Машиностроение. Металлургия Әож 621. 91. 02

Так как в общем случае задача о подборе чисел зубьев может иметь несколько решений и поиск решений осуществляется в достаточно большом диапазоне значений, применять алгоритм полного перебора нецелесообразно. Для решения подобных задач можно применить генетический алгоритм.

Генетический алгоритм (ГА) – это эвристический алгоритм поиска, используемый для решения задач оптимизации и моделирования путем случайного подбора, комбинирования и вариации искомых параметров с использованием механизмов, напоминающих биологическую эволюцию.

Основоположником использования генетических алгоритмов является Джон Холланд, который в своей книге [2] описал основной принцип действия генетических алгоритмов, опираясь на труды о селекции и генетической наследственности. Исходными данными для работы генетического алгоритма являются фитнес-функция, величина исходной популяции, количество потомков получаемых после действия операторов скрещивания, а также параметры действия операторов скрещивания.

Действие генетического алгоритма можно описать следующим образом.

На первом этапе генерируется случайный генетический набор для определенного количества особей исходной популяции.

На втором этапе определяется соответствие генетического набора особей исходной популяции, фитнес-функции. На основе уровня соответствия определяется возможность каждой особи стать родителем. Важно заметить, что у особей, которые лучше «подходят», уровень выживаемости будет выше, а следовательно, и больше вероятность передачи «хороших» генов потомкам.

На третьем этапе происходит скрещивание. В соответствии с уровнем соответствия каждая особь получает возможность передать гены потомку. Обмен генами осуществляется при помощи различных операторов, таких как «кроссинговер», «мутация» и др.

Оператор кроссинговера является основным оператором, за счет которого проводится обмен генным материалом между особями. Принцип его работы заключается в следующем: случайным образом выбирается точка, в которой хромосома разрывается (точка кроссинговера), далее хромосомы обмениваются частями генного набора между собой и, в зависимости от заданных параметров алгоритма, либо выбирается случайный потомок, либо оба потомка попадают в последующую популяцию. Для каждой из участвующих в скрещивании хромосом точка кроссинговера должна иметь одинаковую координату. Такой тип кроссинговера называется одноточечным.

В зависимости от числа точек разрыва для каждой хромосомы выделяют два типа кроссинговера: одноточечный и n-точечный, где n – число точек разрыва хромосомы. Помимо оператора кроссинговера на этапе скрещивания также действует оператор мутации. В процессе мутации меняется часть генетического набора любой из хромосом популяции.

После скрещивания осуществляется проверка сформированного поколения на соответствие фитнес-функции.

Представление генетического алгоритма в виде блок-схемы на рисунке 1.

Рисунок 1 – Блок-схема генетического алгоритма

Алгоритм работает, пока не будет достигнута необходимая степень соответствия фитнес-функции, также могут вводиться дополнительные ограничения – на число популяций и затраченное время.

Позже модель генетического алгоритма, предложенная Джоном Холландом, получила название «классическая модель» (canonical GA). Ее отличительными особенностями являются: фиксированный размер популяций; фиксированная разрядность генов; одноточечный кроссинговер; одноточечная мутация; в последующих поколениях присутствуют только потомки, т.е. после скрещивания исходные особи прекращают свое существование.

Требования к фиксированной разрядности генов введены для уменьшения времени поиска решения. Особенно сильное отсутствие такого ограничения сказывается при использовании бинарного кодирования генного материала хромосомы (ВGA). Также недостатком бинарного кодирования является дополнительное время, затрачиваемое на кодирование/декодирование генного материала на этапах промежуточного и конечного представления результатов.

Для увеличения скорости нахождения решения используют генетические алгоритмы с вещественным кодированием (RCGA), т.е. генотип хромосомы соответствует ее фенотипу. Преимущества использования вещественного кодирования, а также специфика работы операторов алгоритма описаны в [3].

Рассмотрим использование генетического алгоритма для синтеза планетарного механизма типа .

Рисунок 2 – Схема планетарного механизма типа

Основное условие синтеза планетарных механизмов – это постоянство передаточного отношения. Необходимо спроектировать такой механизм, относительная погрешность передаточного отношения которого не будет превышать 5%. Тогда фитнес-функция:

Пусть требуемое передаточное отношение i_тр = 9,89.

Зададим основные параметры для работы алгоритма. Размер исходной популяции k₁ принимаем равным 5 особям, последующих:

Вероятность применения оператора кроссинговера будет рассчитана ниже. Вероятность мутации в генах принимаем равной нулю. Применим вещественное кодирование.

Генерируем исходную популяцию в виде (z₁; z₂; z₃; z₄):
Таблица 1 – Генный набор исходной популяции k₁

Коэффициент выживаемости в данном случае будет определяться разностью между оптимальным значением фитнес-функции и значением функции с подставленным в нее генным набором каждой хромосомы.

Вероятность стать родителем для каждой хромосомы вычисляется как сумма обращенных коэффициентов, деленная на величину, обратную к коэффициенту данному значению, т.е.:

Результаты расчетов сведем в таблицу 2.

В соответствии с рассчитанной вероятностью формируем пары хромосом:

4-5; 4-2; 5-2; 5-1; 1-3.

Производим обмен генным материалом между выбранными хромосомами, точка кроссинговера выбрана случайным образом. Исходные данные для обмена и его результаты сведем в таблицу 3.

Рассчитаем значение фитнес-функции для каждого потомка, результаты расчетов сведем в таблицу 4.

Таким образом, во втором поколении появились хромосомы, обеспечивающие соответствие фитнес-функции с заданной точностью.

Отметим, что в примере фитнес-функция выражена основным условием, т.е. целевая функция предоставляет собой математическое выражение основного условия синтеза. Дополнительные условия синтеза (условие сборки, соседства, соосности, отсутствия заклинивания и т.д.) также представляются в математической форме, как правило, в виде неравенств, устанавливающих допустимые области существования параметров оптимизации. В этом случае фитнес-функция будет представлена системой уравнений.

Для реализации ГА можно использовать практически любой язык программирования или воспользоваться готовыми компонентами из библиотеки ГА [4].

Одним из таких способов является прокатка в валках с обратной конусностью. Отличительной особенностью предлагаемого способа прокатки от традиционного является наличие конусности валков, определяемой отношением (D – d)/2L, которая обеспечивает значительные сдвиговые компоненты деформации в пределах очага деформации, а также из-за разности скоростей со стороны большего и меньшего диаметра валков исключает однонаправленное течение металла в продольном направлении.

В данной работе приводятся результаты теоретического исследования нового процесса прокатки в валках с обратной конусностью (рисунок 1) методом линий скольжения [1], а также результаты математического моделирования методом конечных элементов в виртуальной среде программного комплекса Deform-3D.

1 – верхний валок; 2 – заготовка; 3 – нижний валок

Рисунок 1 – Схема процесса прокатки в валках
с обратной конусностью
Течение металла со стороны большего диаметра верхнего валка 1 будет интенсивнее, чем со стороны меньшего диаметра нижнего валка 3 (рисунок 1). Аналогичное явление будет наблюдаться с противоположной боковой стороны полосы, где со стороны большего диаметра нижнего валка скорость течения будет больше, чем со стороны меньшего диаметра верхнего валка. В результате такого течения металла в теле полосы 2 возникают более благоприятные условия, обеспечивающие закрытие внутренних дефектов и более равномерное распределение механических свойств по объему заготовок, а также снижение осевых продольных растягивающих напряжений.

Приводятся результаты исследования напряженного состояния металла методом линий скольжения при прокатке полосы в валках с обратной конусностью с относительной разностью диаметров валков d/D=0,846, конусностью (D – d)/2L=0,1 и при относительной степени деформации  = 30%. Данные значения выбраны из условия, что при увеличении конусности (больше 0,1-0,2) трудно удержать и задавать полосу в зазор между валками, а величина  = 30% является максимально предельной.

Для исследования напряженно-деформированного состояния построено поле линий скольжения и соответствующее поле скоростей как со стороны верхнего валка, так и со стороны нижнего валка (рисунок 2а, б, в), вследствие асимметричности процесса прокатки в валках с обратной конусностью. Построение сетки линий скольжения производили до пересечения главной оси х, которую линии скольжения (л.с.) (рисунок 2б) должны пересекать под углом π/4, что означает правильность построения сетки л.с. Для обеспечения пересечения л.с. с осью х под углом π/4 необходимо следующее: примем, что в узловой точке 2.2 л.с. пересекается с осью у под углом 30º, т.е. θ_2.2=30º. Принимая шаг изменения линии скольжения Δθ=15º, получим значение углов пересечения л.с. с главными осями в узловых точках 1.2 и 0.1.Последовательно прибавляя шаг Δθ к θ_2.2 и θ_1.2, т.е.:

θ_1.2=45º; θ_0.1=60º.

Аналогично получим значение угла пересечения л.с. с главной осью и в узловых точках 2.1, т.е. θ_2.1=15º, θ_1.1=30º, θ_0.0=45º.

Со стороны нижнего валка с большим диаметром: в узловой точке 1.1*, θ_1.1=30º, в узловой точке 0.0, θ_0.0=45º.

Кроме того, правильность построения сетки л.с. проверяем по кинематически возможным полям скоростей из условия несжимаемости, т.е. должно выполняться условие: со стороны верхнего валка со стороны нижнего валка где значения скоростей брали непосредственно из годографа скоростей со стороны верхнего и нижнего валков.

Для определения напряженного состояния при прокатке в валках с обратной конусностью составим уравнение равновесия сил, приложенных к пластической области на выходе из очага деформации, как принято в работе [1]:

где s – среднее нормальное напряжение вдоль линии скольжения 0.0-0.1;

Используем соотношение Генки [1]:

где σ_0.0 – среднее напряжение в узловой точке 0.0;

Подставляя данные соотношения в предыдущее уравнение и после преобразования, получим уравнение для определения среднего напряжения в узловой точке 0.0 и в других узловых точках поля л.с.:

В соответствии с заданными численными значениями получим

Компоненты напряжения в узловой точке 0.0, при

При симметричной прокатке в цилиндрических валках получим

Осевые напряжения в узловой точке 0.0 будут соответственно следующие:

Рисунок 3 – Распределение эквивалентных

Как видно из рисунка 4 характер распределения эквивалентных деформаций по сечению полосы несимметричный, а само распределение деформаций происходит по диагонали полосы (пунктирная линия на рисунке 4а). В случае прокатки в цилиндрических валках (рисунок 4б) деформации сосредоточены в периферийных участках полосы, значительная часть центральной области имеет пониженные значения эквивалентных деформаций. Так, при обычной прокатке среднее значение эквивалентной деформации по сечению полосы составляет ≈ 1,05-1,1, а при прокатке в валках с обратной конусностью ≈2-2,5, что выше в два раза, чем при обычной прокатке.

Распределение средних напряжений по сечению полосы приведено на рисунке 5.

При прокатке в цилиндрических валках средние напряжения имеют положительный знак в центре полосы (рисунок 5б), что говорит о наличии значительных растягивающих напряжений и подтверждает вышеприведенные выводы теоретического исследования.

Анализ результатов исследования показывает, что при прокатке в валках с обратной конусностью растягивающие напряжения σ_х0.0 достигают минимального значения (0,054k), т.е. предотвращают возникновение наиболее опасных растягивающих осевых напряжений, и исключают разрыхление металла в данной зоне. Разность скоростей со стороны входа в очаг деформации со стороны выхода т.е. на выходе из очага деформации скорость металла со стороны большего диаметра будет опережать скорость металла со стороны валков меньшего диаметра. Из-за разностей скоростей металла возникают условия, благоприятно влияющие на закрытие и заваривание внутренних дефектов (особенно, дефектов литейного происхождения).

При прокатке в валках с обратной конусностью участок полосы, деформируемый со стороны большего диаметра валка деформируется интенсивнее, чем со стороны меньшего диаметра, это приводит к возникновению значительных сжимающих напряжений от центра полосы к ее периферии. Следует отметить, что скорость металла на входе в зев валков распределена несимметрично. На входе в очаг деформации со стороны меньшего диаметра валков скорость металла выше, чем со стороны большего диаметра. На выходе из очага деформации скорость металла со стороны большего диаметра выше чем, со стороны меньшего диаметра. В виду такой разности скоростей со стороны валков в центральной области металла возникают сжимающие напряжения, что благоприятно сказывается на проработке структуры. При прокатке в цилиндрических валках средние напряжения имеют положительный знак в центре полосы, что говорит о наличии значительных растягивающих напряжений.