Лекция Основы вариационного исчисления



жүктеу 78.79 Kb.
Дата19.07.2016
өлшемі78.79 Kb.




Лекция 1.

Основы вариационного исчисления.

Содержание лекции:

понятие функционала; вариация аргумента; непрерывность; близость функций; линейные функционалы; вариация функционала; максимум и минимум функционала; необходимые условия эстремума функционала; уравнение Эйлера; примеры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функционалами называются переменные величины, значения которых зависят от выбора одной или нескольких функций функций одной или нескольких переменных.

Функционал от одной функции одного переменного:

Определение: Переменная величина называется функционалом, зависящим от функций из выранного класса функций, т.е.

,

если для каждой функции , данного класса определено число



Определение: Приращением или вариацией аргумента функционала называется разность между двумя функциями данного класса

Определение: Изменение функции считается малым порядка ,

если для малой величины





...............................



для всех



Определение: Функционал называется непрерывным порядка при , если для такое, что

для всех функций , удовлетворяющих условиям:





...............................



для всех



Определение: Функционал называется линейным, если для любых чисел и любых функций из данного класса

.

Определение: Если приращение функционала можно представить в виде

где

линейный функционал по , а при , то

называется вариацией функционала

Другими словами вариацией функционала называется линейная по отношению к вариации аргумента часть его приращения.

С практической точки зрения удобно следующее представление вариации функционала

(1)

Определение: Функционал имеет локальный максимум при , если для любой функции близкой к выполняется неравенство . Если близость нулевого порядка, то максимум называется сильным, если первого и выше, то слабым. Аналогично определяется минимум функционала.

Как и для функций необходимыми условиями существования экстремума непрерывного функционала, имеющего вариацию, является равенство нулю вариации функционала.

Действительно, пусть экстремальное значение функционала достигается на кривой , а кривая близка к . Рассмотрим семейство функций

На кривых этого семейства функционал будет просто функцией переменной , т.е.



Учитывая необходимые условия локального экстремума функции одной переменной при получим Поскольку согласно представлению (1) для вариации функционала

отсюда следует необходимое условие экстремума функционала, а именно при локального экстремума вариация функционала должна быть равной нулю



(2)

Уравнение Эйлера. Рассмотрим нахождение экстремума функционалов вида

для функций с условиями

Для рассматриваемого функционала функция будет иметь вид



, а ее производная по переменной будет соответсвенно такой

(3)

Рассмотрим отдельно производные, входящие в (3)



(4)

Учитывая второе равенство (4), получим



В силу граничных условий вариация на границах, т.е. при Поэтому условие равенства нулю вариации функционала , согласно (3) примет вид



Поскольку это условие должно выполняться для произвольной вариации , отсюда следует уравнение

(5)

или в развернутом виде



. (5’)

Уравнение (5), это одно из основных уравнений вариационного исчисления – уравнение Эйлера для нахождения функций, на которых функционал принимает экстремальное значение. Рассмотрим несколько примеров использования уравнения Эйлера.

Пример 1. Найти экстремальные кривые функционала

Находим: Отсюда уравнение Эйлера в данном конкретном случае будет иметь вид Экстремальные кривые , а решение нашей задачи

Пример 2. Найти экстремальные кривые функционала (минимум длины кривой рис.1)



Рис.1


Уравнение Эйлера:

Пример 3. Найти экстремальную кривую, соответствующую минимальной площади поверхности вращения (рис.2).

Рис.2


Так как

Если уравнение Эйлера умножить на , получим .

Это уравнение имеет первый интеграл



Подстановка дает

Или после исключения уравнение цепной линии

Пример 4. Найти кривую, проходящую через две заданные на плоскость точки при условии минимума времени движения материальной точки по данной кривой в поле сил тяжести, считая связь идеальной (трения нет) рис3.



Рис.3


Учитывая, что получим для времени движения функционал

Условия экстремума функционала приводят к уравнению

Подстановка приводит к последовательным результатам:



Это кривая из семейства циклоид. По такой кривой движется точка обода колеса при качении по прямой без проскальзывания.



Функционал от нескольких переменных ( например). Экстремум определяется аналогично экстремуму функции нескольких переменных. Сначала рассматривается , затем В каждом из этих случаев получается свое уравнение Эйлера, а вместе они дают систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений: (6)

Пример: Найти экстремальные функции для функционала

Система (6) в этом случае будет такой



С учетом граничных значений получим


Экстремум функционала, зависящего от производных более высокого порядка, чем первый.





Если взять вариацию данного функционала и проинтегрировать ее по частям n раз, получим с учетом равенства нулю на границах вариаций

,

из которого следует уравнение Эйлера – Пуассона

(7)

Пример: Рассмотрим равновесие балки с жестко заделаными концами.

Рис.4


Уравнения равновесия балки можно получить если рассмотреть выделенный участок, заменив отброшенные части балки силами и моментами (рис.4), считая момент относительно левого края выделенного элемента

где вектор линейной плотности распределенных нагрузок, вектор касательной к срединному волокну балки, длина выделенного элемента.

Если считать прогибы малыми и рассматривать плоский случай, то

.

В проекции на ось получим для равновесия сил:



(8)

В проекции моментов на ось получим из равновесия моментов:



(9)

Если считать, что сечения балки, нормальные к срединному волокну, остаются таковыми и после деформации, а материал балки упругий то (кривизна срединного волокна, в случае малых прогибов ) В качестве распределенных сил рассмотрим силы тяжести С учетом этого получим для прогибов балки уравнение:



(10)

В рассматриваемой задаче граничными условиями будут условия жесткой заделки:



Решением уравнения (10) будет функция





Рассмотрим зкстремум функционала .

Согласно уравнению (7) получим:



Очевидно, что полученное уравнение совпадает с уравнением равновесия балки (10).

Обратим внимание на то, что первое слагаемое в интеграле – плотность упругой энергии, а второе плотность потенциальной энергии. Таким образом минимум функционала соответствует минимуму полной энергии балки.



Функционалы от функций нескольких переменных:

Рассмотрим семейство функций

Как и ранее будем пользоваться представлением вариации функционала в форме

Введем обозначения: тогда



,

С учетом введенных обозначений вариацию функционала можно представить в виде



(11)

Воспользуемся тем, что



(12)

Подстановка выражений из (12) в (11) дает



(13)

где означает полную производную по при и аналогично полную производную по при Если расписать эти производные, получим




Используя формулу Остроградского а также то, что на контуре вариация в силу граничных условий, получим

Тогда из (11),(13) следует, что



(14)

Из условия равенства нулю вариации получим уравнение Остроградского (1834 г.):



(15)

где

Это уравнение в частных производных с соответствующим граничным условием позволяет определить экстремаль функционала

Пример 1. Найти экстремаль функционала

В рассматриваемом случае

Таким образом эстремаль функционала представляет решение задачи дирихле для уравнения Лапласа.

Пример 2. Найти экстремаль функционала

Уравнение Остроградского дает

Таким образом экстремаль функционала в этом случае представляет решение уравнения Пуассона для данной области.

Пример 2. Найти поверхность минимальной площади, натянутую на контур С функционала

Это мыльного пузыря, натянутого на контур. Уравнение Остроградского при этом имеет вид



Экстремум функционала при наличии внешних связей.



Составим новую функцию (неопределенные множители Лагранжа) и будем искать экстремум функционала



В результате получим систему уравнений Эйлера



дополненную уравнениями связей

Пример 1. Пользуясь принципом Остроградского-Гамильтона, т.е. минимума ,

где , найти уравнения движения системы материальных точек массы с координатами под действием сил, с потенциалом при наличии связей



.

Найдем экстремали функционала

Вспомогательный функционал

Система уравнений Эйлера:







и уравнения связей замкнутая система уравнений относительно



Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Получить уравнения колебаний струны, считая, что плотность потенциальнай энергии элемента струны пропорциональна его относительному удлинению.

Задача 2. Вывести уравнения поперечных колебаний прямолинейного стержня, считая, что плотность потенциальной энергии пропорциональна квадрату кривизны его срединного волокна.


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет