Лекциялар жинағы Шымкент, 2021 ж
Параметрге тәуелді интегралды интегралдау
жүктеу/скачать 0.57 Mb.
|
| 1.2. Параметрге тәуелді интегралды интегралдау
Теорема 1 K(t,x) функциясы [a,b]×[c,d]=E тіктөртбұрышында үзіліссіз болса, онда 1.1.K(x,t) [a,b]×[c,d]=E анықталсын.Кез-келген х алып, K(x,t) функциясын қарастырайық. [a,b] : K(x0,t) функциясы [c,d] аралығында Риман бойынша интегралдансын. деп белгілеп аламыз. Егер х0-ден басқа х1 алсақ ( [a,b]), K(x1,t) функциясы [c,d] аралығында Риман бойынша интегралданса,онда Дәл осылай жалғастыра берсек, онда [a,b] деген функция анықтаған болар едік.Осы функцияны
K(x,t) функциясы [a,b]×[c,d]=E жиынында анықталсын. берілсін.Егер Е-жиында K(x,t) функциясы үзіліссіз болса, онда үзіліссіз және = болады. Дәлелдеуі: Берілгені бойынша Е шенелген және тұйық, онда Гейне-Борель бойынша компакт,онда Кантор теоремасы бойынша K(x,t) бірқалыпты үзіліссіз: болатынын көрейік. = Егер = , = Басқаша айтқанда , [c,d] бірқалыпты үзіліссіз,демек,үзіліссіз. Осы айтылған теоремадағы шарттар маңызды ма?Егер осы шарттарды бұзсақ, орындалмайтын жағдайлар бар ма?
1) [a,b] ,х0-рационал,онда 2) [a,b] ,х0-иррационал, онда
Демек f(x0) үзілетін функция. Теорема 2 K(x,t) функциясы [a,b]×[c,d]=E жиынында анықталып, сол жиынында ақырлы дербес туындысы болсын.Егер және K(x,t) үзіліссіз болса, онда f(x) дифференциалданып, теңдігі орындалады да, функциясы [c,d] үзіліссіз деп аталады. Лейбниц формуласы деп аталады. Дәлелдеуі: жатсын.Онда Лагранж формуласы бойынша (3) болады. Ал І компактты жиынында үзіліссіз функциясы Кантор теоремасы бойынша сол жиында бірқалыпты үзіліссіз болғандықтан, (4) Енді берілсін.Онда үшін үшін (4), (5) бойынша функциясы үшін яғни теңдігі орындалады.(1) Дәлелдеуі: (1) теңдігі Фубини теоремасының дербес жағдайы болады: K(t,х) анықталған тіктөртбұрышында үзіліссіз,демек (1)-дің екі жағы да екі еселі интегралына тең. Теорема 4 Егер K(t,x) функциясы [a,b]×[c,d]=I тіктөртбұрышында үзіліссіз болса, функциялары [c,d] үзіліссіз және , теңсіздіктері орындалса, онда (2) функциясы [c,d] үзіліссіз болады. Теорема 5 K(t,x) функциясы [a,b]×[c,d]=I тіктөртбұрышында дербес туындысымен үзіліссіз болса, функциялары [c,d] үзіліссіз дифференциалдансын. Онда (2) арқылы анықталған функция сол жиында дифференциалданып, (3) теңдігі орындалады. жүктеу/скачать 0.57 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|