Тараз 2021 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Метод функций Грина………………………………………………….………..6

ЛИТЕРАТУРНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ……………………………………………13

Основным математическим аппаратом современной физики являются дифференциальные уравнения в частных производных. Среди методов решения таких уравнений центральное место занимает метод функций Грина.

1. 
   Теплопроводность.
   
2. 
   Квантовая Механика.
   
3. 
   Диффузия.
   

Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред — где они позволяют разрешить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — где функция Грина гамильтониана является одной из ключевых концепций и имеет отношение к плотности состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку математическая структура уравнения диффузии и уравнения Шрёдингера подобны. Все области матфизики и теорфизики, где крайне полезны функции Грина, пожалуй трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях, и т. д.

В физике элементарных частиц функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» часто применяется вообще к корреляционной функции в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

Функция Грина названа в честь английского математика Джорджа Грина (англ. George Green), который первым развил соответствующую теорию в 1830-х гг.

Свёртка с функцией Грина даёт решение неоднородного линейного интегро-дифференциального уравнения.

Метод функций Грина

Основным математическим аппаратом современной физики являются дифференциальные уравнения в частных производных. Среди методов решения таких уравнений центральное место занимает метод функций Грина.

Дифференциальные уравнения в частных производных приходится решать, например, при рассмотрении следующих явлений.

Теплопроводность. Уравнение теплопроводности имеет вид

Квантовая Механика. Движение частицы в квантовой механике описывается волновой функцией ф, которая удовлетворяет уравнению Шредингера

Эти уравнения можно представить в форме

В случае уравнения Шредингера и (3 = Xt в случае уравнения диффузии. Разумеется, в каждом из этих случаев функция ф должна удовлетворять некоторым граничным условиям. Собственные функции оператора Н образуют полную ортонормированную систему и удовлетворяют уравнению

Эту формулу можно переписать следующим образом

где

Функции Грина имеют следующие свойства.

. Имеет место соотношение

Наложим на функцию Грина граничные условия, совпадающие с граничными условиями исходной задачи (пункт 3 упомянутой во вводном замечании теоремы). Функция Грина с наложенными так граничными условиями удобна тем, что конструируемые суммированием или интегрированием таких функций Грина решения автоматически будут удовлетворять этим граничным условиям.

Из левого граничного условия: - налагаемого на функцию Грина мы видим, что для коэффициент общего решения должен быть нулем, то есть для
.

Точно так же из правого граничного условия: - получаем равенство нулю коэффициента , то есть для

Нужно определить и .

Проинтегрировав дважды левую и правую часть уравнения с дельта-функцией в правой части, мы увидим, что функция Грина должна быть непрерывна (пункт 1 упомянутой теоремы), а отсюда условие сшивки решения x < s и x > s:
.
Проинтегрировав же левую и правую часть того же уравнения получим условие на скачок первой производной (пункт 4 теоремы), и используя его, получим:
.
Используя правило Крамера или просто угадывая решение системы из двух этих уравнений, получим, что .

Эти выражения удовлетворяют условию пункта 5 теоремы.

Тогда функция Грина задачи:

Другие примеры

Пусть дано множество и оператор L равен d / dx. Тогда функция Хевисайда H(x − x0) является функцией Грина для L при x0.

Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости и L - оператор Лапласа. Также предположим, что при x = 0 наложены краевые условия Дирихле, при y = 0 - краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид




ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Рассмотрим следующий пример из области рекламного дела.

При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей.

2. В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.

3. В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.

4. Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

5. Н.М. Матвеев «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений», «Лань», 2003

6. Х.Р. Латипов Качественные исследование характеристик одного класса дифференциальных уравнений в целом. Т.: ФАН, 1993

7. Э. Камке. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966.

8. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.