Математическая логика, основанная на теории типов

Здесь функция f есть какая-то функция, для которой указанное выше высказывание имеет смысл; это высказывание есть высказывание о f и изменяется с изменением f. Но это высказывание не является высказыванием о ,  или , поскольку рассматриваются все возможные значения последних, а не одно неопределённое значение. (В отношении  высказывание ‘Существует положительное число , такое что etc.’ есть отрицание того, что отрицание ‘etc.’ истинно для всех положительных чисел.) По этой причине, когда утверждается какое-то значение пропозициональной функции, аргумент (например, f выше) называется действительной переменной; в то же время, когда о функции говорится как о всегда истинной или как о не всегда истинной, аргумент называется мнимой переменной¹. Таким образом, в указанном выше определении f есть действительная переменная, а ,  или  суть мнимые переменные.

Если х – пропозициональная функция, то посредством ‘(x).x’ мы будем обозначать пропозицию ‘х всегда истинно’. Сходным образом ‘(x, y).(x, y)’ будет обозначать ‘(х, у) всегда истинно’ и т.д. Тогда различие между утверждением всех значений и утверждением какого-то значения есть различие между (1) утверждением (х).х и (2) утверждением х, где х не определён. Последнее отличается от первого тем, что оно не может трактоваться как одна определённая пропозиция.

Можно предположить, что мы могли бы вообще обойтись без мнимых переменных, ограничившись какой-то в качестве замены для все. Это, однако, не имеет места. Возьмём, например, определение непрерывной функции, процитированное выше. В этом определении ,  или  должны быть мнимыми переменными. Мнимые переменные постоянно требуются в определениях. Возьмём, например, такое: ‘Целое число называется простым, когда оно не имеет целых делителей кроме 1 и себя самого’. Это определение неизбежно включает мнимую переменную формы: ‘Если n – целое число, отличное от 1 или заданного целого числа, то n не является делителем данного целого числа, для всех возможных значений n’.

Таким образом, различие между все и какой-то необходимо для дедуктивного рассуждения и проходит через всю математику; хотя, насколько я знаю, его важность оставалась незамеченной до тех пор, пока на неё не указал Фреге.

Для наших целей это различие имеет разную пользу, которая весьма значительна. В случае таких переменных как пропозиции или свойства ‘какое-то значение’ законно, тогда как ‘всякое значение’ – нет. Так, мы можем сказать: ‘р – истинно или ложно, где р есть какая-то пропозиция’, хотя мы не можем сказать ‘Все пропозиции являются истинными или ложными’. Причина этого в том, что в первом случае мы просто утверждаем одну неопределённую пропозицию из пропозиций формы ‘р – истинно или ложно’, тогда как в последнем случае мы утверждаем (если что-то утверждаем) новую пропозицию, отличную от всех пропозиций формы ‘р – истинно или ложно’. Таким образом, ‘какое-то значение’ переменной мы можем принять в случае, где ‘всякое значение’ вело бы к рефлексивным ошибкам; ибо допущение ‘какого-то значения’ не создаёт таким способом новых значений. Следовательно, фундаментальные законы логики можно установить, рассматривая какую-то пропозицию, хотя мы и не можем осмысленно сказать, что они имеют место для всех пропозиций. Эти законы имеют, так сказать, частное, а не общее изложение. Не существует одной пропозиции, которая является, скажем, законом противоречия; существуют только различные примеры этого закона. О какой-то пропозиции р мы можем сказать: ‘р и не-р не могут быть обе истинными’; но не существует такой пропозиции как: ‘Каждая пропозиция р такова, что р и не-р не могут быть обе истинными’.

Сходное объяснение применяется к свойствам. Мы можем говорить о каком-то свойстве х, но не о всех свойствах, поскольку тем самым порождались бы новые свойства. Так, мы можем сказать: ‘Если n есть конечное целое число, и если 0 обладает свойством , и m + 1 обладает свойством  при условии, что им обладает m, отсюда следует, что n обладает свойством ’. Здесь нам не нужно уточнять ;  обозначает ‘какое-то свойство’. Но мы не можем сказать: ‘Конечное целое число определяется как число, которое имеет каждое свойство , предполагаемое 0 и числами, следующими за теми числами, которые его предполагают’. Ибо здесь существенно рассмотреть каждое свойство¹, а не какое-то свойство; и в использовании такого определения мы предполагаем, что оно охватывает свойство, отличительное для конечных целых чисел, которое как раз и является разновидностью предпосылки, из которой, как мы видели, вытекают рефлексивные парадоксы.

В указанном выше примере необходимо избегать предположений обыденного языка, который не подходит для выражения требуемых различий. Суть дела может быть далее проиллюстрирована следующим образом: Если для определения конечных целых чисел необходимо использовать индукцию, она должна устанавливать определённые свойства конечных целых чисел, а не свойства двусмысленные. Но если  есть действительная переменная, высказывание ‘n имеет свойство  при условии, что  предполагается 0 и числами, следующими за теми числами, которые его предполагают’ приписывает n свойство, которое изменяется с изменением , и такое свойство не может использоваться для определения класса конечных целых чисел. Мы хотим сказать: ‘“n есть конечное целое число” означает “Каким бы ни было свойство , n обладает свойством  при условии, что  предполагается 0 и числами, следующими за теми числами, которые его предполагают”’. Но здесь  стало мнимой переменной. Чтобы сохранить её в качестве действительной переменной, мы должны были бы сказать: ‘Каким бы ни было свойство , “n есть конечное целое число” означает: “n обладает свойством  при условии, что  предполагается 0 и числами, следующими за теми числами, которые его предполагают”’. Но здесь значение “n есть конечное целое число” изменяется с изменением  и, поэтому, такое определение невозможно. Этот случай иллюстрирует важный пункт, а именно, следующий: ‘Область² действительной переменной никогда не может быть меньше, чем вся пропозициональная функция, в которой встречается данная переменная’. То есть, если наша пропозициональная функция есть, скажем, ‘х влечёт р’, утверждение этой функции будет означать ‘какое-то значение “х влечёт р” является истинным’, но не ‘“какое-то значение х является истинным” влечёт р’. В последнем случае в действительности мы имеем ‘Все значения х истинны’ и х является мнимой переменной.

III. ЗНАЧЕНИЕ И ОБЛАСТЬ ОБОБЩЁННЫХ ПРОПОЗИЦИЙ
В этом разделе первым мы должны рассмотреть значение пропозиций, в которых встречается слово все, а затем, разновидность совокупностей, которые допускают пропозиции о всех их членах.

Название обобщённые пропозиции удобно дать не только тем пропозициям, которые содержат слово все, но также и тем, которые содержат слово некоторые (в неопределённо частном смысле). Пропозиция ‘х иногда истинно’ эквивалентна отрицанию пропозиции ‘не-х всегда истинно’; ‘Некоторые А суть В’ эквивалентно отрицанию того, что ‘Все А не суть В’; т.е. отрицанию того, что ‘Ни одно А не суть В’. Вопрос о том, можно ли найти интерпретации, которые отличают ‘х иногда истинно’ от отрицания того, что ‘не-х всегда истинно’, исследовать не нужно; ибо для наших целей мы можем определить ‘х иногда истинно’ как отрицание того, что ‘не-х всегда истинно’. В любом случае два вида пропозиций требует один и тот же вид интерпретации и подлежат одинаковым ограничениям. В каждом случае есть мнимая переменная; и наличие мнимой переменной образует то, что я имею в виду под обобщённой пропозицией. (Заметим, что ни в одной пропозиции не может быть действительной переменной; ибо то, что содержит действительную переменную, есть пропозициональная функция, а не пропозиция.)

Первый вопрос, который необходимо задать в этом разделе, следующий: Как мы должны интерпретировать слово все в таких пропозициях как ‘Все люди смертны’? На первый взгляд можно подумать, что никаких затруднений нет, что ‘все люди’ – это совершенно ясная идея, и что о всех людях мы говорим, что они смертны. Но на эту точку зрения есть много возражений.

(1) Если эта точка зрения правильна, оказалось бы, что ‘Все люди смертны’ не может быть истинным, если людей нет. Однако, как утверждал м-р Брэдли¹, ‘Правонарушители будут привлекаться к ответственности’ вполне может быть истинным, даже если правонарушителей нет; следовательно, как он доказывает далее, мы вынуждены интерпретировать такие пропозиции как гипотетические, подразумевая ‘Если кто-то является правонарушителем, то он будет привлечён к ответственности’; т.е. ‘если х – правонарушитель, то х будет привлечён к ответственности’, где область значения, которую может иметь х, кем бы он ни был, определённо не ограничивается теми, кто действительно совершил правонарушение. Сходным образом ‘Все люди смертны’ будет означать ‘Если х – человек, то х смертен, где х может обладать каким-то значением в рамках определённой области’. Что представляет собой эта область, остаётся определить; но в любом случае она шире, чем ‘человек’, ибо указанное выше гипотетическое высказывание часто определённо истинно, когда х не является человеком.

(2) ‘Все люди’ – это обозначающая [denoting] фраза; и по причинам, которые я выдвинул в другом месте², кажется, что обозначающие фразы никогда не обладают значением в изоляции, но лишь входят в качестве конституент в вербальное выражение пропозиций, которые не содержат конституент, соответствующих рассматриваемым обозначающим фразам. Другими словами, обозначающая фраза определяется посредством пропозиций, в чьём вербальном выражении она встречается. Следовательно, невозможно, чтобы эти пропозиции приобретали своё значение через обозначающие фразы; мы должны найти независимую интерпретацию пропозиций, содержащих такие фразы, и не должны использовать эти фразы в объяснении того, что означают такие пропозиции. Поэтому, мы не можем рассматривать ‘Все люди смертны’ как высказывание о ‘всех людях’.

(3) Даже если бы такой объект как ‘все люди’ существовал, ясно, что это не тот объект, которому мы приписываем смертность, когда говорим ‘Все люди смертны’. Если бы мы приписывали смертность этому объекту, мы должны были бы сказать ‘Все люди смертны’. Стало быть, предположение, что такой объект как ‘все люди’ существует, не поможет нам в интерпретации ‘Все люди смертны’.

(4) Кажется очевидным, что если мы встречаем нечто такое, что может быть человеком или замаскированным ангелом, то это нечто входит в сферу ‘Все люди смертны’, чтобы утверждать ‘Если это нечто – человек, то это нечто – смертно’. Таким образом, как и в случае с правонарушителями, вновь становится ясным, что мы на самом деле говорим ‘Если нечто является человеком, то это нечто – смертно’, и что вопрос о том, является то или это человеком не входит в сферу нашего утверждения, как это было бы, если все действительно указывало бы на ‘все люди’.

(5) Таким образом, мы пришли к точке зрения, что то, что подразумевается под ‘Все люди смертны’ более явно может быть установлено в какой-то форме, типа следующей: ‘Всегда истинно, что если х – человек, то х смертен’. Здесь мы должны провести исследование относительно слова всегда.

(6) Очевидно, что всегда включает некоторые случаи, в которых х не является человеком, как мы видели в примере с замаскированным ангелом. Если х был бы ограничен до случая, когда х является человеком, мы могли бы вывести, что х – смертен, поскольку, если х – человек, то х – смертен. Поэтому, с тем же самым значение слова всегда мы нашли бы ‘Всегда истинно, что х – смертен’. Но ясно, что без изменения значения всегда, эта новая пропозиция является ложной, хотя другая была истинной.

(7) Можно понадеяться, что ‘всегда’ означало бы ‘для всех значений х’. Но выражение ‘все значения х’, если оно и законно, включало бы в качестве части выражения ‘все пропозиции’ и ‘все функции’ и соответствующие им не оправданные целостности. Следовательно, значение х должно быть как-то ограничено в рамках некоторой узаконенной целостности. Это, по-видимому, ведёт нас к традиционной доктрине ‘универсума рассуждения’, в рамках которого, как предполагается, расположен х.

(8) Однако, весьма существенно, что мы должны обладать некоторым значением слова всегда, которое не должно выражаться в ограничительном условии относительно х. Ибо, предположим, что ‘всегда’ означает ‘всякий раз, когда х принадлежит классу i’. Тогда ‘Все люди смертны’ становится ‘Всякий раз, когда х принадлежит классу i, если х – человек, то х – смертен’. Но что должно означать наше новое всегда? По-видимому, для ограничения х до класса i в этой новой пропозиции причин не более, чем их было до этого при ограничении х до класса людей. Таким образом, если мы не можем обнаружить некоторое естественное ограничение на возможные значения функции (т.е. некоторое ограничение заданное функцией) ‘если х – человек, то х – смертен’, и оно не навязывается нам извне, мы перейдём к новому, более широкому универсуму и т.д. ad infinitum.

(9) По-видимому, очевидно, что, поскольку все люди смертны, то какой-то ложной пропозиции, являющейся значением функции ‘если х – человек, то х – смертен’ быть не может. Ибо, если она вообще является пропозицией, условие ‘х – человек’ должно быть пропозицией, таковой должно быть и следствие ‘х – смертен’. Но, если условие – ложно, условное высказывание – истинно; а если данное условие истинно, то это условное высказывание – истинно. Следовательно, ложной пропозиции формы ‘если х – человек, то х – смертен’ быть не может.

(10) Отсюда следует, что если какие-то значения х должны быть исключены, они могут быть только такими значениями, для которых нет пропозиции формы ‘если х – человек, то х – смертен’; т.е. для которых эта фраза является бессмысленной. Поскольку, как мы видели в (7), эти значения х должны быть исключены, отсюда следует, что функция ‘если х – человек, то х – смертен’ должна иметь определённую область значимости [range of significance]¹, которой не хватает для всех воображаемых значений х, хотя она и превосходит те значения, которые являются людьми. Таким образом, ограничение на х есть ограничение до области значимости функции ‘если х – человек, то х – смертен’.

(11) Итак, мы приходим к выводу, что ‘Все люди смертны’ означает ‘Всегда, если х – человек, то х – смертен’, где всегда означает ‘для всех значений функции “если х – человек, то х – смертен”’. Это – внутреннее ограничение на х, заданное природой функций; и это ограничение не требует явного высказывания, поскольку для функции невозможно быть истинной способом более общим, нежели быть истинной для всех её значений. Кроме того, если область значимости функции есть i, то функция ‘если х есть i, то если х – человек, то х – смертен’ имеет ту же самую область значимости, поскольку она не может быть значимой, если значимой не является её конституента ‘если х – человек, то х – смертен’. Но здесь область значимости снова является скрытой, как это было в “если х – человек, то х – смертен”. Поэтому, мы не можем сделать области значимости явными, поскольку попытка так поступить, приводит лишь к возникновению новой пропозиции, в которой эта же самая область значимости является скрытой.

Итак, в общем виде: ‘(x).x’ должно означать ‘всегда x’. Это можно интерпретировать, хотя и с меньшей точностью, как ‘x всегда истинно’, или, более явно, как ‘Все значения функции х истинны’¹. Таким образом, основополагающее все есть ‘все значения пропозициональной функции’, и любое другое все производно от этого. И каждая пропозициональная функция имеет определённую область значимости, в рамках которой расположены аргументы, для которых функция имеет значения. В рамках этой области аргументов функция является истинной или ложной; вне этой области она бессмысленна.

Приведённую выше аргументацию можно суммировать следующим образом:

Часто предполагалось¹, что для того, чтобы обоснованно говорить о всех элементах совокупности, требуется, чтобы совокупность была конечной. Так, ‘Все люди смертны’ обоснованно, поскольку люди образуют конечный класс. Но на самом деле, это не причина, по которой мы можем говорить о ‘всех людях’. Как видно из приведённого выше обсуждения, существенна не конечность, но то, что можно было бы назвать логической однородностью. Это свойство должно принадлежать любой совокупности, чьи элементы суть все элементы, содержащиеся в рамках области значимости некоторой одной функции. Если дело не в скрытой неопределённости общих логических терминов, таких как истинно и ложно, которая придаёт видимость единой функции тому, что на самом деле является конгломератом многих функций с различными областями значимости, то с первого взгляда всегда видно, предполагает совокупность это свойство, или же нет.

Выводы этого раздела заключаются в следующем: Каждая пропозиция, содержащая все, утверждает, что некоторая пропозициональная функция всегда истинна; и это подразумевает, что все значения указанной функции являются истинными, но это не подразумевает, что функция является истинной для всех аргументов, поскольку есть аргументы, для которых какая-то данная функция является бессмысленной, т.е. не имеет значения. Следовательно, мы можем говорить о всех элементах совокупности тогда и только тогда, когда совокупность образует часть или целое области значимости некоторой пропозициональной функции, где область значимости определяется как совокупность тех аргументов, для которых рассматриваемая функция является значимой, т.е. имеет значение [value].

IV. ИЕРАРХИЯ ТИПОВ

Пропозиции, которые содержат мнимые переменные, возникают из пропозиций, не содержащих этих мнимых переменных, посредством процессов, один из которых всегда является процессом обобщения, т.е. подстановкой переменной вместо одного из терминов пропозиции и утверждением результирующей функции для всех возможных значений этой переменной. Следовательно, пропозиция называется обобщённой, когда она содержит мнимую переменную. Пропозицию, не содержащую мнимых переменных, мы будем называть элементарной пропозицией. Ясно, что пропозиция, содержащая мнимые переменные предполагает другие пропозиции, из которых она может быть получена посредством обобщения; следовательно, все обобщённые пропозиции предполагают элементарные пропозиции. В элементарной пропозиции мы можем различить один или более членов от одного или более понятий; члены суть то, что может рассматриваться как субъект пропозиции, тогда как понятия являются предикатами или отношениями, утверждаемыми относительно этих терминов¹. Члены элементарных пропозиций мы будем называть индивидами; они образуют первый или низший тип.

На практике не обязательно знать, какие объекты принадлежат низшему типу; необязательно даже знать, является ли низший тип переменных, встречающихся в данном контексте, типом индивидов, или же каким-то другим. Ибо на практике имеют значение только относительные типы переменных; поэтому, низший тип, встречающийся в данном контексте, может быть назван типом индивидов постольку, поскольку рассматривается этот контекст. Отсюда следует, что приведённое выше рассмотрение индивидов не существенно для истинности того, что идёт далее; существенен только способ, которым из индивидов производятся другие типы. Тем не менее, тип индивидов можно образовать.

Применяя процесс обобщения к индивидам, входящим в элементарные пропозиции, мы получаем новые пропозиции. Обоснованность этого процесса требует только того, чтобы индивиды не были пропозициями. То, что это так, должно обеспечиваться смыслом, который мы придаём слову индивид. Мы можем определить индивид как нечто лишённое комплексности; тогда очевидно, что он не является пропозицией, поскольку пропозиции существенно комплексны. Следовательно, в применении процесса обобщения к индивидам мы не подвержены риску впасть в рефлексивные недоразумения.

Элементарные пропозиции в совокупности с теми пропозициями, которые в качестве мнимых переменных содержат только индивиды, мы будем называть пропозициями первого порядка. Они образуют второй логический тип.

Таким образом, мы имеем новую целостность, целостность пропозиций первого порядка. Стало быть, мы можем образовать новые пропозиции, в которые первопорядковые пропозиции входят как мнимые переменные. Их мы будем называть пропозициями второго порядка; они образуют третий логический тип. Так, например, если Эпименид утверждает ‘Все пропозиции первого порядка, утверждаемые мной, ложны’, он утверждает пропозицию второго порядка; он действительно может ею утверждать, не утверждая в действительности какой-то первопорядковой пропозиции и, поэтому, противоречия не возникает.

Указанный выше процесс можно продолжать бесконечно. n + 1-ый логический тип будет состоять из пропозиций порядка n, которые будут включать пропозиции порядка n – 1, но не более высокого порядка, чем порядок мнимых переменных. Полученные таким образом типы взаимоисключающи и, поэтому, рефлексивные недоразумения невозможны до тех пор, пока мы помним, что мнимые переменные должны всегда ограничиваться рамками некоторого одного типа.

На практике иерархия функций более удобна, чем иерархия пропозиций. Функции различных порядков могут быть получены из пропозиций различных порядков методом подстановки. Если р – пропозиция, и а – конституента р, то пусть ‘р/а^;х’ означает пропозицию, которая получается при подстановке х вместо а везде, где а входит в р. Тогда р/а, которую мы будем называть матрицей, может занять место функции; её значение для аргумента х есть р/а^;х, а её значение для аргумента а есть р. Сходным образом, если ‘р/(а, b)^;(х, у)’ означает результат первой подстановки х вместо а, а затем подстановки у вместо b, мы можем использовать двухместную матрицу р/(a, b) для того, чтобы представить двухместную функцию. Этим способом мы можем избежать мнимых переменных, отличных от индивидов и пропозиций различных порядков. Порядок матрицы будет определяться как порядок пропозиции, в которой произведена подстановка, а саму эту пропозицию мы будем называть прототипом. Порядок матрицы не определяет её тип: во-первых, потому что она не определяет число аргументов, вместо которых должны быть подставлены другие аргументы (т.е. имеет ли матрица форму р/а, р/(а, b) или р/(а, b, с)’ т.д.); во-вторых, потому что, если прототип относится к более высокому, чем первый, порядку, аргументы могут быть либо пропозициями, либо индивидами. Но ясно, что тип матрицы всегда определим посредством иерархии пропозиций.

Хотя и возможно заменить функции матрицами, и хотя эта процедура вводит определённое упрощение в объяснение типов, она технически неудобна. Технически удобно заменить прототип р на а и заменить р/а^;х на х; таким образом, там, где как мнимые переменные появлялись бы р и а, если бы применялась матрица, в качестве нашей мнимой переменной мы теперь имеем . Для оправдания  в качестве мнимой переменной необходимо, чтобы её значения ограничивались пропозициями некоторого одного типа. Поэтому, мы продолжаем следующим образом.

Функция, чьим аргументом является индивид и чьим значением всегда является пропозиция первого порядка, будет называться функцией первого порядка. Функция, включающая первопорядковую функцию или пропозицию в качестве мнимой переменной будет называться второпорядковой функцией и т.д. Функция от одной переменной, относящаяся к порядку следующему за порядком её аргумента будет называться предикативной функцией; такое же название будет даваться функции от нескольких переменных, если среди этих переменных есть переменная, в отношении которой функция становится предикативной, когда значения приписываются всем другим переменным. Тогда тип функции определяется типом её значений и числом и типом её аргументов.

Далее иерархия функций может быть объяснена следующим образом. Функция первого порядка от индивида х будет обозначаться как 