Лекция конспектісі 6В070400-Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы үшін
Интерполяциялау есебінің математикалық қойылымы. Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі
жүктеу/скачать 1.26 Mb.
|
| Интерполяциялау есебінің математикалық қойылымы. Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі
[a,b] кесіндісінде y=f(x) функциясы интернациялау терандары деп аталатын x ,x ,...,x нүктелеріндегі мәндерімен y0=f(x0), y=f(x ),…,y =f(x ). xi нүктелерінде у мәндерін қабылдайтын, яғни у =F(x )=f(x ), y =F(x )=f(x ),…, y =F(x )=f(x ) теңдіктерін қанағаттандыратын F(х) функциясының аналитикалық өрнегін табу керек.Функцияның интерполяциялау тораптарында жатпайтын нүктелеріндегі мәнін есептеуді функцияны интерполяциялау деп атайды. Егер х нүктесі интерполяциялау кесіндісінің [x ,x ] сыртында жатса, онда функцияның осы нүктедегі мәнін табуды экстрополяциялау деп атайды. Бір айнымалы функцияны y=f(x) интерполяциялаудың геометриялық мағынасы, жазықтықта координаталары (х ,у ),(х ,у ),...,(х ,у ) нүктелері арқылы өтетін қисықты тұрғызу болып табылады. Берілген нүктелер арқылы бірнеше қисықтар жүргізуге болады. Өзінің n+1 нүктедегі мәндерімен берілген у=f(x) функциясын интерполяциялау үшін, дәрежесі n – нен жоғары емес Fn(x) көпмүшелігін былай етіп алсақ
бұл есеп бір мәнді болады. Бұл шартты қанағаттындаттыратын F (x) көпмүшелігін интерполяциялаушы көпмүшелік, ал оған сәйкес формуланы – интерполяция формуласы деп атаймыз. Егер F(x) үшін дәрежелік функция алынса, онда интерполяция параболалық деп аталады. Егер интерполяцияланушы функция f(x)- периодты болса, онда F(x) үшін тригонометриялық функциялар алынады. Кейбір жағдайларда рационал функциялар алынады. Функцияны интерполяциялау кезінде мынадай сұрақтар туындайды: 1) берілген жағдай үшін интерполяциялаушы функцияны тұрғызудың ыңғайлы әдісін таңдау; 2) f(x)-ті F(x)-пен айырбастаудың қателігі; 3) интерполяциялау тораптарын қателік ең аз болатындай етіп алу. [a,b] кесіндісінде интерполяциялау тораптарындағы х ,х ,...,х өзінің n+1 мәнімен f(x) функйиясы берілсін, яғни y =f(x ), y =f(x ),…, y =(x ) (1) Интерполяциялау тораптарында х ,х ,...х мәндері берілген функцияның мәндерімен дәл келетін, яғни L(x )=y , L(x )=y ,…, L(x )=y (2) көпмүшелігін табу керек. Бұл жағдайда интерполяциялау тораптары бір – біріне әртүрлі қашықтықта орналасуы мүмкін, яғни h=x - x const(i=0,1,..,n-1). h-интерполяция қадамы деп аталады. L(x) көпмүшелігін мына түрде алайық L (x)=a +a x+…+a x мұнда а -белгісіз коофиценттер, табу керек. Алғашқы шарт (2) бойынша, интерполяция тораптарында интерполяциялаушы көпмүшеліктің түрі мынадай болады
Бұны n+1 белгісізі а ,а ,...,а бар n+1 теңдеу түрінде жазайық. a +a x +a x +,,,+a x =y , a + a x +a x +,,,+ а x = y , ...,
a + a x + a x +,,,+ a x = y . (4) Мұнда х және у (і=0,1,..,n) аргумент пен функцияның кестелік мәндері. Белгісіз коэффициенттер а , Крамер формуласы бойынша анықталады
Егер болса жүйенің бір ғана шешімі болады x , х ,..., x . Коофиценттерді тауып a ,a ,...,a интерполяциялық көпмүшелікті былай жазуға болады
бұны басқаша былай жазуға болады L (x)=y Q (x)+y Q (x)+…+ y Q (x). (5) Q (x)функциясы мына шартты қанағаттандыруы керек Мұндай көпмүшеліктің түрі мынадай болады Q (х)= (6) x ,x ,x нүктелерінде Q (х) =0, ал х нүктесінің Q (х )=1. (5) – формула үшін мынадай өрнек аламыз. L (x)=y +у +... +y (7) Бұл Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі деп аталады. Қысқаша былай жазуға болады L (x)= (8) Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігінің қателігі мына формуламен бағаланады (9) мұндағы . жүктеу/скачать 1.26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|