Математик анализ ва алгебра кафедраси



Дата18.07.2016
өлшемі0.52 Mb.


ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ

ОЛИЙ ВА ЎРТА МАХСУС ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ


љАРШИ ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ

МАТЕМАТИК АНАЛИЗ ВА АЛГЕБРА КАФЕДРАСИ




Эшдавлатова Севара Эшмаматовнанинг
“5460100 – Математика” таълим йўналиши бўйича

бакалавр даражасини олиш учун


Катта сонлар функцияси усулининг асимптотик анализдаги татби›лари іа›ида
мавзусида ёзган
БИТИРУВ МАЛАКАВИЙ ИШИ

Илмий раібар: А.А.Имомов


“Іимояга тавсия этилсин”

Физика-математика факультети

декани:____________ Б.Хайриддинов

“____”________________ 2011 йил

љарши - 2011


МУНДАРИЖА


Кириш ………………………..………………….…………… 31-§. Катта сонлар функцияси. Лаплас усули …………....….112-§. Катта сонлар функцияси усулининг

модификацияси ………………………………...…….…

213-§. Катта сонлар функцияси усулининг

баъзи бир татби›лари ………………………...…………

27Хулоса …………………………………………...…………….39Адабиётлар рўйхати ………………………………..……...…41

КИРИШ
Математик анализнинг муіим таркибий ›исмларидан бири бу асимптотик анализдир. Асимптотик анализ муайян аналитик формулалар ёки тасди›ларга асосланган ›оидалар мажмуи эмас. Унинг ма›сади, математик анализ элементларини ўзгарувчи ми›дорларнинг асимптотик іолатларини ўрганишга жалб ›илишдан иборат. Бу жараёнда ўзига хос символлардан фойдаланилади. Бизга иккита функция ва берилган бўлсин. Агар бирор учун тенгсизлик ўзгарувчининг берилган лимитга етарлича я›ин ›ийматларида ўринли бўлса, бу муносабат кўринишда ёзилади. Хусусан белги сифатида чегараланган функцияни тушунамиз. Шундай ›илиб, масалан



,

,
,

каби муносабатлар тў“ри.

Ушбу ёзув ўзгарувчи берилган лимитга я›инлашганда



эканлигини билдиради. Масалан,
,
,
, .
Хусусан, белги сифатида нолга интилувчи функцияни (чексиз кичик ми›дорни) тушунамиз.

Агар ўзгарувчи берилган лимитга я›инлашганда



муносабат бажарилса, ва функциялар эквивалент ми›дорлар дейилади ва кўринишда ёзилади. Масалан,
,
.
Асимптотик анализ элементлари ›ўлланиладиган масалалардан бири берилган функцияни кўпіад билан локал я›инлаштириш масаласидир. Локал я›инлаштириш деганда биз берилган функцияни бирор ну›тада кўпіад билан я›инлаштиришни тушунамиз. Дифференциалланувчи функциялар учун Тейлор формуласи бу масалани берилган ани›ликда іал ›илиш имконини беради. Асимптотик анализ ну›таи-назардан Тейлор формуласи ва Тейлор ›атори битта асимтотик формула ёки ёйилма деб ›аралади. Бу іолда формула иккита ›исмга ажралади, яъни ёйилманинг бош ›исми ва ›олди›. љолди› іад ўрганилаётган функциянинг ёйилмадаги бош ›исмга я›инлашиши тезлигини белгилайди. Я›инлашиш эталони сифатида одатда айирманинг нолга я›инлашиши олинади.

љаторларнинг йи“индисини текшириш асимтотик анализнинг яна бир муіим масаласидир. Хусусан, гап сонли ›аторлар устида кетганда, ›атор йи“индисини бирор ›ийматга (чекли ёки чексиз) я›инлашиш тезлигини ани›лаш унинг табиатини ани›ро› ўрганиш имконини беради. Хусусан,


,
тасди›дан кўра ушбу
,
муносабат бизга кўпро› маълумот беради.

Энди бевосита ушбу ишда ўрганилиши назарда тутилаётган мавзу іа›ида фикр юритамиз. Математик анализдан бизга Валлис формуласи, Стирлинг формуласи каби асимптотик формулалар маълум. Валлиснинг асимптотик формуласи


кўринишда бўлиб, у чап томондаги ани› интегралнинг ›иймати тартибда нолга я›инлашиб боришини тасди›лайди.

Бизнинг ма›садимиз ю›оридаги каби асимптотик формулаларни умумлаштирувчи формулани топишдан иборат, яъни интеграл белгиси остидаги дифференциалда бирор функциянинг -даражаси иштирок этаётган бўлса, интеграл ›ийматининг даги іолатини ўрганиш масаласини олдимизга ›ўямиз. Бундай типдаги интегралларнинг ›ўлланилиши іа›ида Лапласнинг фикрини келтирайлик (Лаплас. “Oпыт филосифии теории вероятностей” 52-53 бетлар. Москва, 1908):

Биз кўпинча (интеграл белгиси остида) шундай ифодаларга келиб ›оламизки, улар таркибидаги іадлар ва кўпайтувчилар сонининг катталиги уларнинг сонли ›ийматларини олиш имкониятларини чеклаб ›ўяди. Бундай іолат катта сондаги бир хил іодисалар ›аралаётган іолда уларнинг эітимолликларини іисоблаш масаласида намоён бўлади. Зеро, бу іолда іодисалар сонининг ошиб боришидаги натижалар эітимоллигини билиш учун формулаларнинг сонли ›ийматларини ани›лаш зарур бўлиб ›олади. Іодисалар сони чексиз ошганда бу эітимоллик му›аррарликка я›инлашиши мумкин бўлган ›онунни топиш айни›са муіим. Шу ма›садда мен шунга эътибор ›аратдимки, ю›ори даражали ифодаларга кўпайтирилган дифференциалларнинг ани› интеграллари катта сондаги іадлар ва кўпайтувчилардан таркиб топади…”

Лаплас ўзи фойдаланган усулни ›уйидагича характерлайди:

“…усул интегралнинг ›анча тез я›инлашишини таъминласа, уни ифодаловчи формула шунча мураккаб; бу усул ›анча ани› бўлса, шунча зарур …”

Дастлаб интеграллар назариясининг бошлан“ич тушунчаларига тўхталайлик. Бирор чекли орали›да функция берилган бўлсин. Орали›ни бирор усул билан та бўлакка бўламиз:
.
Ушбу ва белгилашларни киритамиз. сегментда деб йўналиш танлаймиз, у іолда ва . Іар бир бўлакчадан ихтиёрий ну›та олиб ›уйидаги

йи“индини тузиб оламиз. Бу йи“инди интеграл йи“инди ёки Риман йи“индиси деб аталади. Агар ихтиёрий сони учун шундай сон топилиб, орали›нинг шартни ›аноатлантирувчи іар ›андай бўлинишини олинганда іам

тенгсизлик сонларнинг ихтиёрий танланиши учун бажарилса, сони йи“индининг лимити дейилади. Агар бўлса, функция орали› бўйича интегралланувчи дейилади. сони эса функциянинг орали› бўйича олинган ани› интеграли дейилади ва
(1)

каби ёзилади.

Ю›орида келтирилган таърифдан кўриниб турибдики, ва йи“инди чекли лимитга эга бўлиши учун ми›дор чекли бўлиши керак. Бу эса функциянинг орали›да чегараланган бўлиши кераклигини билдиради. Шундай ›илиб, интегралланувчи функция чегаралангандир. Яъни агар функция интегралланувчи бўлса, шундай сонлари топиладики,

Тенгсизликлар бажарилади. У іолда, равшанки, іар бир сегментчалар учун іам

тенгсизликлар ўринли.

Энди ушбу


,
йи“индиларни киритамиз. Улар мос равишда, ›уйи ва ю›ори Дарбу йи“индилари дейилади. Ю›оридаги мулоіазалардан фойдаланиб Дарбу ва Риман йи“индилари учун ушбу

муносабатлар ўринли эканлигини кўриш ›ийин эмас. Маълумки, (1) интеграл мавжуд бўлиши учун

тенгсизликнинг бажарилиши зарур ва етарли. Агар деб функциянинг сегментдаги тебранишини белгиласак, охирги шартни
(2)
шаклда ёзиш мумкин.

Энди бўлсин. У іолда Кантор теоремасининг натижасига кўра берилган ихтиёрий сон учун іар доим топиладики, орали›нинг шарт бажарилган іар ›андай бўлиниши учун тенгсизлик бажарилади ва


.
Бу эса (2) шартга тенг кучли.

Шундай ›илиб, агар функция да узлуксиз бўлса, у шу орали›да интегралланувчидир.

Энди функцияни орали›да ›арайлик. Фараз ›илайлик, функция бу орали›нинг чекли ›исми сегментда интегралланувчи бўлсин. Равшанки, бу интегралнинг ›иймати параметрга бо“ли› бўлади, яъни
.
Агар ушбу

мавжуд бўлса, унинг ›иймати функциянинг да гача орали›даги хосмас интеграл дейилади ва ›уйидагича белгиланади:
.
Агар бу лимит чекли бўлса, хосмас интеграл я›инлашувчи, функция эса интегралланувчи дейилади. Ю›оридаги таъриф ва мулоіазалар ёрдамида ва орали›лар бўйича іам хосмас интеграллар тушунчаси киритилади.

Ушбу ишнинг биринчи параграфида муайян шатрлар бажарилганда


(3)
кўринишдаги дифференциал ифодадан орали› бўйича олинган ани› интегралнинг іолдаги асимптотик іолати ўрганилади. Олинган натижа интеграллаш орали“и чексиз бўлган іолда іам ўринли экани кўрсатилади. (3) кўринишдаги ифодада функциянинг -даражаси ›атнашгани учун ушбу
(4)
интеграл натижасини катта сонлар функцияси деб айтамиз. Бундай кўринишдаги интегралларни іисоблаш жараёни машіур француз математиги Лапласнинг тад›и›отлари билан бо“ли›.

Ю›оридаги интегралнинг асимптотик іолатини моіиятан эітимолликлар назариясидаги дастлабки теорема бўлган катта сонлар ›онунига та››ослаш мумкин.

Иккинчи параграфда (4) интеграл орали“и умумлаштирилади, яъни интеграл ю›ори чегараси сифатида , ми›дор ›аралади. Учинчи параграф олинган асимптотик формулаларнинг татби›ларига ба“ишланади.

1-§. КАТТА СОНЛАР ФУНКЦИЯСИ.

ЛАПЛАС УСУЛИ
Ушбу параграфда

кўринишдаги дифференциаллар ани› интегралининг даги асимптотик ›ийматини ўрганамиз. Бу ма›садда биз Лаплас таклиф этган усулдан фойдаланамиз. љўйилган масала моіиятан катта сонлар ›онунига ›иёсланиши мумкин. Масала ўз ечимини топгандан кейин унинг амалий масалалардаги татби›и етарлича аіамиятга эга эканлигига ишонч іосил ›иламиз.

Дастлаб ›уйидаги леммани исботлайлик.



Лемма 1. ва ўзгармас сонлар бўлсин, у іолда да ушбу
(5)
асимптотик формула ўринли.

Исбот. (5) муносабатнинг чап томонида деб аламаштириш бажарайлик. У іолда

ва ›уйидаги тенгликкка келамиз:
. (6)
Бу тенгликнинг ўнг томонида деб лимитга ўтсак, ушбу
(7)
хосмас интегралга келамиз. Иккинчи томондан маълумки, функция тўпламда жуфт функция. Шунинг учун

деб ёзиб оламиз. Бу тенгликнинг ўнг томонидаги интегралда деб белгилаш киритсак, ва
, (8)
бу ерда

— Эйлернинг Гамма функцияси. Бизга маълум бўлган ушбу

формулада десак,

эканлигини топамиз. Бу натижани (8) формулага ›ўйиб,

тенгликни іосил ›иламиз. Охирги тенгликни (6) ва (7) муносабатлар билан биргаликда ›арасак,
, .
Лемма исботланди.

Ю›орида исботланган лемма ›уйидаги теоремани исботлашда муіим аіамият касб этади.



Теорема 1. Чекли ёки чексиз оралида аниланган , , функциялар берилган бўлиб, уларга нисбатануйидаги шартлар бажарилсин:

1) чегараланган, узлуксиз;

2) бирор нутада функция максимумга эришсин;

3) нутанинг бирор атрофида узлуксиз ва ;

4) .

У іолда да ушбу

асимптотик формула ўринли.

Исбот. Ихтиёрий кичик олайлик. Бу танланган сонга кўра сонни шундай кичик танлайликки, тенгсизликлар бажарилиши билан бирга шартга бўйсунувчи барча лар учун


тенгсизликлар ўринли бўлсин. Охирги тенгсизликлар ну›тада ва функцияларнинг узлуксиз бўлиш шартига тенг кучли.

Ю›орида танланган сони бўйича орали›ни ›уйидагича икки ›исмга бўламиз:


.
Энди ушбу

функциянинг орали› бўйича интегралини ›уйидагича икки ›исмга ажратиб оламиз:
(9)

Дастлаб интегрални текширамиз. Бунинг учун ушбу функцияни ›арайлик. эканлигидан функция ёпи› тўпламда іам узлуксиз. Шартга кўра ва демак . У іолда деярли равшанки,


.
Иккинчи томондан Вейерштрасснинг иккинчи теоремасига кўра ёпи› тўпламда функция ўзининг энг катта ›ийматига эришади, яъни , . Шундай ›илиб, іар доим ва экспоненциал функциянинг хусусиятига кўра
. (10)
Агар десак, эканлигидан ва
, .
У іолда (10) тенгсизликларга кўра учун
. (11)
Теорема шартига кўра функция ёпи› тўпламда узлуксиз. У іолда ўрта ›иймат іа›идаги теоремага кўра ›уйидаги тенгликлар занжирини іосил ›иламиз:

бу ерда ва . Агар

деб олсак, у іолда интегралнинг охирги ифодасидан дан ›уйидаги тенгсизликка келамиз:
(12)
(10), (11), (12) муносабатларни биргаликда ›арасак, да

бу ерда, маълумки, . Шундай ›илиб,
. (13)
Энди интегрални баіолаш билан шу“улланамиз. Яна ўрта ›иймат іа›идаги теоремадан фойдаланамиз. Бу теоремага кўра орали›да шундай сони топиладики,
. (14)
Теорема шартига кўра функция сигментда иккинчи тартибли узлуксиз дифференциалланувчи. Шунинг учун уни ну›танинг атрофида Тейлор формуласига кўра ушбу

кўринишда ёзиб оламиз, бу ерда . Иккинчи томондан шартга кўра , яъни Ферма теоремасига кўра . У іолда

.
Охирги тенгликни (14) га олиб бориб ›ўйсак,
. (15)
(15) тенгликнинг ўнг томонидаги интеграл, Лемма 1 га кўра, да я›инлашувчидир.

Дастлабки мулоіазаларимизга кўра, бўлганда ихтиёрий учун




тенсизликларнинг бажарилиши равшан, у іолда (15) га кўра интеграл ›уйидан ва ю›оридан мос равишда
(16)
ва
(17)
интеграллар билан чегараланган. Бу ерда экспоненциал функциянинг монотон ўсувчи эканлиги эътиборга олинади.

Шундай ›илиб, биз ушбу


(18)
тенгсизликларга эгамиз.

Шартга кўра сони ихтиёрий. Шунга кўра бу сони етарлича кичик танлаш іисобига (16) ва (17) интегралларни бир-бирига исталганча ани›ликда я›инлаштиришимиз мумкин. Иккинчи томондан (5) формуладан фойдалансак, (18) тенгсизликлардан ›уйидаги баіолар келиб чи›ади:


(19)
. Охирги муносабатларни іосил ›илишда тенгсизликларда лимитга ўтиш ›оидаларидан фойдаландик. Эслатиб ўтилганидек сонини нолга исталганча я›ин танлашимиз мумкин. У іолда (19) тенгсизликлардан ушбу
, (20)
асимптотик формула келиб чи›ади.

(13) ва (20) муносабатларни (9) тенгликка ›ўйсак, ушбу



асимптотик формулага эга бўламиз. Охирги формуладан

муносабат келиб чи›ади. Бу эса теорема тасди“ига тенг кучли.

Тасди›нинг функцияга бо“ли› ›исмини іосил ›илиш учун эса



тенгликнинг тў“рилигига ишонч іосил ›илиш кифоя.

Теорема исбот бўлди.



Изоі 1. Хусусан, ва бўлган іолда

тенгликни іосил ›иламиз. Бу ерда
.
Теоремада келтирилган формула эса ю›оридаги тенгликнинг асимптотик умумлашмасидир.

Изоі 2. Исботланган асимптотик формула шуни тасди›лайдики, функциянинг катта сондаги даражаси интегралининг ›иймати кўпайтувчилар сони ошиши билан функция максимумининг шу сондаги даражасига пропроционал экан. Демак, бундай типдаги интегралларнинг асимптотик іолатини ўрганиш масаласи функция максимумини ўрганиш масаласи билан бевосита бо“ли›.

Интегралларни іисоблашнинг бундай усули Лапласнинг катта сонлар функциялари усули деб аталади.

2-§. КАТТА СОНЛАР ФУНКЦИЯСИ УСУЛИНИНГ МОДИФИКАЦИЯСИ
Ушбу параграфда биз интеграллаш чегараси ўзгарувчи бўлган іолни ›араймиз. - бирор мусбат іа›и›ий сон бўлсин. Ушбу

интегралнинг да асимптотик ›ийматини ўрганамиз. Интеграл белгиси остидаги функциялар учун Теорема 1 нинг шартлари бажарилсин. Интеграллаш орали“ини ›уйидагича икки ›исмга ажратайлик:
.
Олдинги параграфдаги каби ушбу

функциянинг интегралини ›араймиз. Бу ерда, маълумки,
.
љаралаётган интегрални ажратилган орали›лар бўйича иккита йи“инди кўринишда ёзиб оламиз:

Дастлаб интегрални текширамиз. Теорема 1 нинг исботидаги мулоіазаларга кўра
,
бу ерда , ва
. (21)
Агар деб белгиласак, эканлигидан келиб чи›ади. Бу ердан эса
.
У іолда учун
, . (22)
Ўрта ›иймат іа›идаги теоремага кўра
, (23)
бу ерда . (23) интегралга (21) ва (22) баіоларни ›ўлласак, да

Шундай ›илиб, интеграл учун
(24)
баіога эга бўлдик.

интегрални баіолаш учун эса яна Теорема 1 нинг исботидаги мулоіазалардан таянамиз. функцияни ну›танинг атрофида Тейлор формуласи бўйича тасвирлаймиз ва теорема шартларидан фойдаланиб, интегрални ушбу
(25)
кўринишда ёзиб оламиз. Бу ерда
ва .
Кейинги мулоіазаларимизда бизга ›уйидаги тасди› зарур бўлди.

Лемма 2. , ва - ўзгармас сонлар бўлсин. У іолда да ушбу
(26)
Исбот. (26) муносабатнинг чап томонидаги интегралда

деб аламаштириш бажарайлик. У іолда

ва ›уйидагига эга бўламиз:


. (26)
Лемма исбот бўлди.

(25) формулада (26) муносабатдан фойдалансак, интеграл учун ушбу



формулани іосил ›иламиз. Агар десак, у іолда ва тенгсизликларга кўра ва . Шунга кўра охирги муносабатдан ›уйидаги асимптотик формулага эга бўламиз.
. (27)
Белгилашларимизга кўра
(28)
эди. (24) ва (27) баіоларни (28) тенгликка ›ўйсак ушбу

асимптотик муносабат іосил ›иламиз.

Бундан эса да


.
Шундай ›илиб биз ›уйидаги теоремани исботладик.

Теорема 2. Бирор оралида , , функциялар берилган бўлиб, ›уйидаги шартлар бажарилсин:

1) чегараланган, узлуксиз;

2) бирор нутада ;

3) узлуксиз;

4) нутада функция узлуксиз.

Агар - мусбат іаиий сон бўлса, у іолда да ушбу

бу ерда
.
Кейинги параграф ю›орида исботланган иккита теоремаларнинг тадби›ларига ба“ишланади.

3-§. КАТТА СОНЛАР ФУНКЦИЯСИ УСУЛИНИНГ

БАЪЗИ ТАТБИљЛАРИ
Ўтган параграфларда исботланган иккита теоремадаги формулалар асимптотик анализда муіим бўлган хулосалар чи›ариш имконини беради. Асимптотик анализ усуллари эса, хусусан, эітимолликлар назариясининг лимит теоремаларини исботлашда муіим воситалардан биридир.

љуйида биз Теорема 1 нинг татби›лари билан бо“ли› баъзи масалаларга тўхталамиз.

Иккинчи тур Эйлер интеграли — Гамма функциясини ›арайлик:
.
Бу интегралда алмаштириш бажарилганимиздан кейин Гамма функция ›уйидаги кўринишга келади:
.
Хусусий іолда ва бўлсин, у іолда
. (29)
(29) интеграл белгиси остидаги ифодани

кўринишга та››ослайлик. Бунинг учун
,
дейиш кифоя. У іолда

ва бу функциялар учун Теорема 1 нинг шартлари бажарилади. Яъни, чегараланган, функция орали›да узлуксиз. ну›тада
,

ва


.
У іолда Теорема 1 тасди“ига кўра (29) тенгликдан ›уйидагига формулага эга бўламиз:

(30)
Іосил ›илинган (30) асимптотик формула бизга маълум бўлган Стирлинг формуласидир. Агар Лемма 1 тасди“ини ани›лаштирсак (30) асимптотик формулада ›олди› іаднинг баіосини олиш имконига эга бўламиз. Даріа›и›ат, (5) муносабатни ›уйидаги кўринишда ани›лаштириш мумкин:
.
Охирги баіодан фойдаланиб (30) формулани ›уйидагича ани›лаштиришимиз мумкин:
. (30.а)

Шундай ›илиб, биз Лаплас усули ёрдамида Стирлинг формуласини келтириб чи›ардик. Бу формуланинг ми›дор учун аналоги математик анализда муіим аіамиятга эга. Шу жиіатдан ›уйидаги Лежандр формуласи бизга яхши маълум:


.
љуйида биз Стирлинг формуласи ёрдамида Лежандр формуласининг асимптотик хоссаларини ўрганамиз. Бунинг учун дастлаб Гамма функциянинг ушбу

хоссасини эсга олайлик. Бу формулани кетма-кет ›ўллаб ›уйидаги тенгликлар занжирига эга бўламиз:

Бу тенгликларнинг охиргисидан Лежандр формуласида фойдалансак,
(31)
муносабатга эга бўламиз. Иккинчи томондан, маълумки, Гамма функция учун тенглик ўринли. Бу тенгликни (31) формулада ›ўллаб
(32)
тенгликни іосил ›иламиз. Энди (32) тенгликда (30) формулани ›ўллаймиз ва ушбу
(32)
асимптотик муносабатга келамиз.

(32) формула бизга ва ми›дорларнинг асимптотик муносабати іа›ида маълумот беради. Бу муносабатни ›уйидаги кўринишда ёзамиз:


.
(32) асимптотик формула ёрдамида ва ми›дорларнинг іам асимптотик муносабатини осон баіолаш мумкин. Бунинг учун энди ми›дорга формулани кетма-кет ›ўллаймиз ва ›уйидаги тенгликларни іосил ›иламиз:


Охирги тенгликда

эканлигини іисобга олсак,


. (33)
(32) ва (33) формулаларни биргаликда ›арасак,
, , (34)
Деярли равшанки,
.
Бу тенгликни (34) формулада ›ўллаб, ›уйидаги асимптотик муносабатни іосил ›иламиз:
(35)
Шундай ›илиб,
.

Энди Теорема 1 ва (35) формула ёрдамида бизга маълум бўлган Валлис формуласини осон келтириб чи›арамиз. Бунинг учун ушбу



интегрални ›арайлик. Агар , , деб олсак, бу функциялар Теорема 1 нинг шартларини ›аноатлантиради. Бу теоремага кўра ю›оридаги интеграл учун ушбу

асимптотик формулани бевосита іосил ›иламиз. Охирги муносабатдан
, (36)
эканлигини кўриш осон. (36) муносабатда (35) формулани тадби› этсак, ушбу

асимптотик формулага келамиз. Бу бизга излаётган Валлиснинг асимптотик формуласидир.

Лаплас усулининг яна бир тадби›и билан танишайлик. Ушбу



интегралнинг даги асимптотик ›ийматини текширамиз. Бу ерда . Бу интегралда алмаштириш бажарамиз. У іолда
(37)
Бу ерда биз Гамма функциянинг хоссасидан фойдаландик. Охирги тенгликдаги интеграл олдидаги кўпайтувчига Стирлинг формуласининг (30.а) шаклини ›ўлласак ушбу

муносабатни іосил ›иламиз. Бу тенгликни олишда биз

ёйилмадан фойдаландик. Шундай ›илиб, ю›оридаги мулоіазаларга кўра ›аралаётган интеграл ›уйидаги кўринишга келади:
. (38)
Охирги тенгликдаги интегралда соддалик учун
,
деб белгилаймиз ва унда интеграллаш орали“ини ›уйидагича икки ›исмга ажратамиз:
(39)
Осон текшириб кўриш мумкинки, интеграл остидаги функция тўламда ўсувчи. Шунинг учун орали›да бу функциянинг ›иймати ми›дордан кичик, яъни
. (40)
Иккинчи томондан

,
я›инлашиш ва , ёйилманинг тў“рилиги равшан. Шуларни іисобга олсак,
(41)
(40) ва (41) муносабатларни іисобга олиб, (39) тенгликда интегрални баіолаймиз:

Демак,

. (42)
Энди (39) ифодада интегрални баіолайлик. Бунинг учун интеграллаш орали“ида функцияни ›аторга ёямиз. Бизга маълумки,
.
У іолда
.
љаралаётган іолда
.
Шунинг учун

ёйилмага кўра

тенглик ўринли эканлигини осон текшириш мумкин. Шундай ›илиб интегралнинг баіоси сифатида ›уйидагини топамиз:
. (43)
Яна эканлигидан фойдалансак,

. (44)
Олинган (39), (42), (43) ва (44) муносабатлардан фойдаланиб, (38) интегрални баіолаймиз:
. (45)
(45) интегралда алмаштириш бажарамиз. У іолда

ва

эканлигига ишонч іосил ›иламиз. Бу интегралда деб лимитга ўтсак
.
Шундай ›илиб биз ›уйидаги асимптотик формулани исботладик: бирор сонлар учун ушбу
, (42)
асимптотик формула ўринли, бу ерда
.
Изоі 3. Исботланган (42) асимптотик формулани эітимолликлар назариясидаги марказий лимит теоремада стандарт нормалонунга яинлашишга та››ослаш мумкин. Бу ерда функция стандарт нормал онуннинг тасимот функциясидир.

ХУЛОСА
Эітимолликлар курсидан маълумки, тажрибалар сони чексиз кўп марта ўтказилганда уларнинг нисбий частоталари тур“ун іарактерга эга. Бундай ›онуният катта сонлар ›онуни деб аталади. Ушбу ишда ўрганилган катта сонлар функцияси усули эса ю›оридаги ›онунга “оя жиіатдан я›ин масаладир. Танланган мавзу юзасидан бир-бирини тўлдирувчи иккита теоремалар келтирилган ва исботланган.

Битирув малакавий иш учта параграфдан иборат.

Биринчи параграфда катта сонлар функциясини іисоблаш жараёни яъни Лаплас усули ›аралган. Келтирилган Теорема 1 да катта сонлар функцияси учун асимптотик формула келтирилган ва исботланган.

Иккинчи параграфда катта сонлар функциясининг чегаралари ўзгарувчи бўлган іоли ›аралган. Теорема 2 да Теорема 1 нинг натижаси такомиллаштирилган яъни модификацияланган.

Биринчи теоремани математик анализда кенг фойдаланиладиган ›атор асимптотик формулаларнинг умумлашмаси сифатида тал›ин этиш ту“ри бўлар эди. Бу фикрни келтирилган мисоллар іам тасди›лаб турибди.

Учинчи параграфда иккинчи тур Эйлер интеграли – Гамма функциянинг асимптотик іолатини ўрганиш натижасида математик анализнинг муіим асимтотик формулаларидан бўлган Стирлинг ва Валлис формулалари осон іосил ›илинади.

Ишнинг асосий натижасини келтирамиз.

Чекли ёки чексиз оралида аниланган , , функциялар берилган бўлиб, уларга нисбатануйидаги шартлар бажарилсин:

1) чегараланган, узлуксиз;

2) бирор нутада функция максимумга эришсин;

3) нутанинг бирор атрофида узлуксиз ва ;

4) .

У іолда да ушбу

асимптотик формула ўринли.

Ишда исботланган асимптотик формуладан эітимолликлар назарияси курсини ў›итиш жараёнида ва асимптотик анализ масалаларида фойдаланиш мумкин.



АДАБИЁТЛАР РЎЙХАТИ


  1. Азларов Т. А., Мансуров Х. Т. Математик анализ. II том, Т. 1995 й.

  2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. I, II, III, «Наука», Москва. 1970 г.

  3. Титчмарш Э. Теория функций. Москва. 1956 г.

  4. Боровков А. А. Теория вероятностей. «Наука», Москва. 1982 г.

  5. www.ziyonet.com

  6. http://ref.uz



Каталог: uploads -> books -> 3602
3602 -> «Қазақ тілі және әдебиеті» кафедрасы Тақырып: Ғабиттің өмірі туралы мәлімет Орындаушы: Өтегенова Асима
3602 -> Литературные связи
3602 -> Өзбекстан республикасы халықҚа білім беру министрлігі науайы мемлекеттік педагогика институты табиғаттану факультеті «география оқыту методикасы»
3602 -> Өзбекстан республикасы халықҚа білім беру уәзірлігі науаи мемлекеттік педагогика институты физика – математика факультеті
3602 -> Министерство высшего и среднего специального образования республики узбекистан
3602 -> Ўзбекистон Республикаси Олий ва Ўрта махсус таълим вазирлиги


Достарыңызбен бөлісу:


©dereksiz.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет