Линейная алгебра и мат. Статистика
жүктеу/скачать 294.26 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.2 Умножение тензоров
- 1.3 Перестановка индексов тензора
- Достаточное условие
| Операции над тензорами
1.1 Умножение тензора на скаляр и сложение тензоров (линейная комбинация) Под умножением на число понимают умножение на это число каждой компоненты исходного тензора. В результате получается тензор того же ранга, что и исходный. Складывать же, можно только тензоры, имеющие одинаковый ранг. В бескомпонентной записи линейная комбинация тензоров выглядит так: где , — скаляры. Если перейти к компонентной записи, то, например, для тензоров второго ранга данная операция выглядит следующим образом: 1.2 Умножение тензоров Умножение выполняется над тензорами любого ранга. Результатом является тензор суммарного ранга. Пусть, например — тензор ранга , а — тензор ранга . Тогда результатом их умножения будет тензор ранга или, в компонентной форме 1.3 Перестановка индексов тензора При этом из компонент исходного тензора образуется новая совокупность величин, с другим порядком индексов. Ранг тензора при этом не изменяется. Например, из тензора ранга можно получить три других тензора , и , таких что Для тензоров второго ранга возможно лишь одна перестановка, называемая транспонированием 1.4 Свёртка Сверткой называется суммирование компонент тензора по какой-либо паре индексов. Это действие выполняется над одним тензором и на выходе дает тензор с меньшим на два. Скажем, для тензора второго ранга, свертка дает скаляр, называемый, первым главным инвариантом или следом тензора Свертка всегда производится по паре разновариантных индексов (один индекс должен быть верхним, а другой нижним). Очень часто свертку комбинируют с произведением тензоров. Иногда такую комбинацию называют внутренним произведением тензоров. При этом тензоры сначала перемножают, а потом сворачивают получившийся тензор суммарного ранга. Примером может служить запись скалярного произведения что эквивалентно безиндексной записи Точка, напоминающая скалярное произведение, в безиндексной записи как раз и означает совмещение умножения со сверткой. Свертка производится по соседей с точкой паре индексов. Производные. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции. Частные производные. Полный дифференциал. Дифференцирование сложной функции. Пусть функция определена в окрестности точки . Рассмотрим функцию одной переменной . Функция может иметь производную в точке . По определению такая производная называется частной производной Необходимое условие: Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные и Достаточное условие: Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки , непрерывные в самой этой точке, то она дифференцируема в точке Пусть функции дифференцируемы в точке , и функция дифференцируема в точке . Тогда сложная функция дифференцируема в точке Градиент функции. Производная по направлению. Безусловный экстремум функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных. жүктеу/скачать 294.26 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|