Глава 2 Методические разработки по теме
«Неравенства и системы неравенств»
2.1. Конспект «Решение показательных неравенств»
(По учебнику «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 класс под редакцией А.Н. Колмогорова) [2].
Класс 10.
Тип урока: изучение нового материала.
Оборудование: учебник, доска, презентация
Цели урока:
Образовательные:
- создание условий для введения определения показательного неравенства через учебную деятельность;
- ознакомление учащихся с общим методом решения показательных неравенств.
Развивающие:
- развитие умения ставить цели и достигать их;
- развитие умения слушать и слышать других, доказывать свою точку зрения; умения оценивать свою деятельность.
Воспитательные:
- воспитание коммуникативных навыков.
Таблица. 2
-
№
|
Этап урока
|
Время, мин
|
1.
|
Организационный момент.
|
2
|
2.
|
Актуализация знаний.
|
10
|
3.
|
Изучение нового материала.
|
10
|
4.
|
Первичное усвоение нового материала.
|
7
|
5.
|
Закрепление изученного.
|
10
|
6.
|
Подведение итогов. Рефлексия.
|
4
|
7.
|
Домашнее задание. Прощание.
|
2
|
|
Всего времени
|
45
|
Ход урока
Таблица. 3
№
|
Этап урока
|
Деятельность учителя
|
Деятельность ученика
|
1.
|
Организационный момент
Постановка цели урока.
|
- Здравствуйте, ребята! Прочитайте тему урока. Исходя из темы, какие цели поставите?
|
- Здравствуйте!
Выдвигают гипотезы. Предполагают план урока.
|
2.
|
Актуализация знаний
|
1 этап: Блиц-опрос (на карточках)
1) Какой график изображен на рисунке (рис. 1)?
Рис. 1
А) y = sin x;
Б) y = 2x;
В) y = ;
Г) y = .
2) Как называется эта функция?
А) Показательная;
Б) Степенная;
В) Тригонометрическая;
Г) Логарифмическая.
3) Найдите корень уравнения: 3-x+2 =
А) 0;
Б) 4;
В) -4;
Г) нет решений.
4) Каким методом можно решить уравнение: 2∙32x + 3x – 2 = 0?
А) Графическим методом;
Б) Методом сведения к одному основанию;
В) Методом группировки;
Г) Методом введения новой переменной.
5) Какова область определения функции: y =
А) ( - ∞; 0);
Б) ( - ∞; + ∞);
В) ( 0; + ∞);
Г) [- 1; 1].
Ответы: 1. Б; 2. А; 3. Б; 4. Г; 5. В.
2 этап: работа у доски. Решите уравнение:
= 3 + x
Каким способом можно решить уравнение?
3 этап: (работа в тетрадях, проверка у доски)
Решите уравнение:
5x+1 – 5x-1 = 24
2) Запишите общий вид показательной функции.
3) Какими ограничениями обладает показательная функция?
4) Сколько существует вариантов графиков показательной функции?
5) От чего зависит вид?
|
Ученики решают и записывают ответы на листочках.
1) Ответ: Б
2) Ответ: А
3) 3-x+2 =
3-x+2 = 3-2
-x+2 = -2
x = 4
Ответ: Б
Ответ: Г
Ответ: В
Решение: графическим методом.
Построим графики функций
y =
y = 3 + x
Рис. 2
Построим график по заданным таблицам.
Координата х точки пересечения двух функций будет решение уравнения.
Ответ: - 1.
1)Решение. Перепишем уравнение в виде
5∙5x - ∙5x = 24
Теперь в левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель 5х.
Получим
5х (5 - ) = 5х ∙ = 24
откуда 5х = 5
х = 1
Ответ: 1.
2) y = ax
3) a > 0, a ≠ 1.
4) 2 варианта.
5)
a > 0, 0 < a < 1.
|
3.
|
Изучение нового материала
|
Мы уже знаем, что такое показательное уравнение и методы их решения. Можете ли сформулировать определение показательного неравенства?
Простейшее показательное неравенство:
ax < b, ax > b, где a > 0, a ≠ 1, x – неизвестное.
От чего зависит возрастание показательной функции? И как?
При решении показательных уравнений и неравенств мы будем пользоваться этими свойствами показательной функции:
1) a > 1
В этом случае, как мы уже говорили, показательная функция монотонно возрастает. Поэтому неравенство ax > ab будет выполнено для всех x > b.
2) 0 < a < 1
В этом случае, как мы уже говорили, показательная
функция монотонно убывает.
Поэтому неравенство будет выполнено для всех
Рассмотрим неравенства:
Пример 1.
0,57 - 3x < 4
т.к. 4 = 0,5-2, перепишем неравенство в виде:
0,57 - 3x < 0,5-2
Далее следует отметить, что 0,5 < 1, следовательно, показательная функция
y = 0,5x убывает. Поэтому данное неравенство равносильно:
7 – 3x > -2, откуда
x < 3.
Ответ: x (-∞; 3)
Пример 2.
6 > 1, следовательно, показательная функция возрастает. Отсюда наше неравенство равносильно
x2 + 2x ≥ 3
решая неравенство, получим:
x (-∞; -3] и [1; +∞)
Ответ: x (-∞; -3] и [1; +∞)
|
(Внимательно слушают, записывают свойства показательной функции, при решении примеров, проговаривают эти свойства.)
- Показательное неравенство – это неравенство,
содержащее неизвестную переменную в показателе степени.
- От значений а. При
ax > 1 функция монотонно возрастает.
При 0 < a < 1 функция монотонно убывает.
Ученики предлагают свои варианты решения неравенств, опираясь на умение решать показательные уравнения.
|
4.
|
Первичное усвоенного нового материала
|
Найди ошибку (ответ аргументируйте).
1) 2x ≥ 8
2x ≥ 23
x ≤ 3
2) 0,5x ≤ 0,125
0,5x ≤ 0,53
x ≤ 3
3) 3x > 9
3x > 32
x > 2
4)
x ≤ 2
5) 25- x + 3 ≥
(52)- x + 3 ≥ 5- 3x + 1
- 2x + 6 ≥ - 3x + 1
x ≥ -5
|
Решение:
1)
2x ≥ 8
2x ≥ 23
x ≤ 3 - не верно, т.к. 2 > 1, знак не меняется, следовательно, x ≥ 3
Ответ: x [3; +∞)
2) 0,5x ≤ 0,125
0,5x ≤ 0,53
x ≤ 3 – не верно, т.к.0,5 < 1 , знак меняется, следовательно,
x ≥3
Ответ: x [3; +∞)
3) 3x > 9
3x > 32
x > 2 - верно
Ответ:
x [2; +∞)
4)
x ≤ 2 - не верно, т.к.
< 1, знак меняется, следовательно, x ≥ 2
Ответ: x [2; +∞)
5) 25- x + 3 ≥
(52)- x + 3 ≥ 5- 3x + 1
- 2x + 6 ≥ - 3x + 1
x ≥ -5
Ответ: x [5; +∞)
|
5.
|
Закрепление изученного материала
|
Для закрепления изученного, откроем страницу 231 в учебнике.
Работа в парах.
№ 466(б, г)
Выполните задание:
№ 467(б,г)
Проверьте друг друга по карте ответов.
|
№ 466
Б) 0,2x ≤
т.к. 0,2 = и
= , то
= , < 1, следовательно, функция монотонно убывает, знак меняется на противоположный
x ≥ 2
Г) (1,5)x < 2,25
(1,5)x < 1,52
1,5 > 1, следовательно, функция монотонно возрастает, знак не меняется x < 2 Проверяют решение друг друга.
№467
Б) 0,37 +4x > 0.027
0,37 +4x > 0.33
0,3 < 1, следовательно, функция монотонно убывает, знак меняется на противоположный
7 +4x < 3
4x < -4
x < -1
Г) 32 – x < 27
32 – x < 33
3 > 1,
следовательно, функция монотонно возрастает, знак не меняется
2– x < 3
-x < 1
x > - 1
|
6.
|
Подведение итогов
|
Что нового узнали? С каким методом решения показательных неравенств познакомились?
- В чем суть этого метода?
- В каких случаях у нас меняется знак на противоположный?
- А в каких случаях знак в показательном неравенстве не измениться?
На следующем уроке мы с вами приступим к решению показательных неравенств другими методами.
|
- Показательное неравенство представляется так, чтобы в правой и левой части неравенства были степени с одинаковыми основаниями. Далее следует обратить внимание на возрастание и убывание
функции, поменять знак, если требуется. И решить неравенство.
- Знак меняется, если показательная функция монотонно убывает, т.е.0 < a < 1.
- ( Знак не меняется, если показательная функция монотонно возрастает, т.е.a > 1 ).
|
|
Рефлексия
|
Кто считает, что тема ему понятна? Кому не понятна и почему? Над чем поработать, чтобы устранить пробел в знаниях?
|
|
7.
|
Домашняя работа. Прощание.
|
- читать п.36;
- выучить правила;
- №№ 466(а, в), 467(а, в).
|
|
2.2. Конспект урока
«Решение квадратных неравенств»
(с использованием интерактивной доски)
(По учебнику Алгебра. 8 класс, Мордкович А.Г.) [12].
I. Организационный момент
Рис. 3
Здравствуйте, ребята. Мы продолжаем изучение большой темы «Квадратные неравенства». Сегодня на уроке разберем алгоритм решения квадратных неравенств, научимся решать квадратные неравенства с помощью графика. Эта тема очень важна для изучения курса математики основной школы. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные неравенства облегчает прохождение многих тем курса математики. К примеру, при изучении следующих тем:
решение задач на составление квадратных неравенств; - квадратная функция и её график;
неравенства второй степени с одной переменной; - тригонометрические уравнения и неравенства;
показательные и логарифмические уравнения и неравенства;
II. Проверка готовности к уроку.
Рис. 4
Сначала повторим все необходимые знания.
Кросс-опрос.
Ребята, какие из неравенств на доске являются квадратными неравенствами?
а) в)
б) г)
(Ответ: Квадратными являются неравенства под буквами б и в. Под буквой а - линейное неравенство, под буквой г - кубическое).
А теперь приведите сами примеры квадратных неравенств и запишите их на доске.
Рис.5
Что значит решить неравенство? (Рис. 5)
(Ответ: Решить квадратное неравенство - это значит найти множество всех х, для которых данное неравенство выполняется или доказать, что таких х нет)
Какие ответы могут получиться при решении квадратного неравенства?
(Ответ: При решении квадратного неравенства могут быть три случая:
Решений может не быть
Решением может быть вся числовая ось
Решением является объединение промежутков, содержащих знаки бесконечности.
Решением может быть числовой промежуток.
В чем «проявляется» каждый коэффициент квадратичной функции на ее графике?
(Ответ: Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы; коэффициент с показывает на то, пересекает ли график ось Оу; с помощью коэффициентов а и b вычисляются вершины; так же при помощи всех коэффициентов вычисляется дискриминант, влияющий на наличие корней).
Достарыңызбен бөлісу: |
