а0 + b0) + (а1 + b1) x + ...+ (аn + bn) хn
көпмүшелiктi f(х) жене g(х) көпмүшелiктерiнiң қосындысы деп атап, f(х) + g(х) түрiнде белгiлеймiз: f(х)+g(x) = (а0 + b0) + (a1 + b1) x +…+ (an + bn) xn Ал f(x), g(x) көпмүшеліктерінің көбейтіндісі деп а0b0 + (а0 b1 + b1a0)x +…+ (а0bs + а1bs-1 + ... + аsb0)xs +…+ anbn·xn+n мұнда аn ≠ 0, bn ≠ 0/, көпмүшелiктi айтамыз. Сонымен, f(х), g(х) көпмүшелiктер. Оның көбейтiндiсiн f(х)·g(х) түрiнде белгiлесек: f(x)· g(x) = a0b0 + (a0b1 + b1a0)x +…+ (anbn)xn+n. Бұл жағдайда кейбiр мүшелердiң коэффициентерi нөльдер болуы да мүмкiн. Егер f(х) = а0 + а1x +…+ аnхn g(х) = b0 + b1x +…+ bmxm болып және аn ≠ 0, bm ≠ 0 болса, онда f(х) g(х) = а0b0 + (а1b0 + b1a0 )х +…+ (аnbm)хn+m болар едi. Осылайша, Р[X] жиынында қосу және көбейту амалдарын анықтаймыз. Мысал. f(х) = х2+x+1, g(х) = 3х2+3 болса, онда f(х)·g(х) = (х2+x+1)(3x2+3) = (3х4+3х3+Зх2+3x2 +3x+3) = (3x4+3x3+6x2+3x+3). Р сандар өрiсiнде қосу және көбейту амалдары ушiн орын ауыстыру заңы орындалғандықтан, Р[X] жиынындада орын ауыстыру зандары орындалады. Р[Х] жиынында бiрлiк элементтің мiндетiн Р өрiсіндегi, ал нөльдiк элементтiң мiндетiн Р өрiсiндегi нөльдiк элемент атқарады. Теорема.[7] Р[х] жиыны жоғарыда анықталған көпмүшелiктердi қосу және көбейту амалдарына қарағанда коммутативтiк(ауыстырымдылық) сақина болады. Дәлелдеуi. Р[x] жиынында нольдiк және бiрлiк элементтердiң болатындығын жоғарыда айттық, онымен бiрге қосу және көбейту амалдарына карағанда орын ауыстыру зандарының орындалатындығьн ескерткенбiз. Ендi сақинаның қалған талаптарының орындалатындығын қарастырайық. f(х) = а0 + а1x +…+ аnхn көпмүшелiгi h(x) = -a0 –a1x-…-anxn көпмүiшелiгiне қарама-қарсы элемент болатындығы түсiнiктi, өйткенi f(х) + h(х) = 0 болады. Сонымен, Р[x] жиынында азайту амалы орындалады. Р[x] жиынында қосу амалына карағанда (ассоциативтілік(топталу) заңының орындалатындығын көрсетелiк. f(х) = a0 + a1x +...+ anxn, g(x) = b0 + b1x +…+ bkxk, h(x) = c0 + c1x +…+ cmxm болсын. Сонда (f(х)(g(x))h(x) = а0b0c0 + (а0b0с1 + а0b1c0+ а1b0с0)х + ... + аnbkcmxn+m+k. f(x)(g(x)h(x)) = (а0 + а1x +... + аnхn)(b0с0 + (b0с1 + с0b1)x +…+ bmckxm+k) = а0b0c0 + (а0b0с1 + а0b1c0 + а1b0c0)x +… +anbkcmxn+m+k. Сонымен, (f(х)(g(x))h(x) = f(x)((g(x)h(x)). Р[х] жиынында үлестiру заңы (f(х) + (g(х))h(x) = f(х)h(x) + (g(x)h(x) орындалатындығын тексеру де оңай. Олай болса, Р жиыны көпмүшеліктердi қосу және көбейту амалдарына карағанда сақина болады. Теорема делелдендi. Анықтама. Егер аn ≠ 0 болса, f(х) = а0 + а1x +… + аnхn көпмүшелiгiнiң дәрежесi деп n санын айтамыз, кейде оны n=0(f(х)) түрiнде белгiлейдi. Сонда дәрежесі нөль болатын көпмүшелiктер Р өрiсiнiң элементтерi болады. Сөйлем 1. f(х) = а0 + a1x + ... + аnхn , аn ≠ 0 g(х) = b0 + b1x + ... + bmxm , bm ≠ 0 көпмүiшелiктерiнiң бiрдей немесе f(х) = g(х) болуына қажеттi және жеткілiктi шарт: n = m және аi = bi ,(i=0,1,…,n) болуы. Сөйлем 2. f(х) көпмүшелігінің нольдiк көпмүшелiк болуына кажет және жеткiліктi шарт: оның барлық коэффициентерiнің нөльге тең болуы. Сөйлем 3. Егер f(х) және g(х) көпмүшелiктерi нөльден өзгеше болса, олардың көбейтіндiсi- f(х)·g(х) көпмүшелiгi де нөльден өзгеше болады. Шындығында, f(х) = а0 + а1х +...+ аnхn, an ≠ 0 g(х) = b0 + b1х +...+ bmхm , bm ≠ 0 болса, онда (аmbm) ≠ 0. Сондықтан, f(х) g(х) а0b0 + (а0b0 + b1a0) + ... + (аnbn)xn+m ≠ 0. Бұл жағдайда f(х) және g(х) көпмүшелiктерiнiң көбейтiндсiнiң дәрежесi m + n санына тең. Анықтама. f(х) = а0 + а1x + ... + аnxn көпмүшелiгiнiң х = с санындағы мәнi деп d = (а0 + аic + ... + аnсn ) санын айтамыз, оны d = f(с) түрiнде белгiлеймiз. Сөйлем 4. а) Егер, f(х) = g(х) болса, онда f(с) = g(с). b) Егер, h(х) = g(x)+f(х) болса, онда h(с) = g(c) + f(с) . d) Егер, h(х) = g(х)·f(х) болса, онда h(с) = g(с)·f(с). Бұл сөйлемдi дәлелдеу жеңiл. Мысал: f(х) = х2 + 1, g(х) = х + 1 болсын. с = 2 деп алсақ, онда f(с) = 5, g(с) = 3. h1(x) = f(x) + g(x) = х2 + x +2, h2(x) = f(х) g(х) = (х2 + 1)(х + 1) = х3+ х2 + х + 1 болғанда, h1(2) = 8 = 5 + 3 = f(2) + g(2) h2(2) = 15 = f(2)· g(2). жүктеу/скачать 42.44 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|