Лекция конспектісі 6В070400-Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы үшін
жүктеу/скачать 1.26 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Мысал
- Квадратуралық формулалардың дәлдігін бағалау туралы
| Сплайн квадратуралық формуласы. Кубтық сплайн функцияларымен интерполяциялау
Анықталған интегралдың сан мәнін жуықгап есептеу үшін қолданылатын әдістердің бірі, интегралдайтын функцияны — сплайн функция арқылы интерполяциялауға негізделген. [а,b] кесіндісін хі, і=1,..., п нүктелерімен әрбіреуінің ұзындығы hi = хі – хi-1 тең n-бөлікке бөлеміз. Әрбір [хі,хі-1], і = 1,2,...,п аралығында f(x) функциясын кубтық: Si(xi) = ai+bi(x-xi-l)+ci(x-xi-1)2+di(x-xi)3,xi-1 сплайн-функциямен интерполяциялап, (1) интегралы үшін (15) өрнекті пайдаланып есептеу нәтижесінде: мұнда: (17) (16) формуланы түрлеңдіріп, практикада қоддануға ыңғайлы тұрге келтіреміз. Міне, бұл формуладағы 1-ші қосынды: трапеция формуласы, ал 2-ші қосынды сплайнды қолдан-ғаңда трапеция формуласына түзету енгізілгендіктен: Демек, трапеция формуласына қосымша түзету оның қалдық мүшесінің шамасындай болады. Мысал. интегралын сплайн интерпо-ляциялау әдісі арқылы, мәнін e = 0,01 дәлдікпен есептең-дер. Шешуі. [-2,2] аралығын хo = -2, х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2 нуктелерімен 3 бөлікке бөлеміз. Бөлу нүктелерінде функ-цияның мәндері: (17) теңдеулер жуйесінен с1=0, с4= 0, 2с1+6c2+с3= 27, с2+4с3 +с4=18. Бұдан с3 =81/23, с2 =90/23. (17) формула бойынша: ≈ 17,4783. Айталық, а = xo 1°. Әрбір [xi-1, xi], і = 1,...,п аралықтарында f(x) функциясын интерполяциялаушы (3-ші дөрежелі) S(xi) функциясы - кубтық полином болады: Si(x) = ai+bi(x - xi-1) + ci(x - xi+l)2+di(x-xi-1)3, i = l,...,n (1) 2. Si(xi-1) = yi-1 Si(xi)=yi, і = 1,...,п-1 (Лагранж шарты). 3. (xі-1, yi-1) және (xі, уі) нүктелерінен өтетін Si(x) полиномынан (xі,уі) және (хі+1, yi+1) нүктелерінен өтетін Si+1(x) полиномына көшу жазық (плавный) болуы керек: 4. шарттарын қанағаттандыратын Si(x) сплайн-функция қүру қажет. Міне, осы 1-4 шарттардьі пайдаланып және hi = xi-xi-1, і=1,...,п белгілеулерін енгізіп, аi , bi, ci, di, i =1,...,п барлығы 4n коэффициенттерді табуға жеткілікті 4n сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз: (2) Бұл жуйені мүның алдындағы лабораториялық жұмыста қарастырған әдістердің бірімен шешуге болады. (2) тендеулер жүйесін шешу барысында ЭЕМ-ның жадын жөне есептеу уақытын үнемдеу мақсатымен бүл жуйені арнаулы түрге келтіреміз: (3) Ол үшін аi,di, і=1,...,п коэффициенттерін (2) жүйенің 1-ші тендеуінен анықтап, қалған bi, di коэффициенттерін ci коэффициенттері арқылы өрнектейміз: (4) аi ,di мәндерін (2) жүйенің 3-шісіне қойып: (5) Сонда тек қана сi коэффициенттері үшін: (6) тендеулерін табамыз. і = п болғанда (6) жүйеде ci+1 = 0 деп алу қажет. (6) жүйенің матрицасы — үш диагональды матрица. Оны "қуалау" өді-сімен шешуге болады. Қуалау әдісінің алгоритмі [24] қарастырылған. Бастапқыда с1 = k1 – l1с2, с2 ¹ 0 қатынасында k1=0, l1=0 болады. Ал cn =kn - lncn+1= 0 қатынасында сn+1= 0 болғандықтан сn = kn. Әрі қарай, і = п-1, n-2,...,2 мәндерінде (7) формуламен барлық п қос "қуалау" коэффииненттерін анықтап, (8) формуламен қажетті сп-1,сn-2,...,с2 белгісіздерді табамыз. Бұдан кейін (4)—(6) формулаларымен барлық bi, di коэффициент-терін анықтаймыз. (1) қатынаспен әрбір [хi-1, хi] аралық үшін Si(x) сплайн-функциялар құрамыз. Сплайн-функциясымен интерполяциялаудың абсолют қателігі: Квадратуралық формулалардың дәлдігін бағалау туралы Трапеция және Симпсон формулалары бойынша интегралдау әдісінің қателігін бағалау, тек интеграл астындағы функция аналитикалық түрде берілгенде ғана мүмкін болады. Бұл жағдайдың өзінде де, қарастырылған интегралдау әдістерінің әрқайсысы үшін жарамды, тәжірибе жүзінде кеңінен қолданылатын келесі әдісті қарастырамыз. Ізделініп отырған интеграл кесіндісін n және 2n бөлікке бөлу арқылы 2 рет есептеледі (интегралдағанда Симпсон формуласы бойынша n жұп сан болу керек). Содан соң интегралдан алынған мән (оларды In және I2n деп белгілейміз) салыстырылады және сәйкес бірінші ондық белгі дұрыс деп саналады. Симпсон әдісінің қателігін бағалау үшін жай формула қолданылады. Rn, R2n -Симпсон формуласы бойынша интегралдау қателіктері, сәйкесінше кесінді n және 2n бөлікке бөлінеді. (8.36) бағалауды есептей отырып, мына теңдікті құруға болады:
Мұндағы, hn және h2n - кесіндінің бөлінгендегі ұзындығы (нтегралдау қадамы) 1-ші және 2- ші жағдайда. Бізге белгілі h2n =hn /2 (6.38) формуладан аламыз: Rn=16R2n (9) Егер I-интегралдық шын мән болса, онда I=In+Rn және I=I2n +R2n бұдан I+16R2n=I2n+R2n , яғни:
(6.40) формула Симпсон әдісінің қателігін тәжірибелі бағалауда қолайлы, бірақ екі рет есептеуді қажет етеді. (6.33) және (6.36) бағалау формулаларынан трапеция және Симпсон әдістері бойынша интегралдау қателігі интегралдау қадамының азаюымен бірге азаюы байқалады. (әсіресе бұл (6.39) Симпсон формуласына тән). Осының негізінде шешім қабылдайық, бөлінген кесіндінің саны біртіндеп өскенде біз интегралдың мәнін аламыз, бұның бәрі шындыққа жуықтайды. Бірақ бұның шешімі теориялық мәнге тура келеді. Тәжірибе жүзінде есептесек бөлінген кесіндінің саны біртіндеп екі еселенгенде қателіктің салмағы жуықтап алынады. Бұның мәні әрбір моментке дейін интегралдық шешімнің жеткен нүктесіне шектеу қояды (нақтылай қарасақ көрсетілген қатенің интегралдық шешіміне әсері көрсетілген).
жүктеу/скачать 1.26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|