Лекция конспектісі 6В070400-Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы үшін

Шектік есептерді шешу әдістері. Айырымдар аппароксимациялау.

Ішектің тербелісі мен жылу өткізгіштік теңдеулерінің айырымдылық сұлбалары.

Айырымдылық сұлбалардың жинақтығы мен орнықтылығы арасындағы байланыс.

1. 
   Шектік айырымдар
   
2. 
   Жылу өткізгіштік теңдеу үшін қуалау әдісі.
   
3. 
   Айырымдық схемалардың жинақтылығы, аппроксимациясы (жуықтау), орнықтылығы.
   

(дәріс материалы)

1. 
   Шектік айырымдар
   

Интерполяциялау тораптары бірдей қашықтықта орналасқан деп аталады, егер

Шектік айырымдардың кейбір қассиеттері

2. Функцияны тұрақты көбейткішке көбейткенде, оның шектік айырымы да сол көбейткішке көбейтіледі.

3. n – ші ретті шектік айырымның, m – ші ретті шектік айырымы, (m+n) – ші ретті шектік айырымға тең.

4. n – ші ретті көпмүшеліктің n – ші ретті шекті айырымы тұрақты шама, ал (n +1) – ші ретті шектік айырымы нульге тең.

2. 
   Жылу өткізгіштік теңдеу үшін қуалау әдісі.
   

Теңдеуді шешу үшін қуалау әдісі қолданылады. Ол тура және кері жүрістен тұрады.

1) Тура жүрісте a_1,j+1, b_1,j+1, a_i,j+1, b_i,j+1 мәндері есептеледі.

2) Кері жүрісте u_i,j+1 мәндері тізбектеп есептеледі.

u_i,j+1=a_i,j+1(b_i,j+1+u_i+1,j+1)

Табылған мәндер Ms Exsel кестесіне толтырылады.

3. 
   Айырымдық схемалардың жинақтылығы, аппроксимациясы (жуықтау), орнықтылығы.
   

Берілген бастапқы және шекаралық шартты қанағаттандыратын дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің шешімін табу керек. Берілген дифференциалдық есепті операторлық түрде былай жазуға болады.

Бұл операторлық теңдеу, берілген дифференциалдық теңдеуді ғана емес, және қосымша (бастапқы және шекаралық) шарттарды қамтиды. -функциясы теңдеудің оң жағын, бастапқы және шекаралық шарттарды өрнектейді. G-есептеу облысы, Г-шекарасы, - жиыны толық облыс. функцияның тораптарда анықталған мәні, торлық функция.

(1)-ші дифференциалдық есепті айырымдық есептермен алмастырамыз. Тор тек бір параметр -қа байланысты деп есептейік. Уақыт бойынша қадам болсын, . Айырымдық есепті операторлық түрде былай жазамыз.

, (2)

- айырымдық оператор, операторына сәйкес.

Тордың тораптарындағы торлық функцияның мәні, ізделініп отырған функцияның мәнін осы тораптарда жуықтап алмастырады.Алмастыру қателігі

Енді осы қателіктердің кейбір сипаттамасын енгізейік. Мысалы, олардың тораптардағы мәндерінің модулі бойынша максимумы

онда (2)-ші айырымдық схема жинақтыдеп аталады. Егер , мұнда , болса, онда схема К-шы ретті дәлдікті схема болады, немесе оның жинақталу жылдамдығы .

Бірнеше тәуелсіз айнымалы шамаға байланысты схеманың дәлдігін оның қадамдарының мәнімен бағалауға болады.

Мысалы. шарты орындалса, онда h-бойынша -шы ретті, -бойынша -шы ретті дәлдікті схема, жинақталу жылдамдығы .

Шешімнің тордағы қателігі үшін теңдеу жазайық. . Осыдан . -тың осы мәнін айырымдық (2)-ші теңдеуге қойып мынаны аламыз.

,

, (5)

-шамасы айырымдық схеманы аппроксимациялау қателігі деп аталады. -үшін сипаттама енгізейік, Мысалы

(6)

Онда, егер болса, онда аппроксимацияның -бойынша реті -ға тең. Егер -мәндері тәуелсіз болса, онда болса, айырымдық схеманың аппроксимациялау реті кеңістік бойынша p-ға уақыт бойынша q- ға тең.

(2) айырымдық схема (1) дифференциалдық есепті аппроксимациялайтын болса, онда тор қадамдарын кішірейткенде аппроксимациялау қателігі нульге ұмтылады, яғни

. (7)

Егер шешім бастапқы және шекаралық шарттармен үзіліссіз байланыста болса, яғни қосымша шарттардың аз өзгерісіне шешімнің аз өзгерісі сай келсе, онда айырымдық схема орнықты деп аталады.