«Математическое образование в системе профильной подготовки»

48 

 

 

 

задачи.  Кроме  того,  мы  можем  обобщить  эту  формулу,  записав  сумму 

оставшегося долга после n-ой выплаты, где n – количество платежей сумма 

долга  истечении  последнего  платёжного  периода  равна  0,  получаем 

формулу  для  вычисления  платежа  при  аннуитетной  схеме  погашения 

кредита:  

1

1

0

...

n

n

n

n

A

A m

x

A m

m

x

mx

x







 



 



 

0

(

1)

1

n

n

m m

x

A

m







 

Теперь, подставив данные из условия, можно вычислить х: 





3

3

0

3

3

(

1)

1,1 (1,1 1)

9930000

3993000

1

1,1

1

m m

x

A

m



















 

Так  как  за  х  мы  обозначили  сумму  ежегодного  платежа,  ответ  на 

вопрос задачи получен. 

Ответ: 3 993 000 рублей. 

Пример  решения  задачи  с  использованием  ключевых  слов  и 

использованием формулы из задачи, решённой ранее. 

Задача 4: 1 июля не високосного года Екатерина взяла в банке кредит 

на сумму 109 500 рублей под 24% годовых сроком на 6 месяцев. Условия 

погашения кредита: 

‒  до 1-го числа каждого следующего за июлем месяца, банк начисляет 

24% на оставшуюся сумму долга; 

‒  после  начисления  процентов  Екатерина  вносит  в  банк  некоторую 

фиксированную сумму ‒ одну и ту же для каждого платежа 

Найдите сумму всех выплат по кредиту. 

Начисление  процентов  на  оставшуюся  сумму  до  истечения 

платёжного периода и  погашение равными платежами означает, что схема 

погашения аннуитетная. Так как начисление процентов и погашение долга 

происходит ежемесячно, т.е. важно количество месяцев, а не дней в году, 

информация  о  том,  что  год  не  високосный  –  лишняя.  Чтобы  найти 

49 

 

 

 

проценты, начисляемые ежемесячно, следует годовые проценты поделить 

на 12: 

0, 24

0, 02

12

p





 

Для  аннуитетной  схемы  погашения  кредита  применим  формулу 

нахождения разового платежа, полученную в задаче (задача 3): 









6

0

6

1

0, 02 1, 02

109500

19548,58

.

1, 02

1

1

1

n

n

p p

x

S

руб

p



















 

Вернёмся  к  условию  и  проверим,  получили  ли  мы  окончательный 

результат. Нет, нам требуется найти сумму всех выплат: 

6

6 19548,58

117291, 48

.

S

x

руб



 



 

Ответ: 117 291,48 руб. 

Алгоритм  составления  математической  модели  для  задач  на 

оптимизацию величины: 

1  Проанализировав  условия  задачи,  выделить    величину,  о 

наибольшем  или  наименьшем  значении  которой  идет  речь, 

обозначить  ее  буквой  y  (S,  V,  Q  и  так  далее,  в  зависимости  от 

фабулы). 

2  Одну  из  участвующих  в  задаче  неизвестных  величин,  через 

которую  сравнительно  нетрудно  выразить  остальные,  принять  за 

независимую переменную и обозначить ее буквой х. 

3  Установить  границы  изменения  независимой  переменной  в 

соответствии с условиями задачи. 

4  Выразить величину, наибольшее или наименьшее значение которой  

требуется найти, через х. 

5  Математическая модель задачи представляет собой функцию у=f(х) 

с  областью  определения,  которую  нашли  на  втором  шаге.  Надо 

найти  точку  максимума  (минимума)  этой  функции  на  данном 

интервале. 

50 

 

 

 

Задача 5: Макар является владельцем двух заводов в разных городах. 

На  заводах  производятся  абсолютно  одинаковые  изделия,  но  на  заводе, 

расположенном  во  втором  городе,  используется  более  совершенное 

оборудование.  В  результате  если  рабочие  на  заводе,  расположенном  в 

первом  городе,  трудятся  суммарно  36t

3

  часов  в  неделю,  то  за  эту  неделю 

они  производят  t  изделий,  и  если  рабочие  на  заводе,  расположенном  во 

втором городе, трудятся суммарно t

3

  часов в неделю, то  они  производят  t 

изделий.  За  каждый  час  работы  (на  каждом  из  заводов)  Макар  платит 

рабочему  200  рублей.  Необходимо,  чтобы  за  неделю  суммарно 

производилось  70  изделий.  Какую  наименьшую  сумму  (в  млн.  рублей) 

придётся  тратить  владельцу  заводов  еженедельно  на  оплату  труда 

рабочих? 

1.  Следуя  предложенному  алгоритму,  отметим,  что  оптимизировать 

нужно  сумму,  еженедельно  затрачиваемую  на  оплату  труда  рабочих  на 

двух заводах. Обозначим эту величину буквой S. 

2. Пусть на первом заводе производят х изделий, работая 36х

3

 часов, 

а на втором – (70-х) изделий, работая (70-ч)

3

 часов в неделю.  

3. Так как за неделю должно производиться 70 изделий, то 

0

70

x

 

.  

4. Зная почасовую оплату и выразив количество рабочих часов через 

х, составим функцию для S: 





3

3

200 36

(70

)

S

x

x









 

5. Мы получили математическую модель для решения задачи. Теперь 

найдём производную полученной функции и значение х когда производная 

обращается в нуль: 









'

2

2

2

2

3 200 36

(70

)

36

(70

)

0

6

70

10

6

70

14

S

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 





























  

 





 

Условию 

0

70

x

 

,  удовлетворяет  х=10.  Если 

(0;10)

x



,  то 

'

0

S



; 

51 

 

 

 

если

(10;70)

x



,  то 

'

0

S



,  то  есть  х=10  –  точка  минимума.  Получаем,  что 

минимальное  значение  функция 





3

3

200 36

(70

)

S

x

x









принимает  в  точке 

х=10 и это значение равно 50 400 000 руб.  Отметим, что ответ требуется 

дать в миллионах рублей. 

Ответ: 50,4 руб. 

На  рисунке  2.1 приведена разработанная  нами схема формирования 

общего  подхода  к  составлению  математической  модели  для  задачи  с 

экономическим содержанием из ЕГЭ. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.1 – Обобщенный подход к составлению математической модели при 

решении задач с экономическим содержанием 

Внимательно прочитать задачу, 

определить ее тип 

Задача на 

вклад 

Задача на 

кредит 

Задача на 

оптимизацию 

Проанализировав 

условия 

задачи,  выделить    величину,  о 

наибольшем  или  наименьшем 

значении  которой  идет  речь. 

Или  две  величины,  из  которых 

нужно 

выбрать 

наилучшую 

согласно условию задачи. 

 

Проанализиров

ав условия задачи, 

определить, какую 

формулу  следует 

использовать

 

Проанализировав 

условия 

задачи,  выделить    величину, 

значение  которой  требуется  найти 

(сумму  кредита,  срок,  процент)  и 

определить 

схему 

погашения 

(равные/неравные) платежи.  

 

Однократное 

изменение 

величины 

вклада 

на 

определённое 

число 

процентов 

(простые 

проценты) 

Изменение 

величины 

вклада 

через 

равные 

промежутки 

времени 

на 

определённое 

число 

процентов 

(сложные 

проценты) 

При погашении 

неравными 

платежами клиент 

возвращает n-ую 

часть суммы кредита 

и проценты от не 

выплаченной на 

начало этого периода 

части кредита (n – 

количество 

периодов). Проценты 

начисляются на 

остаток долга 

При погашении 

равными 

платежами 

(аннуитетная 

схема) клиент 

вносит платеж 

после начисления 

процентов, сумма 

долга 

уменьшается и 

проценты 

начисляются на 

уменьшенную 

сумму долга. 

Математическая 

модель представляет 

собой функцию у=f(х) с 

областью определения, 

задаваемой границами 

изменения переменной в 

задаче или систему 

уравнений (неравенств)

 

Формула 

простых 

процентов 

Формула 

сложных 

процентов 

Формула 

простых 

процентов, 

формула 

суммы n первых  членов 

арифметической 

прогрессии 

Формула  сложных 

процентов,  формула 

суммы 

n 

первых  

членов 

геометрической 

прогрессии 

Исследование 

функции с помощью 

производной/Решение 

системы уравнений 

(неравенств)

 

Еще раз внимательно прочитать условия задачи и убедиться, что работа с 

полученной моделью даст ответ на вопрос задачи 

52 

 

 

 

Систематическое  выполнение  задач  по  отработанному  алгоритму 

сформировать  единый  подход  к  решению  задач  с  экономическим 

содержанием,  а  также  довести  до  автоматизма  навыки  составления 

математической модели, что является наиболее сложным этапом решения 

задачи. 

 

жүктеу/скачать 0.9 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: