Итерациялық әдістердің жинақталуы

Итерация әдісін қолдану үшін, берілген жүйенің жолдарының орынын ауыстып, жүйенің матрицасының диагоналінің бойында модулі бойынша ең үлкен коэффициент тұруы қажет. Егер бұл жағдайда (3.5.5) шарты орындалмаса, онда келесі әдістің көмегімен әдістің жинақты болуын қамтамасыз етуге болады.

Айталық жүйесі берілсін. Оны мына түрге келтіреміз

,

мұнда

Бұл жерде - кейбір матрица. Бізге шарты орындалатын матрицасын таңдау қажет.Келесі теореманы дәлелдейік.

онда итерация әдісі алғашқы жуықтауға тәуелсіз жинақты болады.

Зерттеуді мына мөлшер үшін жүргіземіз

Келесі белгілеулерді енгіземіз:

Бұл белгілеулерді пайдаланып (4.3.6) теңдігін мынадай түрде жазуға болады

мұнда где - және векторларының скалярлық көбейтіндісі.

(3.5.8)-ден мынаны аламыз

. (3.5.9)

, мұнда - скалярлық шамасын алайық. Егер үшін шамасын алсақ, онда (4.3.9) теңсіздігінің оң жағындағы бірінші қосылғышы нульге айналып, мынаны аламыз

.

Себебі , онда (3.5.7) шартын ескерсек

(3.5.10) теңсіздігін ескеріп екенін аламыз, демек, 1-ші теоремаға сәйкес итерациялық процессі жинақты болады. Теорема дәлелденді.