Меншіксіз интегралды параметр бойынша дифференциалдау

Ньютон-Лейбниц бойынша

демек, үшін болады.Бұл теңдіктен (3) және (4) арқылы (2) келеміз. Теорема дәлелденді.

2.3. Эйлер интегралдары (гамма, бетта функциясы)

Гамма-функция деп келесі

параметрге тәуелді меншісіз интеграл аталады.

1. 
   (1) интегралы x>0 болғанда жиақталады, яғни Г(х) функциясының анықталу жиыны дәл болады.
   
2. 
   Г(х) функциясы аралығында үзіліссіз.
   
3. 
   Г(х) функциясы аралығында ақырсыз дифференциалданады, яғни әр оң бүтін n саны үшін әр x>0 нүктесінде Г⁽ⁿ⁾(х) туындысы бар болып,
   

4. 
   Әр x>0 үшін
   
5. 
   Г(х+1)=хГ(х)
   

Бета-функция деп

меншіксіз интегралымен анықталған екі айнымалы функция аталады.

1. 
   (2) интегралы x>0,y>0 жиында ғана жинақталады, демек В(х,у) екі айнымалы функция анықтайды.
   
2. 
   Әр x>0,y>0 үшін В(х,у)=В(у,х) теңдігі орындалады.
   
3. 
   Әр x>0,y>0 үшін
   

4) Әр x>0,y>0 болатын әр (х,у) нүктесінде В(х,у) функциясының әр m,n оң бүтін саны үшін

1. 
   Функция шегі.
   
2. 
   Екі анықтаманың эквиваленттілігі.
   
3. 
   Екі тамаша шек.
   
4. 
   Шегі бар функциялар, қасиеттері.
   
5. 
   Элементар функциялардың үзіліссіздігі.
   
6. 
   Больцано-Коши, Вейерштрасс теоремалары.
   
7. 
   Бірқалыпты үзіліссіздік.
   
8. 
   Кантор теоремасы.
   

Әдебиеттер:

1. 
   О.А.Жәутiков. Математикалық анализ курсы. т. I - Алматы, 1958.
   
2. 
   Х.И.Ибрашев, Ш.Еркегулов. Математикалық анализ курсы. т. I, 1969, т. II, 1970.
   
3. 
   Б.Т.Тілегенов. Бiр айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеуi. 1969.
   

5. Г.И. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. I, II, III, М.: Наука, 1969.