Математиканы оқытудың теориясы

3-сурет
4-сурет
Ал у = \х\ — 1 ф ункциясы н ы ң граф игі, у = \х\ ф ункция- 
сы ның графигін ордината осі бойымен бір бірлікке томен 
ж ы л ж ы ту арқы лы алы нады .
у = \х + 1| ф ункциясы ны ң графигін салу ережесін қорыту 
ү ш ін у = \х\ ж ән е у = \х + 1| ф у н к ц и я л а р ы м ән д ер ін ің
кестесін салы сты рсақ, екін ш і ф ун кц и я х  — а ш ам асы ны ң 
бірдей мәндерінде бірінш і ф ункцияға қарағанда бір санына 
артың мән қабылдап отыратынды ғы байқалады .
Демек, у = \х + 1\ ф ункциясы н ы ң граф игі у = \х\ функ- 
циясы ның графигін бір бірлікке абсцисса осі бойымен солға 
ж ы л ж ы ту нәтиж есінде ш ы ғады (4-сурет).
у = \ х - і \  ф ункциясы н ы ң граф игі у = \х\ ф ун кц и ясы н ы ң
г р а ф и гін аб сц и сс а о с ін ің бой ы м ен бір б ір л ік к е о ц ға 
ж ы л ж ы ту арңы лы алы нады .
Ж оғарыда көрсетілген ф ункцияларды ң графигін салыс­
ты ру арқы лы у = /( х ) ф ун кц и ясы н ы ң граф игі бойы нш а 
у = /(х) + а,у = /(х ) - а , у = /(х + а),у = /(х - а ) ф ункцияларыны ң 
граф иктерін салу ереж елерін түж ы ры м дауға болады.
А н а л и з ж ә н е с и н т е з. М а т е м а т и к а л ы қ о б ъ е к т іл е р
мен за ң д ы л ы қ та р д ы оң ы п -үй рен у процесінде ғы л ы м и
тан ы м н ы ң әдісі болып табы латы н ан ал и з ж ән е синтез 
әдістерін пайдаланбау м үм кін емес. А н а л и з  деп бүтінді 
ойш а нем есе п р а к т и к а л ы ң түрде қ ү р ам д ы б ө л іктер ге 
б ө л іп , ол б ө л ік т е р д і ж ә н е о л а р д ы ң ң а с и е т т е р і м ен 
араңатынастарын ж еке-ж еке қарастыру арңылы зерттейтін 
таным ж әне ойлау формасы түсініледі.
Зерделенетін объект туралы айқын түсінік алып, қүрам- 
ды бөліктердің арасы ндағы өзара байланы сты ан ы қтау
ү ш ін а н а л и з ж е т к іл ік с із . С о н д ы ң тан с и н т е з қ а ж е т . 
Синтезді анализ арңы лы бөлінген бөліктерді ойш а немесе 
п р ак ти кал ы қ түрде біріктіру деп түсінеміз.
69

А нализ процесінде күрделіден қарапайы м ға, бір түрден 
көп түрге, нақты дан аб страктілікке, белгісізден белгіліге, 
салдардан оны туғы заты н себепке ңарай ңозғалу ж үзеге 
асы ры лса, синтезде бүл үрдістер керісінш е ж үреді. Міне, 
осыдан анализ бен синтездің кері ам алдар екені көрінеді. 
Сонымен ң атар оларды бір-біріне тәуелсіз тәсілдер деп 
түсінуге болмайты ны ан ы қ. Себебі өте ңарапайы м ойлау 
процесінің өзінде ан али з синтездің, ал синтез анализдің 
жетегінде болады. Ал оқыту процесінде олар аналитикалы қ- 
си н тети калы қ әдіс ретінде қоса қолданы лады .
М атем атиканы оқы ту процесінде кең қолдан ы латы н
ан ал и ти калы қ ж әне си н тети калы қ әдістерге тоқталай ы қ.
Ә лем ентар а н а л и з ж ән е си н тез. М атем ати кад а эле- 
м ентар ан али з бүтінді ңүрам ды бөліктерге аж ы рату, ал 
элементар синтез сол қүрам ды бөліктерді қайтадан бүтінге 
ж и н ақ тау ретінде ңолданы лады .
Осы әдістерді қолдану м ы салдары н ңарасты райы қ.
1) Ү ғы м д а р д ы қ а л ы п т а с т ы р у д а б е р іл ге н ү ғы м д ы
ң а м т и т ы н ж а л п ы қ а с и е т т е р к ө р с е т іл е д і, одан соң ол 
ң а с и е т т е р д ің іш ін е н е л е у л іл е р і бөліп а л ы н а д ы , я ғн и
элементар талдау ж асалы нады . Элементар синтез үғымның 
елеулі қасиеттерін біріктіреді.
2) Барлы ң ғы лы м дар си яқты , м атем атика да үгымды 
ж ік т е у д і (к л а с с и ф и к а ц и я л а у д ы ) п ай д ал ан ад ы . Т е к тік
үғы м дарды тү р лі үғы м дарға ж ік те у , кей ін түрлі үғым- 
дарды ң өзін басқа к л астар ға аж ы рату элементар талдау 
арңы лы ж үзеге асы ры лады . М ысалы, натурал сандардың 
ңүрам ы на ж ай сандар, ңүрам а сандар ж әне 1 саны кіреді.
К е ң іс т ік т е г і т ү зу л е р д ің ө зар а о р н аласуы н еск ер іп , 
оларды параллель, қиы лы саты н ж әне айңас деп бөледі.
Ф у н к ц и я л а р д ы ң ү з іл іс н ү к т е л е р ін ж ік т е у к езін д е 
мынадай типтерге аж ы ратады :
а) ж өнделетін үзіліс;
ә) бірінш і текті үзіліс;
б) екін ш і текті үзіліс.
3) К өп теген м а т е м а т и к а л ы ң сөй лем д ерд і д әл ел д еу
бары сында оларды бірнеш е бөліктерге аж ы ратуға тура 
келеді, яғни элементар талдау қолданылады .
М ы с а л ы , к о с и н у с т а р т е о р е м а с ы н д ә л е л д е у ү ш ін
үш бүры ш ты ң доғал, сүйір ж әне тік болатын ж ағдай лары
ң а р а с т ы р ы л а д ы . Осы ж а ғ д а й л а р д ы ң б әрін б ір ік т ір у
элементар синтез болып табылады.
70

Т еорем аларды к ер і ж ору өдісім ен дөлелдеу кезін д е 
де элем ентар талдауд ы ң п ай д ал ан ы л аты н д ы ғы н а оңай 
көз ж е т к із у г е болады . М ы салы , А  = В ек ен ін корсету 
үш ін А * В деп ж ориды . Н әтиж есінде дәлелдеп отырған 
теорем ан ы ң ш ар ты н а немесе ак си о м аға, немесе бүрын 
дәлелденген теоремаға қай ш ы лы қ пайда болады. Үшін- 
ш інің болмайтындығы туралы заңға сәйкес жоруымыз қате 
делінеді де, дәлелдеуі керек үйғары м дүрыс деп табылады. 
Д ем ек, дәлелдеу кезін де А ж ән е В  арасы н дағы м ү м кін
болатын барлы қ ж ағдай ларға талдау ж асалы нады .
Салу есептерін ш ы ғару барысында ж үргізілген зерттеу 
элементар талдау, ал салуды оры ндау элементар синтез 
болып табылады.
4) 
М ектеп геометрия курсы ндағы кез келген аксиома 
элементар синтезге мысал болады. «Бір түзудің бойында 
ж атп ай ты н үш нүкте арқы лы бір, тек қан а бір ж азы қ ты қ
ж ү р гізу ге болады» деген ак си о м ад а элем ен тар си н тез 
ж ү зеге асы р ы л ы п түр, я ғн и а л ға ш ң ы ү ғы м д а р болып 
таб ы л аты н н ү к те , тү зу ж ән е ж а з ы қ т ы ң т ы ң ар асы н д а 
ңандай да бір байланыс тағайы ндалған.
Б ү л к е л т ір іл г е н м ы сал д ар қ а р а с т ы р ы л ы п о ты р ған
әдістерді м атем атикада ж әне оны оқы туда өте ж ақ сы бі- 
лудің ң аж еттігін көрсетеді. Элементар анализ бен синтез 
әдістерін игерген мүғалім оңуш ы ларда осы әдістер туралы
дүрыс түсінік ңалы птасты рады .
С и н тети калы қ әдіс. Т үж ы ры м дарды ң си н тети калы ң
дәлелдемесінің бастапқы сәті теореманы ң ш арты болып 
табылады. Л огиканы ң алдыңғы үсы ны стары мен заңдары
н егізін д е теорем ан ы ң ш ар ты ң о р ы ты н д ы ға ж етк ен ш е 
түрлендіріледі. Синтетикалық әдістің қүндылы ғы мынада: 
ол толың дәлелдеу, ы қш ам , қы сқа (әдетте бүл әдіс дайы н 
м атем ати калы қ теорияны , белгілі дәлелдеулерді немесе 
оқуш ы ларға қиы нды қ туғызбайтын дәлелдеулерді беруде 
қолданылады ).
Синтездік әдістің өз кем ш іліктері бар. М үндай дәлел- 
деуді қалай алуға болатыны түсініксіз қалады ; талдау мен 
үйғары м ж асаганда неге басңаш а қ ар асты р ы лм ай ты н ы
белгісіз. Қосымш а салулар дәлелденбейді; оңуш ы дәлел- 
деуді о ң ы ған д а немесе т ы ң д а ғ а н д а , оны н е м ң ү р а й л ы
ңабылдайды, әр ой-түж ы рымның аңиңатты ғы мен келісе- 
ді ж әне өрі ңарайғы талдауды ң ң ал ай , қ ан д ай бағы тта
71

ж үретін і белгісіз. Бүл әдіс өз бетінш е дәлелдеудің жолда- 
рын табуға ы қп ал етпейді; талдау идеясы , ж оспары оңу- 
ш ы ға белгісіз. Сондықтан анализ ж асағанда үйғары м ды
неден бастау керегін табу ңаж ет.
О сылайш а теореманы дәлелдеген кезде оның ш артынан 
бастап қо р ы ты н д ы сы н а дей ін н егізд ел ген ү й ғар ы м д ар
тізбегі қүры лады . Теорема қоры ты нды еы ны ң ақиңатты ғы
ш а р т ы н а н б а с т а п (а к с и о м а л а р , б ү р ы н д ә л е л д е н г е н
теоремалар т.б.) л оги калы қ салдар болып табылады.
М ысалдар қарасты рай ы қ. Сүйір бүры ш ты үш бүрыш - 
ты ң б и ік тік те р ін ің табандары н кесінділерм ен ңосңанда 
п а й д а болған ү ш б ү р ы ш ты ң б и с се к т р и с а л а р ы б ір ін ш і 
үш бүры ш ты ң сәйкес биіктіктерім ен беттесетінін дәлелдеу 
керек.

жүктеу/скачать 5.94 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: