Материя и мышление

А. К.: В первую очередь, как в физике, так и в любой другой дисциплине, всякая модель поддается пересмотру и зависит от времени. Мы хорошо усвоили урок — не приходится сомневаться в том, что существующая модель физической реальности рано или поздно будет вытеснена другой моделью. Это та сторона восприятия нами мира, которая поддается пересмотру. Можно пойти еще дальше и спросить себя, в какой степени физическая истина зависит от вопросов, которые мы задаем природе посредством проводимых нами опытов. Однако я глубоко убежден в том, что как только физическая модель разработана достаточно полно, в игру вступает генеративность математики: может даже создаться такое впечатление, что мы, изучая модель с точки зрения строго математической, становимся, тем не менее, немного физиками. Показательна, в этом смысле, эволюция убеждений Эйнштейна. Сложности математического происхождения, с которыми он столкнулся,

62 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

пытаясь сформулировать общий принцип относительности, изменили его позицию: он перестал быть чистым физиком, каковым, несомненно, являлся в 1905 году, и стал математиком. Большую часть своей жизни в науке Эйнштейн провел в попытках разработать теорию, которая объединила бы в себе электромагнетизм и гравитацию. Успех математической модели общей теории относительности был настолько велик, что Эйнштейн пришел к мысли, что решение его проблемы лежит в области математики. В 1921 году он писал о теории относительности: «Я хотел бы, чтобы вы поняли — эта теория изначально не была спекулятивной, она целиком и полностью обязана своим появлением желанию выработать физическую теорию, способную как можно лучше объяснить наблюдаемые факты. Это не революционный акт: отказ от некоторых типов понятий должен рассматриваться не как произвол, а как прямое следствие наблюдения за фактами». Но в 1933 году он пишет обратное: «Если правда то, что аксиоматическая база теоретической физики не может происходить из опыта, а должна быть выдумана, то можем ли мы тогда рассчитывать на то, что найдем однажды правильный метод? Я убежден, что если подходить к делу со стороны чистых математических конструкций, то возможно отыскать концепции и законы, объединяющие одни такие конструкции с другими, — концепции и законы, которые должны дать нам ключ к пониманию природных явлений... Созидательный принцип следует искать в математике.» [90].

В настоящее время мы являемся свидетелями очень похожего явления в теоретической физике: исчерпав все возможности, физик-теоретик приходит, за неимением лучшего выбора, к необходимости переквалифицироваться в математики. Я говорю о теории струн. В конце шестидесятых годов физики пытались отыскать непосредственно, без исследования локальных механизмов сильных взаимодействий, математическую форму так называемой 5-матрицы, которая определяет вероятность того, что в результате сильного взаимодействия двух произвольных частиц с импульсами pi и р2 образуются две частицы рз и р4- Речь идет о том, чтобы найти функцию четырех переменных pi, p2, рз и р^. Относительная инвариантность позволяет ^свести ее к функции двух переменных. Выдвигая упрощающую гипотезу, мы приходим к тому, чтобы решить ее и указать решение в форме интеграла даже для процессов, включающих более четырех частиц. Эта гипотеза называется моделью Венециано. Далее физики-теоретики доказали — отсю-

3. ЭЙНШТЕЙН И МАТЕМАТИКА 63

да и берет начало большая часть расхождений во мнениях, — что в действительности эта модель описывает взаимодействие не точечных частиц, но малых струн (см. рис. 11α).

Интерес к этой теории сильных взаимодействий был, однако, недолговечен — после доказательства т'Хоофтом возможности перенормировки теорий калибровочных функций, открытия асимптотической свободы и т.д. ее вытеснила хромодинамика. Наконец, к 1980 году, теория струн пережила свое второе рождение, но уже не в качестве модели сильных взаимодействий, а как модель квантовой гравитации.

Ж.-П. Ш.: Речь идет все о том "же математическом формализме?

А. К.: О том же самом математическом формализме. Дело лишь в изменении масштаба: при сильном взаимодействии стандартный масштаб длины составляет 10~¹³ сантиметров, в то время как в случае гравитации он будет равен 10~³³ сантиметров. Следовательно, необходима энергия, намного превосходящая все то, что мы можем получить, иначе говоря, очевидно, что ни один доступный нам экспериментальный феномен из этой теории не следует. На данный момент теория струн имеет значение лишь в плане, не скажу, что чисто философском, поскольку это не так, но, скорее, формальном. Известно, что описание расходимостей в теории поля можно уточнить посредством введения этих самых «струн». Заменим точки струнами, а частицы малыми струнами, способными перемещаться. Смысл такой замены объясняется очень просто. Когда две частицы сталкиваются, образуя новую частицу, или когда одна частица делится на две, мы наблюдаем сингулярный процесс, т. е. возникает особого рода точка, из которой выходят три ветви (рис. 11). Это и есть сингулярность, которая является источником упомянутых мною только что расходимостей и возникает при обмене одной или нескольких виртуальных частиц. Однако если заменить линию, символизирующую частицу, цилиндром малого диаметра, по которому перемещается струна, то хорошо видно, что три цилиндра, подобно самым обыкновенным водопроводным трубам, могут соединяться и без сингулярности, оставаясь при этом везде круглыми (рис. 11α). Чего можно ожидать от этой теории? Заменив траектории цилиндрами, мы избавляемся от сингулярности, она становится конечной, вместо того, чтобы быть бесконечной, как предполагает классическая теория.

64

ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

Рис. 11. Пример расходящихся диаграмм в квантовой электродинамике.

Рис. 11α. Диаграмма без сингулярности, согласно теории струн.

3. ЭЙНШТЕЙН И МАТЕМАТИКА 65

Я хотел бы повторить, что мое личное отношение к физике совсем не является отношением физика, хотя я восхищаюсь всеми открытиями, сделанными физиками — как, например, открытие Гейзенберга — в их весьма прагматичной манере, т. е. происходящими из опыта. Физикам принадлежит и честь такого необычайно важного открытия, как теория поля, однако на данном этапе развития науки эта теория не укладывается пока так просто в рамки уже известной нам области математической реальности. Собран огромный объем необработанного материала, о добыче новых экспериментальных результатов речь уже не идет. Математика в этом смысле отстает; переварить то, что поступает от физиков, мы пока не в состоянии. Таким образом, нам, очевидно, следует сосредоточить наши усилия на этих физических открытиях, причем работать нужно, скорее, в рамках чистой математики, не пытаясь искусственно втиснуть в рамки те вещи, которые естественным образом туда не помещаются.

Ж.-П. Ш.: У меня создается впечатление, что работа физика — равно, как и работа математика — очень похожа на изготовление «интеллектуальных самоделок¹», если воспользоваться термином, который так нравится Клоду Леви-Строссу [71] и Франсуа Жако-бу [62]. Берем модель в одном месте и применяем ее к экспериментальному наблюдению в другом. Теория струн не годится для того, чтобы объяснить диффузию частиц. Отказаться от такой теории! Но вдруг она совершенно неожиданно оказывается пригодной для уточнения теории квантовой гравитации. Здесь мы имеем дело, скорее, с этаким теоретическим «прет-а-порте», нежели с «шитьем по мерке». Это в какой-то степени делает более привлекательными и те дисциплины, которые несколько легкомысленно принято называть «точными науками», снимает с них завесу таинственности!

С другой стороны, я отчетливо помню, что, говоря об отношении математических объектов к объектам физическим, ты употребил выражение «втиснуть в рамки», вместо «отождествить». И этими самыми рамками ты определяешь весьма специфичный способ описания физической реальности. Мне же, напротив, кажется, что если бы математика присутствовала изначально в природе, если бы материя организовывалась посредством математических законов, то мы имели бы тогда полное отождествление между математиче-

*В оригинале bricolage, что приблизительно означает «поделки», «всевозможные вещи, которые мастерят своими руками из подручных материалов». — Прим. перев.

66 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

скими и природными объектами. Ничего подобного, однако, мы не наблюдаем. Это означает, если следовать твоей логике, что математических объектов в природе нет. Они где-то в другом месте, но где? В каком-то ином состоянии, в какой-то иной форме, которые ты пока еще не определил. У тебя получается своего рода дуализм между материей и математикой, этакий раскол между телом и духом, которого я, естественно, принять не могу.

А. К.: Дуализм тела и духа располагается в иной плоскости. Окружающий нас физический мир, не являясь вместилищем математической реальности, обладает, в то же время, некоторой труднообъяснимой взаимосвязанностью с этой математической реальностью. Как сказал, если не ошибаюсь, Эйнштейн: самая непостижимая черта физики в том, что она постижима. Сложно представить, что именно математика ответственна за организацию природных феноменов.

Ж.-П.Ш.: Согласен с «организацией феноменов», добавлю лишь «в нашем мозге».

А. К.: Не знаю. Я не совсем уверен, что можно говорить «в нашем мозге». Так можно договориться и до того, что внутри нашего мозга сосредоточено все восприятие внешнего мира.

Ж.-П.Ш.: Так оно и есть.

А. К.: Да, но мы же только что сошлись на том, что внешний мир существует независимо от нас.

Ж.-П.Ш.: Верно, а воспринимаем мы его исключительно посредством нашего мозга и наших органов чувств.

А. К.: Точно такое же отношение к нам имеет и математический мир. Он существует независимо от нас, коль скоро все математики согласны друг другом относительно независимой структуры индивидуального восприятия. С другой стороны, очевидно, что это вполне может побудить кого-нибудь высказаться в том духе, что математический мир реализуется исключительно в его мозге, точно так же, как внешний физический мир воспринимается человеком только через мозг.

Ж.-П.Ш.: Разумеется. Понимаю. Но не согласен. В частности, с твоим «точно так лее». Я уже подчеркивал опасность употребления метафор в таких ситуациях. Аналогия не является доказательством. В конце концов, отношения математики с биологией более просты, чем с физикой, и гораздо менее двусмысленны. Построение моделей требует использования математического аппарата, иногда даже происходит смешение биологии с математикой,

4. ПОЛЬЗА ОТ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В БИОЛОГИИ 67

как ты только что отметил. Наша точка зрения менее амбициозна, но обеспечивает более значительную дистанцию. Таким образом, мне кажется, что наша позиция является более определенной, чем позиция некоторых физиков.

А. К.: Естественно, дистанция здесь больше. Переплетение математики и физики объясняет то, что физикам удается удерживать дистанцию, лишь прилагая большие усилия. Да, я согласен.

Ж.-П.Ш.: Вера в объясняющую способность математической модели встречается у биологов реже. Применительно к биологии математика служит, главным образом, двум целям. Первая — это анализ экспериментальных данных...

А. К.: Это ты о статистике.

Ж.-П.Ш.: Да, о получении и обработке данных. Это можно делать и при помощи компьютера, автоматически, не привлекая интеллектуальные способности экспериментатора. Кроме того, математика помогает нам при построении теоретических моделей. Эти модели разрабатываются на основе экспериментальных данных, как и в физике. Мы учитываем соответствующие посылки — например, для исследования распространения нервного импульса нам необходимо учесть величину изменения потенциала в определенной точке нерва и силу тока, создаваемого ионами натрия или калия в зависимости от потенциала. Ходжкин и Хаксли предложили уравнение [55], которое на основании этих посылок дает представление об ионной природе нервного импульса. Это уравнение позволяет описать явление, реконструировать его, опираясь на элементарные данные (см. рис. 12 и 12α).

А. К.: Такой способ кодировать информацию...

Ж.-П.Ш.: И, по большей части, воссоздавать ее заново.

А. К.: То есть это почти как в языке, поскольку язык служит как раз для воспроизводства...

Ж.-П.Ш.: Да. Язык позволяет воспроизводить информацию, но он, кроме того, обладает предсказательным характером. Во всяком случае, ни один знакомый мне биолог не скажет, что уравнение Ходжкина и Хаксли можно идентифицировать с нервным импульсом, ни даже то, что оно управляет его распространением. Распространение нервного импульса диктуется вовсе не тем или

68

ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

01234

Рис. 12α. Первичная структура канала, селективного в отношении ионов натрия, которые задействованы в распространении нервного импульса. С помощью методов молекулярной генетики был идентифицирован генетический материал, содержащий код протеина, ответственного за транспорт ионов Na"¹" сквозь мембрану нейрона в процессе распространения нервного импульса. Этот протеин состоит из одной цепочки длиной в 1820 аминокислот. В нижней строке цепочки — участок молекулы ДНК, представленный в виде последовательности триплетов из четырех оснований (А, Т, G и С); в верхней строке — участок молекулы протеина, образуемый соединением существующих в природе аминокислот (21 аминокислота), обозначенных здесь трехбуквенным кодом. (Воспроизводится по [85])

4. ПОЛЬЗА ОТ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В БИОЛОГИИ

69

zs

^

О «I» ______ IM "О ·*·

Й^^

iUîusœsssfi^ £œss!^

•Tr»C1«*iM.*»T_>r«li««tT»rΫi*rf>iai>«lrVrti*r(TrtltttM.Mt'*"'""'"^r"^~^T"';'l*ÎnT''""i"T """"'•"«'•-«""•"•«»•«»Μ«·™·

Î^^S^îSS^SS^^

ίίΰκ^ΐκα&ϊιΐΜΰΐ^^

__

^^ ffiRSiiab!^^

'с«&

»»о

rl
^1») )«*><ΗΓ111 )»ЛсИ 111»! >7n»»>rr*)C)«C_rU«UL»lrU_lAr«l.r_>rni*m₍ Ik ПС. If, I ) IT,»,^,! !(*«·„»

rttr»4»^Ticrtt4^l'K««<.CcrcrftCÎt4*C»rCtSfUebU«ATf«K^!bI^ÎKUM'*GÎKÎS

U«'^<»«!'t4^Lt*«ut1«uilc*«»M!I*fii»4irU«ri<»CI^rr«K,vi₇,_t|iii_r(,|,»,i<_l„ii₄,ilH

O*t»«<>lllAtii»r_<i)H>_l.M«»*l>'-fbl_>lnf4.,^>ytt«

С1Мти«сшшксс11ШммдтЁ1мс*ш:А»1(х:1хдмг


лт»<ыи1«Ь40^смлсйА10^^1<л«тоц:1сслк(.1<:1ип««.*СА*и>7««К1

Iïîî'!*!îÎ;?'-î*Î*î^vIÎ^;fr*^r^^lrfi"^G'"¹'^A'*'^r4^^u«*^«»^l'^rl^^^tf''^^«^^«>*^^l»'»'¹f'''»i<^irii»^ •α

70 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

иным Универсальным Математическим Законом, как любят повторять, говоря о своей работе, некоторые физики!

А. К.: Мне кажется, в данном случае ты очень точно формулируешь проблему. Если провести анализ какого-либо явления — химический, скажем, или электрический, — то полагаю можно, воспользовавшись химическими законами, прийти к доказательству соответствующего уравнения.

Ж.-П.Ш.: Очень важный момент. Упомянутое математическое уравнение можно было бы объяснить позднее — по меньшей мере, частично — с помощью лежащих в основе явления молекулярных процессов. Молекулу, образующую чувствительный к напряжению канал, через который проходят ионы натрия, удается изолировать, нуклеиновую же кислоту, которая эту молекулу кодирует, мы уже умеем клонировать и воспроизводить [85]. Отныне молекулярные механизмы, определяющие распространение нервного импульса, находятся в наших руках. При всем том важно уяснить, что математическое уравнение не позволяет добраться непосредственно до элементарной структуры, которая как раз и объясняет явление. Доступ к этой структуре можно получить лишь при использовании совершенно другого подхода, основанного на методах биохимии и молекулярной биологии. Математическое уравнение распространения нервного импульса основывается на некотором количестве предположений, относящихся к постулируемым моделью каналам. Разумеется, оно определяет некоторый набор элементарных ионных свойств, которые должна демонстрировать ответственная за рассматриваемое явление молекула. Однако из уравнения совершенно невозможно узнать, являются ли эти самые каналы протеинами или же липи-дами. Уравнение имеет дело с кооперативными явлениями, происходящими на уровне мембраны и ионного транспорта. Оно не сообщает нам, каково будет точное число участвующих в процессе субъединиц или действующих протеинов. Математика играет для биолога лишь некоторую предсказательную роль, весьма при этом ограниченную. Она не позволяет нам дойти непосредственно до структуры.

Приведу в качестве иллюстрации этого соображения другой пример — законы наследственности. Это один из самых известных и самых простых примеров. Исследуя наследственную передачу цвета цветов гороха, Мендель показал, что она следует законам, которые формулируются предельно простым математическим

4. ПОЛЬЗА ОТ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В БИОЛОГИИ 71

уравнением. Законы Менделя позволяли сделать вывод о существовании устойчивых и передаваемых по наследству детерминантов, но, разумеется, не позволяли предположить, что материальным носителем наследственности являются хромосомы или, тем более, ДНК.

β обоих приведенных мной примерах — распространение нервного импульса и законы Менделя — математическое уравнение описывает некую функцию. Оно позволяет определить поведение, но не объясняет явление. В биологии объяснение идет в паре с идентификацией структуры, порождаемой определяющей ее функцией. Открытие требует учета отношений структура-функция, а не одного лишь описания процесса при помощи математического уравнения.

А. К.: Я согласен с твоей интерпретацией. Так часто бывает и в физике, когда мы начинаем решать задачу с написания уравнений среднего поля, совсем как физики XIX века. Пока нам ничего не известно о соответствующей микроскопической структуре, доказать эти уравнения мы не можем. Но как только теория приобретает достаточно проработанный вид, в действие вступает ге-неративность математики. Мой любимый пример позаимствован у Гейзенберга. Результаты экспериментальной спектроскопии — такие, как комбинационный принцип Ридберга-Ритца — привели Гейзенберга к пониманию того, что алгебра наблюдаемых величин для системы атома должна быть некоммутативной, алгеброй матриц. Из одного лишь этого наблюдения и некоторого количества математических преобразований на свет явилось уравнение Шредингера, объясняющее загадочные числа (разности обратных квадратов двух целых чисел), которые управляют закономерностями в спектре излучения атома водорода. Располагая принципом исключения Паули и более развитой математикой, мы сможем, в конечном счете, справиться и с анализом уравнения Шредингера для атома с n электронами.

Ж.-П. Ш.: И, наконец, полностью описать таблицу Менделеева.

А. К.: Это-то и удивительно. В моделировании любого явления можно различить два этапа. В первую очередь, это этап, который прошли физики XIX века, наблюдая течение потока жидкости и описывая явления макроскопически. Впоследствии, с ростом понимания микроскопической структуры материи, ученые пришли к использованию генеративности математики, которая позволила установить, что количество возможных вариантов, в общем слу-

L

72 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

чае, ограничено, и предопределила дальнейшее развитие химии как науки (см. рис. 13).

Ж.-П.Ш.: Однако не связан ли этот генеративный аспект, как ты только что отметил, именно с тем фактом, что мы достигаем здесь самого нижнего уровня, где проявляются закономерности, обладающие вследствие этого универсальной применимостью?

А. К.: Разумеется. До тех пор, пока нам не удастся добраться до уровня, расположенного глубже среднего поля, эффективность генеративного аспекта математики, как мне представляется, будет ограниченной.

Ж.-П.Ш.: Примерно о том же я и говорил несколько ранее. Уравнение Ходжкина и Хаксли допускает обобщение. Ему присущ предсказательный аспект. Однако как только дело доходит до анализа индивидуальных ионных каналов и молекул, коллективная активность которых формирует нервный импульс, возникает новая совокупность правил и предсказаний. Они формулируются в новой математической форме, которая применяется к новым системам — к каналам, селективным в отношении кальция или же к тем, что чувствительны к нейромедиаторам.

А. К.: Абсолютно согласен. И все же я хотел бы предложить некую общую критику в том, что касается типа математики, используемого в такого рода моделировании. Упомянутый тип математики всегда вращается вокруг уравнений с частными производными или, в лучшем случае, вокруг моделей статистической механики. В обоих случаях, как и в большинстве физических моделей, ведущим принципом является фундаментальное понятие области взаимодействия. Даже взаимодействия нелокализованного типа, такие как ньютоновское притяжение, становятся локализованными при введении подходящих полей. Принцип области взаимодействия является золотым правилом современной физики, главный инструмент которой — лагранжев формализм. Однако мне не кажется очевидным, как минимум a priori¹, что интересной и полезной биологу, специализирующемуся на функционировании мозга, будет лишь та математика, о которой я говорил. Было бы хорошо, если бы биологи не только имели хотя бы элементарное представление о таких понятиях, как комбинаторная топология, но и активно использовали бы их.

Ж.-П. Ш.: Так и будет... после нашей беседы.

«из предыдущего» (лат.), т.е. заранее, до опыта. — Прим. перев.
4. ПОЛЬЗА ОТ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В БИОЛОГИИ

73

	Z	Элемент	И^эВ)	Электронная конфигурация
				Is	25 2р	3s 3p 3d	4s 4p 4d 4/
	1	H Водород	13,6	1
	2	Не Гелий	24,6	2
	3	Li Литий	5,4		1
	4	Be Берилий	9,3		2
	5	В Бор	8,3	заполнен	2 1
	6	С Углерод	11,3		2 2
	7	N Азот	14,5	(2)	2 3	Число электронов
						в каждом слое
	8	О Кислород	13,6		2 4
	9	F Фтор	17,4		2 5
	10	Ne Неон	21,6		2 6
	И	Na Натрий	5,1			1
	12	Mg Магний	7,6			2
	13	AI Алюминий	6,0			2 1
	14	Si Кремний	8,1	зало,	лен	2 2
	15 16	P Фосфор S Сера	10,5 10,4	(2)		2 3 2 4
	17	Cl Хлор	13,0			2 5
	18	Ar Аргон	15,8			2 6
							1
	19	К Калий	4,3
	20	Са Кальций	6,1				2
	21	Se Скандий	6,5			1	2
	22	Ti Титан	6,8			2	2
	23	V Ванадий	6,7		заполнен	з	2
	24	Сг Хром	6,8			5	1
	25	Μη Марганец	7,4	(2)	(8)	(8) 5	2
	26	Fe Железо	7,9			6	2
	27	Со Кобальт	7,9			7	2
	28	Ni Никель	7,6			8	2
	29	Си Медь	7,7			10	1
	30	Zn Цинк	9,4			10	2
	31	G a Галлий	6,0				2 1
	32	Се Германий	7,9		заполне	н	2 2
	33	As Мышьяк	9,8				2 3
	34	Se Селений	9,7	(2)	(8)	(18)	2 4
	35	Вг Бром	11,8				2 5
	36	Кг Криптон	14,0				2 6

Рис. 13. Начало периодической таблицы элементов.

74 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

А. К.: Именно по этой причине я и был так заинтересован в нашей встрече. В биологии математика используется как язык. Если, к примеру, вы располагаете кривой ответов, то очевидно, что гораздо проще ее выразить, когда есть простая математическая функция, позволяющая эту кривую описать, чем когда вы вынуждены описывать ее, выделяя параметры. Это просто проявление молодости биологии. Если посмотреть на то, как развивалась физика, то можно заметить, что те или иные явления прежде всего стараются формализовать, описать их с помощью математических функций. Так, например, произошло с открытием Планка. Однако в какой-то момент, в силу генеративного характера математики, появляется возможность добавлять в описание что-то новое. И не только потому, что уравнения допускают прогнозирование. Здесь проявляется та же внутренняя взаимосвязанность явления с математикой, какую мы наблюдали в случае атома водорода, что позволяет допустить, исходя из критериев простоты и из математической эстетики, существование интуитивного предчувствия возможной истинности в тех случаях, когда мы практически не располагаем никакими предварительными экспериментальными результатами, а затем и убедиться в оправданности этого предчувствия. Я с большим оптимизмом отношусь к той генеративной роли, какую математика могла бы, при необходимости, сыграть и в биологии. Мне представляется, что очень скоро — пусть и не сегодня, а лишь когда удастся понять, какую из областей математической реальности можно лучше всего увязать с биологией, — генеративность математики придется весьма и весьма кстати.

жүктеу/скачать 0.98 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: