Лекция конспектісі «6В06103 Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету» мамандығы үшін Шымкент 2023 «Деректер қорын құру және басқару»

Позициялық жүйеде
A = d _n d_n-1 ,..., d₁d₀ , d _-1 , d_-2 ...d _m аралас санын мынадай полином

т
1

0

-1

-2
үрінде көрсетуге болады:

A
n
= d _n h
+ d _n-1h
n-1
+ ...
+ d₁h
+ d₀ h
+ d _-1h
+ d_-2 h
+ ...
+ d _-m h
- m _,
мұнда h - санау

жүйесінің негізі,
hⁱ - A
санындағы i-разрядтың салмағы,
d_i - санау жүйесіндегі

цифрдан түратын коэффицент. Ең көп таралған санау жүйесіне екілік, ондық, сегіздік жəне оналтылық санау жүйелерін жатқызуға болады. А саны өрнектелетін санау жүйесін көрсету үшін сан жанына қойылатын төменгі индексті пайдаланады; А_h. Ондық санау жүйесінің негізгі h=10. сандарды жазып көрсету үшін 0-ден 9-ға дейінгі 10 əр түрлі бүтін цифрлар (араб цифрлары) қолданылады. Есептеулерді орындау ережелері қосу жəне көбейту кестелері арқылы анықталады.
Екілік санау жүйесінің негізгі h=2, ол 10₂ түрінде (екілік санау жүйсінде) жазылады. Екілік жүйеде екі цифр – 0 жəне 1 қолданылады. Арифметикалық амалдар екілік жүйеде төменде көрсетілген ережелер арқылы орындалады.

Екілік қосу
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
Екілік азайту
0-0=0
1-0=1
1-1=0
10-1=1
Екілік көбейту
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

Сегіздік санау жүйесінің негізгі h=8, ол 10₈ түрінде жазылады. Жүйеде 8 ондық цифрлар қолданылады: 0,1,2,3,4,5,6,7. арифметикалық амалдарды қосу жəне көбейту кестелеріне сəйкес орындалады (2.11 жəне 2.12-кестелер).

1. 
   – кесте
   

+	0	1	2	3	4	5	6	7	10
0	0	1	2	3	4	5	6	7	10
1	1	2	3	4	5	6	7	10	11
2	2	3	4	5	6	7	10	11	12
3	3	4	5	6	7	10	11	12	13
4	4	5	6	7	10	11	12	13	14
5	5	6	7	10	11	12	13	14	15
6	6	7	10	11	12	13	14	15	16
7	7	10	11	12	13	14	15	16	17
10	10	11	12	13	14	15	16	17	20

Оналтылық санау жүйесінде h=16, ол 10₁₆ түрінде жазылады. Бірінші он символдарды белгілеу үшін ондық жүйеде қолданылатын 10 цифр пайдаланылады, ал 10, 11, 12, 13, 14, 15 мəндерін белгілеу үшін латын алфавитінің алғашқы алты əрпі қолданылады: А,В,С,Д,Е,F.

2. 
   – кесте
   

*	0	1	2	3	4	5	6	7	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	10
2	0	2	4	6	10	12	14	16	20
3	0	3	6	11	14	17	22	25	30
4	0	4	10	14	20	24	30	34	40
5	0	5	12	17	24	31	36	43	50
6	0	6	14	22	30	36	44	52	60
7	0	7	16	25	34	43	52	61	70
10	0	10	20	30	40	50	60	70	100

Оналтылық жүйеде қосу жəне көбейту амалдарын орындау үшін 2.11 жəне 2.12-кестелері пайдаланылады.
Сандарды бір позициялық санау жүйесінен екінші жүйеге аудару. Цифрлық автоматтарда түрлі санау жүйелері қолданылатын болғандықтан сандарды бір жүйеден екінші жүйеге аудару қажеттігі туып отырады. Сандарды бір жүйеден екінші жүйеге аударудың бірнеше тəсілдері бар. Ең қарапайым тəсіл баламалар кестелеріне негізделген. Бұл тəсіл тек санау жүйесінің негіздері q мен h бір бірімен q=h^k (k>1-бүтін сан) тəуелділігінде болған жағдайда ғана қолданылады. Сандарды бір жүйеден екінші жүйеге аудару бастапқы жүйе цифрларының əрқайсысын оның жаңа санау жүйесіндегі баламаларымен ауыстыруарқылы іске асырады.
q=h^k шарты орындалмаған жағдайда санның бүтін бөлігін жаңа санау жүйесінің негізін q-ға бөлуге жəне бөлшек бөлігін осы негізге көбейтуге негізделген басқа тəсіл қолданылады. Санның бүтін бөлігін аудару үшін оны жəне бөлгеннен кейін алынған бөліндіні біртіндеп (тізбектеп) жаңа санау
жүйесінің негізгі q-ға кезекті бөлінді q-дан кем болғанша бөлінеді. Алынған ретінде кері жазылған соңғы бөлінді мен қалдықтар тізбегі санның бүтін бөлігінің жаңа санау жүйесіндегі мəнін береді. Бұл жерде мынаны ескерген жөн. Санды жаңа негізге бөлгенде арифметикалық амалдар бастапқы санау жүйесінде жүргізіледі, іздеп отырған санның цифрлары да осы жүйеде алынып, олар жаңа санау жүйесінің эквиваленттерімен ауыстырылады.
Санның бөлшек бөлігін аудару үшін оны жəне көбейткеннен кейін алынған кезекті бөлшекті жаңа санау жүйесінің негізгі q-ға біртіндеп (тізбектеп) көбейту керек. Көбейтілгеннен кейінгі алынған бүтін бөліктер негізгі q болатын санау жүйесіндегі санның бөлшек бөлігі болады. Көбейтулер саны алынатын нəтиженің керекті дəлдігімен анықталады.
С
1

0

-1

-2

- m
андарды бір жүйеден екінші жүйеге полином түрінде көрсету арқылы аударуға болады. Кез келген А=a_na_n-1…a₁a₀a_-1a_-2…a_-m саны

A
n
= a_n h
+ a_n-1h
n-1
+ ... + a₁h
+ a₀ h
+ a_-1h
+ a_-2 h
+ ... + A_-m h
өрнектеледі, мұнда

берілген санның бастапқы негізі,
a_i -санау жүйесіндегі цифрлар.

Негізі q болатын санау жүйесіндегі А санын басқа жүйеге аудару үшін баламалар кестесіне сəйкес полиномдағы a_i жəне h цифрларын олардың q жүйесіндегі баламалармен ауыстырып, тиісті амалдарды q санау жүйесінде
орындау керек.
Қазіргі цифрлық машиналарында негізі 2, 8, 16 болатын жəне екілі-ондық позициялы санау жүйелері кеңінен қолданылады. Мамандандырылған жəне арнаулы машиналар басқа да санау жүйелері қолданылады (қалдықтар кластары, молдық санау жүйелері т.б.).