Максвелл – Больцман статистикасы
оқырмандардың көпшілігінің түсінуіне тым техникалық болуы мүмкін
жүктеу/скачать 80.42 Kb.
|
Бізде бірдей физикалық сипаттамалары бар (мысалы, масса, заряд және т.б.) өте кішкентай бөлшектері бар ыдыс бар делік. Мұны деп атайық жүйе. Бөлшектер бірдей қасиеттерге ие болғанымен, оларды ажыратуға болады деп есептейік. Мысалы, біз әр бөлшекті олардың жүру траекторияларын үнемі бақылау арқылы немесе әрқайсысына белгі қою арқылы анықтай аламыз, мысалы, әрқайсысына әр түрлі санды қалай орындалғанымен сызу керек лотерея шарлар. Бөлшектер сол ыдыстың ішінде барлық бағытта үлкен жылдамдықпен қозғалады. Бөлшектер айналасында жылдамдықпен жүретіндіктен, оларда біраз энергия бар. Максвелл-Больцман үлестірімі - бұл контейнердегі қанша бөлшектің белгілі бір энергиясы болатындығын сипаттайтын математикалық функция. Дәлірек айтсақ, Максвелл-Больцман үлестірімі белгілі бір энергияға сәйкес күйдің орналасуының нормаланбаған ықтималдығын береді. Жалпы, бірдей энергияға ие бөлшектер көп болуы мүмкін . Энергиясы бірдей бөлшектердің саны болсын болуы , басқа энергияға ие бөлшектер саны болуы және т.с.с барлық мүмкін энергиялар үшін Бұл жағдайды сипаттау үшін біз мұны айтамыз болып табылады сабақ нөмірі туралы энергетикалық деңгей Егер біз барлық сабақ сандарын білетін болсақ онда біз жүйенің жалпы энергиясын білеміз. Алайда, біз оларды ажырата алатындықтан қайсысы бөлшектер әр энергетикалық деңгейді, сабақ сандарының жиынтығын алады жүйенің күйін толығымен сипаттамайды. Жүйенің күйін толығымен сипаттау үшін немесе микростат, біз әр энергия деңгейінде қандай бөлшектер болатындығын нақты көрсетуіміз керек. Осылайша, жүйенің мүмкін күйлерінің санын есептегенде, біз мүмкін болатын жұмыс сандарының жиынтығын емес, әрқайсысын және әрбір микростатты санауымыз керек. Алдымен, деградация мәселесін елемейік: қоюдың бір ғана жолы бар деп ойлаңыз бөлшектердің энергия деңгейіне . Одан кейін бөлшектердің қоймасын дәл сипаттауда аздаған комбинаторлық ойлау болады. Мысалы, барлығы бар делік қораптар белгіленген . Тұжырымдамасымен тіркесім, біз қанша жолмен орналастыруға болатындығын есептей алдық сәйкесінше шарлар лонда болатын үшінші қорап ордерсіз шарлар. Бастау үшін біз таңдаймыз жалпы шарлар шарларға, оларды қорапқа салыңыз , ал қалған бөлігінен доп қалмағанша таңдауды жалғастырады. Келісімдердің жалпы саны жәшіктердің сыртында тіпті бір доп қалмауы керек (барлық шарлар қораптарға салынуы керек), бұл шарттардың жиынтығы тең болуы керек ; осылайша термин жоғарыдағы қатынаста 0-ге бағаланады! (0! = 1), және қатынасын осылай жеңілдетеміз Бұл жай ғана көпмоминалды коэффициент, орналастыру тәсілдерінің саны N ішіндегі заттар к қораптар, л- қорапты ұстау Nл элементтер, әр қораптағы элементтердің ауыстырылуын елемеу. Енді бөлшектердің қоймасын сипаттайтын деградация проблемасына қайта ораламыз. Егер мен- қорапта «дегенерация» бар , яғни бар толтырудың кез-келген тәсілі сияқты «ішкі жәшіктер» мен-ішкі ұяшықтардағы нөмір өзгертілген қорапты толтырудың ерекше тәсілі, содан кейін толтырудың тәсілдерінің саны мен- қорапты тарату тәсілдерінің санына көбейту керек объектілері «ішкі жәшіктер». Орналастыру тәсілдерінің саны ішіндегі ерекшеленетін объектілер «ішкі жәшіктер» дегеніміз (бірінші объект кез келгеніне кіре алады қораптар, екінші объект кез келгеніне кіре алады қораптар және т.б.). Осылайша жолдардың саны барлығы бөлшектерді энергияларына сәйкес энергия деңгейлеріне жіктеуге болады, ал әр деңгей бар сияқты ерекше күйлер мен- үшінші деңгей бөлшектер: Бұл форма W бірінші алынған Больцман. Больцманның негізгі теңдеуі термодинамикамен байланысты энтропия S микростаттар санына W, қайда к болып табылады Больцман тұрақтысы. Ол атап өтті Гиббс дегенмен, жоғарыдағы өрнек W кең энтропия бермейді, сондықтан ол ақаулы. Бұл проблема ретінде белгілі Гиббс парадоксы. Мәселе мынада, жоғарыда келтірілген теңдеу қарастырған бөлшектер олай емес айырмашылығы жоқ. Басқаша айтқанда, екі бөлшек үшін (A және B) екі энергетикалық деңгейлерде [A, B] ұсынылған популяция [B, A] популяциясынан бөлек болып саналады, ал ажырата алмайтын бөлшектер үшін олар болмайды. Егер біз ажырата алмайтын бөлшектер туралы аргумент жасасақ, біз Бозе-Эйнштейн үшін өрнек W: Максвелл-Больцман үлестірімі осы Бозе-Эйнштейн үлестірімінен абсолюттік нөлден әлдеқайда жоғары температура үшін шығады, демек . Максвелл-Больцман таралуы сонымен бірге төмен тығыздықты қажет етеді, демек . Мұндай жағдайда біз қолдана аламыз Стирлингтің жуықтауы факториалды үшін: жазу: Мұны пайдаланып үшін біз қайтадан жазу үшін Стирлингтің жуықтауын қолдана аламыз: Бұл мәні бойынша бөлу N! Больцманның өзіндік өрнегі W, және бұл түзету деп аталады жүктеу/скачать 80.42 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|