Маърузалар матни

п s_r -S_np

B*s_v s_ar

Куриб чикилган мисол учун соф фойда нормасини хисоблаб куйидагини оламиз:

. 80 4 .. У00-90 1

^"loT'?,

-' 4. Келтирилган харажатлар курсаткичи (ПЗ), жараённинг инженер- технологик томонларини курсатувчи иктисодий ' " эффективлик

иурсаткичларидан хисобланади. Келтирилган харажатлар кУрсаткичи куйидагича ифодаланади:

n3KS„_p+E_H*K3

бу ерда, КЗ- солиштирма капитал харажатлар

Е„- капитал харажатлар самарадорлигининг тармок норматив коэффициенти, кимё саноати учун Е_нк0,3

Келтирилган харажатлар махсулот таннархини хам, ускуналарни тузилиши ваг улчамларини хисобга олувчи капитал харажатларни хам уз ичига олади. киммат хом-ашё ишлатилаётган корхоналарда келтирилган харажатлар махсулот таннархига якин булади ва аксинча, хом-ашё арзон булган корхоанларда, кеотирилган харажатлар, асосан капитал харажатлар билан аникланади.

Оптималлаштириш масалаларини ечиш усуллари.

Кимё технологиясининг куп объектларида оптималлаштириш масалаларини ечишгз тугри келади. Оптималлик критерийсининг куриниши оптималлаштирилаётган объект хусусиятларига ва ишлаб чикаришаг кУйилаётган у ёки бу талабларга караб, хар хил булиши мумкин. Бу маралаларни ечиш турли хил оптималлаштириш усуллаоини кУллашни талаб киради. кайси усулни танлаш, оптимизация масаласини кУйилишига ва оппшаллаштиришда ишлатилаётган математик модел куринишига боглик. Оптималлаштириш масалаларини ечишда асосан куйидаги усуллар ишлатилади:

1. 
   Функцияни классик тахлил килиш билан Урганиш усули;
   
2. 
   Лагранж усули;
   
3. 
   Вариацион хисоблаш усули;
   
4. 
   Динамик дастурлаш усули;
   
5. 
   Максимум принципи;
   
6. 
   Чизикли дастурлаш усули:
   
7. 
   Чизиксиз дастурлаш усули.
   

Технологик жараёнларни оптималлаштириш жараёнинг математик моделидан фойдаланиб амалга оширилади. Бунда, оптимал шарт-шароитлар аввал жараённинг математик моделида аникланиб, сунгра ишлаб чикариш ускунапарида текширилади.

Оптималлик критерийсини технологик парамеирлар оркали ифодаланган математик функциясига куринишига, максад функцияси дейилади.

Биз, оптималлик критерийси максад функциясини (R ) асосий иктисодий эффективлик курсаткичлари оркали ифодасини (Кк^В,Э,Ф,К)) курган эдик. Бу ифода оптималлик критерийсининг умумий куриниши. Конкрет холда, максад функциясини куйидагига ифодалаш мумкин:

чекламалар куйилган булиши мумкин.

Агар, максад функцияси аналитик ифодаси маълум булиб, айтарлик мураккаб булмаса ваг номаълум узгарувчилар сони (т) катта булмаса, унда оптимаплаштириш масаласини ечиш учун аналитик усулларни куллаш мумкин, яъни функдияни классик тахлил килиш усули ёки Лагранж купайтмалари усули.

Агар, жараён математик .модели чизикли тенгламалар оркали ифодаланган булса, унда чизикли даетурлаш усулини кулланилади, Мдксад функцияси аник бир куринишда ифодаланмаган булса, унда баъзи бир кийинчиликлар вужудга келади. Агар берилган чекламалар алохида Узгарувчиларни (xj) кийин хлсобланадигаи функцияси куринишида берилган булса, унда оптимал кийматларни х^соблаб топиш анча мушкуллашади ваг махсус хисоблаш усулларини куллашга тугри келади.,

Бу турдаги масалалар, математиканинг махсус булимлари хисобланган, чизиксиз даетурлаш булимида курилади.

Максад функциясини ва чекламаларни геометрик интерпретацияси.

, i Оптималлаштиш масалаларини ечицща, оптималлик критерийсининг максад функциялаши энг яхши кийматларига мое келувчи технологик параметр кийматларини хисоблаб топиш керак булади.

XX, X

30-расм.

Оптимаплаштириш критерийсини битта технологик параметрдан боглик функциясини R к f(x), 2-улчамли координата тизимевда курайлик (30-расм.)

R

Бу масалага х<х_ь чеклама куйилган. Бунда оптималлик критерийси, технологик параметр х дан боглик узгаради ва х< х, чекламага асосан, оптимумни х нинг, х, дан кичик кийматларида кидириш керак.

Агар, оптималлик критерийси икки технологик параметрлардан (x_tBa х₂) боглик б^лса, унда бу функция экстремуми, фазода унинг улчамлм координата

31-расм.

32-расм.

Чизиксиз дастурлаш усуллари ни куп кадамли ёки курсаткичларни кетма- кет (кадамма-кадам) яхшилаш усули сифатида тасаввур килинади. Бу усулларда Хисоблаш кадамини тугри танлаш нисбатан катта муаммо хисобланиб, бу масалани тугри хал килиниши у ёки бу усулни куллашни канчалик самарадорлигини курсатади.

Чизиксиз дастурлаш усулларининг купчилиги п-улчамли фазода оптимумга караб харакатланиш тактикасини куллайди. Бунда кандайдир бошлангич ёки оралик холатдан X^е4, кейинги холатга X^(fc+1), X^м векторини Карам деб номланган ДХ*"' кийматга узгартириш билан утилади. Яъни,

Х^(к+,)кХ^<к)+ДХ^м

(Бунда Хк(х1,х_г,...х„), яъни X, ((х₁,х₂,...х„)ларнннг вектор куринишдаги ифодаси деб карал ади.)

Агар максад функциясининг ойтималкийматига унинг энг кичик киймати мое келса, унда муваффакиятли кадамдан сунг; куйидаги шарт бажарилиши керак: ^г

RO^I^ROC⁰⁰)

Чизиксиз дастурлашнинг усулларида кадам йуналиши ва киймати X⁰⁰ функдияниг кандайдир холатини Х*^к), холатини белгйловчи кандайдир функция куринишида курилади.

ДХ^ДХ^Х®) Олдинги тенгламага куйиб, куйидагини оламуз:

x^vKiV)

(яъни,

Баъзи бир холларда ДХ^(к) кадам факатХ^ холатга эмас, балки аввалги холатларга хдм боглик булади. Шундай килиб, чизиксиз даетурлаш усулларида кадам танлаш усулига караб куйидаги асосий усуллардан бири танланилади:

1. 
   Детерминлашган кидиришнинг градиент усуллари;
   
2. 
   Детерминлашган кидиришнинг ноградиент усуллари;
   
3. 
   Тасодифий кидирув усуллари.
   

Оптимумни кидиришнинг градиент максад функцияси R(x) ва хосилаларини 3R(x)/3xj хисоблаш ва тахлил килишга асосланган. Макодд функциясининг аналитик куринишини хамма вакт хам аник куринишда^ еиш мумкин эмас, ёки у жуда мураккаб булиб, ундан олинган хосила хам жуда мураккаб аналитик ифода куринишида булади. Бундай холатларда максад функцияларининг хосилаларини хисоблаш учун такрибий хисоблаш усуллари Кулланилади, яъни

3R/Sxj »AR/AeK R(x_b X2,..xj+Axj,..x„) - R(xi, x₂,..xj,..x„) / Axj;

Axj- j- узгарувчини олган усиш киймати (ёки, ноградиент усуллари кулланилади). j._w.

Градиент усулларга куйидаги усуллар киради:

1. 
   Релаксация усули; (
   
2. 
   Градиент усули;
   

4. 
   «Огир шарию> усули; ' _v ./ ."'
   

Оптимумни кидириш алгоритми буйича, максад фуикциясинииг энг тез узгариши Ук йуналиши аникланади. Масалан, агар оптималлик критерийсининг энг кичик кийматини топиш керак булса, унда функциянинг энг тез камайиш Йуналиши аникланади.

кидирувнинг бошлангич нуктасида хамма ук йуналишлар буйича оптималлаштирилаётган функция хосилалари хисоблаб чикилади. Хосиласи энг катта булган узгарувчи й^налишни, функциянинг энг тез узгарувчи (камаювчи) йуналиши хисобланади.

Агар, хосила ишораси манфий булса, унда шу йуналишда функция камаяди, агар мусбат булса, унда функция камайиши тескари йуналишда булади. Шу ук йуналиши буйича кидирув, шу йуналиш буйича максад функциясинйнг энг кичик киймати топилгунча давом этади. Сунфа, хамма Ук йуналишлар буйича функция хосиласи хисобланиб (кидирув амалга оширилган йуналишдан ташкари), яна максад функциясининг энг тез камаювчи йуналиши аникланади. Энди шу йуналиш буйича функциянинг экстремуми кидирилади. Сунфа, яна янги йуналиш аникланади ва хоказо. Хамма Ук йуналишлар буйича оптмаллик критерийсининг киймати камаймай колгаада, кидирувни тухтатиш мумкин. Баъзи холларда оптималлик белгиси сифатида куйидаги шарт кабул килинади:

б—>0 булса, бу нуктада функция хосиласи нольга тенг.

Бошлангич холатдан оптимумга караб харакагнинг фафик ифодаси куйидаги расмда берилган (33-расм). кидирув кадамини тугри кабул килиниши, оптимумга караб юриш тезлигини аниклайди. Агар кэдам жуда кичик булса, унда оптимумни хисоблаб топгунча, максад функциясини кийматини жуда куп маротаба хисоблаш керак булади.. Агар кадам жуда катта булса, унда оптимум якинида «ивирсираш» булиб, оптимумга кУйилган шарт буйича якинлашиш анча кийин булади. Одатда, Ук йуналиши алмашганда кадам киймати Узгартирилиб борилади, Яъни оптимумга якинлашган сари кидирув кадам и камайтириб борилади.

"31з-расмТ

Агар узгарувчилар узгариш области га тенгсизлик кУринишидаги чеклама Куйилган булса, унда оптимумни кидириоыну чекламанинг хамма нуктасига келганда тухтаб колади.

Худди шундай, кидирувдаги кийинчиликларга максад функциясида мавжуд «жарлик»лар сабаб булиши мумкин (локал оптимум). Бунда кидирув шу «жарлию>ларда тухтаб колади.

Градиент усули.

Максад функциясининг оптимумини топишнинг бу усулида максад функциянинг градиентидан фойдаланилади. Бунда кидирув кадам и максад функциясининг энг тез узгарувчи йуналишида куйилади, бу эса алб^гта оптимумни топиш жараёни ни тезлаштиради.

кидирувнинг биринчи боскичида, хамма узгарувчилар буйича хосилалар хисоблаб чикилиб, шу нуктада функция градиентининг киймати ва йуналиши топилади. Иккинчи боскичида, агар максад функциясининг минимумини кидирилаётган булса, градиент йуналишига тескари йуналишда кидириш кадами куйилади, яъни функциянинг энг тез камайиши йуналишида.

кидириш кадамидан сунг, хамма Ук йуналишлар буйича параметрларнинг киймати узгаради. Яъни, улардан хар бири градиент кийм атларидаги хиссасига пропорционал равишда усади.

Худди релаксация усулига ухшаб, хамма ук йуналишлар буйича хосилалар хисобланади, лекин бу усулда ■ оптимумга оптимал якинлашиб борилади.

Градиент усули алгоритмини куйидагича ёзиш мумкин: Х/^к+1)к X/^k>-h^(k) ,

Баъзи бир холларда кидириш куйидаги алгоритм буйича амалга ошйрилади:

v _ V <*>

dx.
Л j - Л j

Бу ерда, кидириш кадами Axj

^к dxj '

Бу алгоритм буйича, кидириш кадами катгалиги функция градиента а&юлют кийматини узгариш буйича автоматик узгариб боради.

35-расм.
•*"" Бу усулда, хар кадамдан сунг максад функциясининг хосилалари хамма Ук йуналиши буйича аникланади, яъни функция градиента энг тез узгариш йуналиши аникланади ва шу йуналишда кидириш давом эттирилади . (35-расмда —чизик билан курсатилган).

*,

т

кидириш кадамининг бошлангич киймати кичик булса, унда максад ■|Дфункцияси хосилаларининг жуда куп маротаба хисоблашга тугри келади, •ксинча, кадам катта булса, функция оптимум атрофида кидиришда ^,*»ирсиланиш»(рускание) булиши мумкин.

Функция градиента факат киймати хисобланган нукгага ортогонал булиб, учун хар каламдан кейин функция градиента йуналиши аввалгисидан булади. Шунинг учун хар кадамдан сунг кидириш йуналиши ^Хисобланган функция градиента йуналиши буйича танланади.
Оптимумни кидиришни якунланганлигини, максад функциясини кийматларини солиштириш буйича аникланади. Агар максад функцияси киймати аввалги кадамдагидан кичик булса (агар максад функциясининг минимуми кидирилаёттан булса), унда кидирув давом эттирилади, агар тескари булса, унда кидирув тухтатилади ва олинган максад функциясининг энг кичик киймати кидирилаётган оптимум деб кабул килинади. Камчилиги: локал оптимумга «тортилидх» хусусиятининг борлиги.

Оптимумга тез тушиш усули.

Бу усулда релаксация ва градиент усулларининг энг асосий фикрлардан фойдаланилади. Бошлангич нуктада оптималлаштирилаётган функциянинг градиента топилгандан сунг, яъни функциянинг энг тез Узгарувчи йуналиши, шу йуналишда кидирув кадами куйилади. Шу йуналишда кидирув давом этгирилади. Сунгра яна функция градиента топилади. Энди кидириш бу янги градиент йуналишида давом этгирилади. Бу йуналишда функция градиента хисоблаб топилади ва шу йуналишда кидирув ташкил килинади ва хоказо.

Оптимум якинида градиент йуналиши жуда тез узгара бошлайди ва бу усул градиент усулига ухшаб кетади. Чунки хар йуналиш буйича оптируй 1+2 кадамда топилади.

35-расмда оптимумга тез тушииТ усули ( —») чизиги билан курсатилган.

Оптимумга тез тушиш усулиДа градиент усулига ухшаб, кидирув йуналиши функция юзасига ортогонал булиб, координата тизимси ориентациясига боглик эмас.

Детерминлашган кидирувнинг ноградиент усуллари. ₍

Ноградиент усулларда максад функцияси оптимуми хосилаларни тахлил КиАйб эмас, балки оптималлик! критерийсининг навбатдаги кадамдаги КййМ^ини солиштириш йули билаИ^аникпандди.

Бир узгарувчилик функция экстремумини локализациялаш усули.

Бир Узгарувчилик функция экстремумини (а,в) интервалда топиш керак булсин. Бу усулда масалани ечиш учун бутун интервал N булаюса булинади (кУпинча 4 булакка). Хамма интерваллар чегаралари^а оптималлик критерийсининг максад функцияси кийматларини хисоблаб чикилиб, уларнинг ичидаги функциянинг кидирилаётган экстремумига мое, масалан, ' максад функциясининг энг кичик киймати топилади. Масалан функциянинг энг кичик киймати R(x₂) булсин (Зб-расм). кидирув х₂ нуктага ёндошган икки интервалда давом этгирилади (xi, Хз).

Функция экстремумини кидириш учун энди янги интервал танланади (xi, Хз). Функциянинг янги интервал (xi, х₃) чегаоалакридаги киймати, ораликдаги кийматидан катга, яъни минимум (xi, х₃) интервалда хисобластан (локализацияланган) ва бу интервал размери бошлангич интервалдан 2 марта

36-расм.

«Олтин кесим» усули.

Бу усул асосинй геометрик нисбатлар конуни, яъни олтин кесим ташкил килади. (37-расм.)

А С В 37-расм.

Бу расмда:

а- АВ булак узунлиги; в- АС булак узунлиги; с- СВ булак узунлиги.

Бу булаклар учун, а/в к в/с нисбатлар тенглигини ёки, а*ск в² деб ёзиш мумкин.

Бу булаклар 37-расмда куринганидек бири иккинчисидан катта булиб, УНда ск а - в. с- кийматини аввалги тенгламага кУйиб, куйидагини оламиз: а (а - в)к в¹ ёки, в/ак к деб кабул килиб, куйидагини оламиз:

к²+к-1к0

Бу квадрат тенгламани ечиб, к нинг кийматини топамиз:

-l±VT+4 -1± л/5 K_WK—₁—

_f к>0 ни хисобга олиб, кк = 0,62 яъни в/ак 0,62

Шу конун асосида максад функциясининг киймати хисобланиш керак булган иукталар топилади. «Олтин кесим» усули буйича функция экстремумини кидириш тартиби куйидагича:

кидириш интервалида (х_м1х-х_н;_п)кейинги икки нукта аникланади(38-расм):

XjK x_mill+k^J*a Xit; х_и1,+к*а

ёки, хисобни соддалаштириш макеадида XiBa х₂ларни топиш стратегиясини, куйидагича деб кабул килса булади.

х,кх_и|.+ 0^8*(х_и„-х_в1в) *:К х_ШД1- 0^8*(x_M„-x_Mill)

X,, х₂ нукталарда максад ^функцияси кийматлари хисоблаб топилиб, солиштирилади ва функцтя экстремуми кайси интервалларда локапизацияланганлигини аниклаймиз (х₂-х_Ш|_и). Бу интервалларда хам икки бир-бирига тенг булмаган интерваллардан иборат. Энди функция киймати аникпаниш керак булган кейинги нукта х₃ куйидагича аникланади:

х₃к x_fflia+O_r38* (х_г-х_ш1л). х₃ нуктада функция киймати К (х₃) хисобланиб, кейинги кидирув интервали (х₂-х₃), аникланади. Бу инт§рвалда х» нукта топилиб, функция Rfo) киймати хисобланади ва хоказо (R(x₅), Щх^,.,.).

S-хисоблашдан сунг функция экстремумини топшцдаги абсолют хатолик Куйидаги тенгламадан хисоблаш мумкин:

Ак

Sk21 булганда,

0,9* 10"⁴;

38-расм. «Олтин кесим» усули.

Фибоначчи сонларидан фойдаланиб, функция экстремумини топиш усули.

Фибоначчи сонлари кетма-кетлиги реккурент ифода оркали аникланади:

F.kF..,+F_B.₂;

FokFjkI , Двб кабул килинган.

Бунда,

F₂