Нормаланған кеңістік деп сызықтық кеңістіктің кез-келген х үшін сол элементтің оң мәні немесе алынды дейміз, егер төмендегі 3 қасиет орындалса:
1)
2)
3)
8.Гильберт және Евклид кеңістігі.Ортогональды системалар, олардың Фурье қатарлары.
8.1.Гильберт және Евклид кеңістігі.
Е кеңістігін скаляр көбейтінді немесе Евклид кеңістік дейміз, егер 4 шарт орындалса
1)
2)
3)
4)
Анықтама 1
скаляр көбейтінді деп, келесі сандарды айтамыз:
, х=(x1,x2), y=(y1,y2)
Лемма.
Анықтама 2
Берілген элементтер системасын сызықты тәуелді дейміз, егер табылса сандар жиынтығы, кемінде біреуі 0-ге тең емес.
Гильберд кеңістігі
Шексіз өлшемді Евклид кеңістігі толық болса, онда ол кеңістікті Гильберд кеңістігі деп аталады.
1) яғни Гильберд кеңістігі
2) Гильберд кеңістігіндегі скаляр көбейтінді оның нормасы бойынша алынады:
Гильберд кеңістігінде шексіз сызықтық тәуелсіз ортогональ элементтер бар болады.
Гильберд кеңістігінде барлық жерде толық санаулы жиындар бар болады немесе сеперабельді жиындар бар болады.
8.2.Ортогональды системалар, олардың Фурье қатарлары.
Фурье қатарының анықтамасы ортогоналды және нормаланған система бойынша берілген еді.Әр ортогоналды системаны оның әр мүшесін арнайы сайлап алынған оң санға көбейту арқылы ортонормаланған истемаға айналдыруға болады.Расында да,
системасы [a,b] сегментінде анықталған әрі Риман бойынша интегралданып жән де ортогоналды болсын.Онда
k=1,2,…
система [a,b] сегментінде ортогоналды және нормаланған болады,өйткені
Егер де Фурье коэффициенті деп
сандарын атасақ, онда ортогоналды, бірақ міндетті түрде нормаланған емес системасы бойынша алынған қатары ықшамды түрде былай жазылады:
Достарыңызбен бөлісу: | 
