М. Д. Адамбаев автоматтық басқару негіздері

40 
Егер барлық түбірлері теріс болса, онда уақыт аралығында 
t
p
i
e
көбейткішінен тұратын (2.2) өрнегінің барлық мүшелері нөлге ұмтылады, ал

реттелетін шаманың ауытқуы тұрақты А
0
мәнге немесе нөлге ұмтылады. 
Жүйе орнықты. 
Егер түбірлердің ең болмағанда біреуі, мысалы p
1 
оң болса, онда сәйкес 
1
C
t
p
i
e
мүшесі уақыт бойынша шексіз өседі және 

реттелетін шамасының 
ауытқуы да өседі. Жүйе орнықсыз. 
Комплексті түрде қосылған түбірлер теріс таңбалы нақты бөлігіндегі 
реттелетін шаманың ауытқуы өшіп қалған гармониялық тербеліспен 
орнатылған мәнге келеді. Жүйе орнықты. 
Ең болмағанда түбірлердің бір жұбының нақты бөлігінің оң мәніндегі 
реттелетін шаманың ауытқуы амплитудасы шексіз өсетен тербеліс жасайды. 
Жүйе орнықсыз. 
Егер сызықтандырылған жүйенің сипаттамалы теңдеуінде оң таңбалы 
түбірі болмай, ең болмағанда бір нөлдік түбірі немесе екі таза жорамал 
қосылған түбірлері бар болса, онда нақты жүйенің әрекеті оның 
сызықтандырылған теңдеуімен анықтала алмайды. Ондай жағдайда теңдеуді 
сызықтандыру кезінде жойылған екі және жоғары туындысы бар мүшелері 
жүйенің орнықтылығына едәуір әсер етеді. 
Осылай, автоматты реттеу жүйесінің тұрақтылығын талдау нақты 
алгебралық есепке әкеледі – сипаттамалық теңдеу түбірлерінің нақты 
бөлігінің таңбасын анықтау. 
Нақты түбірдің таңбаларын сипаттамалық теңдеуді тікелей шешу 
жолымен табуға болады. Дегенмен тек екінші дәрежедегі теңдеулер ғана 
шешіледі. Үшінші дәрежелі теңдеулер аналитикалық түрде аса күрделі 
шешіледі. Аса жоғары дәрежедегі теңдеулердің, тіпті аналитикалық 
шешімдері болмайды және тек жорамал түрде шешілуі мүмкін. 
Тұрақтылықты зерттеуді жеңілдету үшін тұрақтылық критериі деп 
аталатын атау ұсынылған болатын.
Тұрақтылық критериі сипаттамалық теңдеу түбірінің нақты бөлігінің 
таңбасын анықтаудың жанама әдісі деп аталады, бұл теңдеуді шешу қажет 
емес. 
Стодолы тұрақтылық шарты – тұрақтылықтың ең қарапайым шарты 
болып табылады. Ол қажетті шарт, бірақ жеткіліксіз. Дегенмен оның 
көмегімен теңдеу түрі бойынша нақты тұрақсыз жүйені тез анықтауға болады. 
Бұл шарт былай құрылады. Жүйе тұрақты болуы үшін сипаттамалық 
теңдеудің барлық коэффициенттерінің таңбасы бірдей болуы қажет (бірақ 
жеткілікті). 
Егер коэффициенттерінің таңбалары әртүрлі болса, ол теңдеудің 
түбірлері оң таңбалы болғанын дәлелдеп береді, әсіресе коэффициенттері
алдындағы таңбалары да бірдей болса. 
Барлық бізге белгілі критерийлар екі топқа бөлінеді: алгебралық және 
жиіліктік. 

41 
Алгебралық топқа Вышнеграскийдің, Раустың, Гурвицтің критерийлері 
жатады (кейін тек Гурвицтің критерийі ғана қарастырылады). Жиіліктік топқа 
Михайлов, Найквистің критерийлері, логарифмді жиіліктік сипаттамалар әдісі 
жатады. 
Тұрақтылық ауданын ерекше орын алады. Барлық тұрақтылық 
критерийлары бір фактты орнатады: сипаттамлық теңдеулердің барлық 
түбірлерінің нақты бөліктері теріс немесе оң. Сол немесе басқа критерийлерді 
қолдану нақты жағдайларға байланысты. 
Гурвицтің тұрақтылық критерийі.
 
Швейцария математигі Гурвиц 1985 жылы ұсынған тұрақтылық 
критерийі өзінің салыстырмалы қарапайымдылығымен кеңінен танылды. 
Гурвицтің критерийі келесі түрде түрленеді: 
.
0
...
1
1
1
0







n
n
n
n
a
p
a
p
a
p
a
 
Автоматты реттеу жүйесінің сипаттамалық теңдеуінің түбірлері 
0
0

a
болғанда теріс нақты бөліктер болу үшін, оның басты анықтауышы мен 
диагональды минорлары оң болуы қажет және жеткілікті. 
Негізгі анықтаушы құру үшін бас диагональ бойымен теңдеудің 
1
a
-ден 
1

n
a
-ге дейінгі барлық коэффициент индекстерінің өсу ретімен жазып шығады. 
Диагональ элементтерін жоғарғы тік жолдар бойынша сол теңдеудің тізбекті 
түрде өсетін индексті коэффициенттермен, ал төменде – тізбектей азаятын 
индекстермен толтырады: 
.
...
0
0
...
...
...
0
...
0
0
...
0
0
...
1
3
2
1
1
2
0
3
1
1







n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(2.3) 
Диагональдың минорлары келесідей: 
1
1
a


; 
2
0
3
1
2
a
a
a
a


;
3
1
4
2
0
5
3
1
3
0
a
a
a
a
a
a
a
a


;
4
2
0
5
3
1
6
4
2
0
7
5
3
1
4
0
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a


және т.б. 

42 
Егер сипаттамалық теңдеудің барлық коэффициенттері теріс болса, онда 
оларды теңдеудің екі жағын да 1-ге көбейтіп, оң таңбалы етуге болады. 
Жеке жағдай үшін тұрақтылық шартын қарастырамыз. 
Бірінші реттік теңдеу.
 
Сипаттамалық теңдеуі: 
.
0
1
0


a
p
a
Гурвицтің шарты: 
;
0
0

a
.
0
1

a
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеумен жазылған жүйе тұрақты 
болуы үшін сипаттамалық теңдеудің барлық коэффициенттері оң болуы 
қажет. Бұл шарт қажет және жеткілікті шарт болып табылады. 

жүктеу/скачать 2.26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: