Методические разработки по теме «Неравенства и системы неравенств»
жүктеу/скачать 2.42 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Методы исследования
- Структура исследования
- 1.1. Изучение неравенств и систем неравенств в школьном курсе математики
| Объектом исследования является процесс обучения решению неравенств и систем неравенств в школьном курсе математики.
Предметом исследования являются методические особенности решения неравенств и систем неравенств в школьном курсе математики. Методы исследования: 1) изучение научной, методической, педагогической литературы по теме исследования; 2) анализ ФГОС, программ по математике, школьных учебников; Структура исследования: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы. Глава 1 Содержание темы «Неравенства и системы неравенств» в школьном курсе математики 1.1. Изучение неравенств и систем неравенств в школьном курсе математики Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования в требованиях к предметным результатам освоения курса «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» в 4 пункте отражает «владение стандартными приёмами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем…» [21, стр. 15]. Это указывает на важность изучения данной темы в школьном курсе математики. В связи с важностью и обширностью материала, связанного с понятием неравенства, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию «Уравнения и неравенства». В ней рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики. Можно выделить три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики. 1. Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, так каку он связан с изучением приемов, используемых в приложениях математики. Одно из важных положений в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании. 2. Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств имеет два аспекта: первый - изучение наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем , второй - изучение обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта важны в школьном курсе математики. Основные классы уравнений и неравенств связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений и неравенств. 3) Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, - это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений, неравенств, систем. Например, числовые промежутки выделяются неравенствами или системами неравенств. Связь линии уравнений и неравенств с числовой линией двусторонняя. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений и неравенств. Линия уравнений и неравенств тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем. Можно выделить три типа преобразований неравенств и их систем в школьном курсе маткматики: 1) Преобразование одной из частей неравенства. 2) Согласованное преобразование обеих частей неравенства. 3) Преобразование логической структуры. Преобразования первого типа используются при упрощении выражения, входящего в запись неравенства. Преобразование одной из частей неравенства используют раньше других преобразований, это происходит еще в начальном курсе математики. Прочность владения навыком преобразований этого типа имеет большое значение для успешности изучения других видов преобразований, поскольку они применяются очень часто. Преобразования второго типа заключаются в согласованном изменении обеих частей неравенства в результате применения к ним арифметических действий или элементарных функций. Преобразования второго типа сравнительно многочисленны. Они являются ядром материала, изучаемого в линии неравенств. Приведем примеры преобразований этого типа. 1. Прибавление к обеим частям неравенства одного и того же выражения. 2. Умножение (деление) обеих частей неравенства на выражение, принимающее только положительные значения. Умножение (деление) обеих частей неравенства на выражение, принимающее только отрицательные значения и изменение знака неравенства на противоположный. 3. Переход от неравенства a>b к неравенству f(a) >f(b), где f-возрастающая функция, или обратный переход. Переход от неравенства аСреди преобразований второго типа преобразования неравенств образуют сложную в изучении, обширную систему. Этим в значительной степени объясняется то, что навыки решения неравенств формируются медленнее навыков решения уравнений и не достигают у большинства учащихся такого же уровня. К третьему типу преобразований относятся преобразования неравенств и их систем, изменяющие логическую структуру заданий. То есть, в каждом задании можно выделить элементарные предикаты - отдельные уравнения или неравенства. Изучение и применение преобразований оказывают большое влияние на формирование логической культуры учащихся. В итоге изучения неравенств и их систем, учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо. При изучении материала линии неравенств необходимо учитывать два противоположно направленных процесса, сопровождающих обучение. Первый процесс - постепенное возрастание количества классов неравенств и приемов их решения, различных преобразований, применяемых в решении. За счет увеличения объема материал как бы дробится, изучение его новых фрагментов затрудняется наличием уже изученных. Второй процесс - установление разнообразных связей между различными классами неравенств, выявление более общих классов, закрепление обобщенных типов преобразований, упрощение описания и обоснования решений. Можно выделить четыре основные ступени распределения материала по изучению неравенств и их систем: независимое изучение основных типов неравенств и их систем; постепенное расширение количества изученных классов неравенств и их систем; формирование приемов решения и анализа неравенств и их систем, имеющих широкую область применимости; синтез материала линии уравнений и неравенств. К основным типам неравенств и систем неравенств, изучаемых в школьном курсе математики, относятся: линейные неравенства с одним неизвестным, квадратные неравенства, простейшие иррациональные и трансцендентные неравенства. Введение нового основного класса неравенств сопровождается введением новой области числовых выражений, которые входят в стандартную форму записи ответа. Когда материал усвоен, следует предлагать задания, в которых могут возникать нестандартные ответы для данного класса неравенств. Заметную роль при изучении неравенств играют универсальные средства решения и исследования. Их можно разделить на три группы. Первая группа включает в себя логические методы обоснования решения. Он заключается в переходе от исходных неравенств к новым. Такие переходы производятся до тех пор, пока не получаются задания, относящиеся к известным классам. Вторая группа состоит из вычислительных приемов, с помощью которых производятся упрощения одной из частей данного неравенства, проверка найденных корней при помощи подстановки вместо неизвестного, различные промежуточные подсчеты и т.д. Третья группа - это наглядно-графические приемы. В качестве основы, большинство этих приёмов, используют координатную прямую или координатную плоскость. Координатная прямая позволяет решать некоторые неравенства и системы неравенств с одним неизвестным, а также неравенства с модулями. Например, прием решения систем линейных неравенств с одним неизвестным состоит в том, что на координатную прямую наносятся множества решений каждого неравенства, а потом выделяется их общая часть. Использование координатной плоскости позволяет применить графические методы к решению и исследованию неравенств и их систем с одним, а также с двумя неизвестными. Графические приемы эффективно применяются для изображения результатов исследования там, где аналитическая запись громоздка. Характерным примером служит схема, на которой приведены различные случаи решения неравенства ax²+bx+c>0, помещенная на рис.1. В результате определенной тренировки учащиеся привыкают пользоваться такой схемой, а затем ее мысленным образом. Рисунок 1. Основные классы неравенств и их систем можно разбить на две группы. Первая группа алгебраические неравенства и системы. Вторая группа - трансцендентные неравенства и системы. В состав этой группы входят показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства. Первая группа получает достаточное развертывание, вплоть до формирования прочных навыков решения, уже в курсе алгебры неполной средней школы. Вторая же группа в этом курсе только начинает изучаться, причем рассматриваются далеко не все классы, а окончательное изучение происходит в курсе алгебры и начал анализа. При изучении второй группы приходится опираться на общие понятия и методы, относящиеся к линии неравенств. Указанное различие, однако, не является единственным, которое противопоставляет эти две группы. Более существенным является учет особенностей, связанных с развертыванием материала каждой из этих групп. По сравнению с первой группой неравенства, входящие в состав второй, в процессе их изучения обнаруживают значительно более сложные связи с другими линиями курса математики - числовой, функциональной, тождественных преобразований и др. Последовательность изучения различных классов неравенств и систем различна в разных учебниках. Однако количество возможных вариантов для последовательности их введения не слишком велико - классы находятся в определенной логической зависимости друг от друга, которая предписывает порядок их появления в курсе. Наличие такого разнообразия подходов затрудняет методическое описание, поскольку принятие того или иного пути требует различных приемов изучения материала. Отметим ряд особенностей в изучении неравенств: 1) Как правило, навыки решения неравенств, за исключением квадратных, формируются на более низком уровне, чем уравнений соответствующих классов. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. Отмеченное обстоятельство отчасти смягчается другими особенностями изучения неравенств, поэтому в целом можно считать, что содержательная сторона неравенств в школьном курсе от этого не страдают. 2) Большинство приемов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства a>b к уравнению а=b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Пожалуй, такого перехода не производится лишь при рассмотрении линейных неравенств, где в нем нет необходимости из-за простоты процесса решения таких неравенств. Эту особенность необходимо постоянно подчеркивать, для того, чтобы переход к уравнениям и обратный переход превратились в основной метод решения неравенств; в старших классах он представлен в виде "метода интервалов". 3) В изучении неравенств большую роль играют наглядно-графические средства. Указанные особенности могут быть использованы для обоснования расположения материала, относящегося к неравенствам, количества заданий, необходимых для усвоения программного минимума. Перечисленные особенности показывают, что изучение предшествующего материала сильно влияет на изучение неравенств. Поэтому роль этапа синтеза в изучении неравенств особенно возрастает. Приведем сравнительный анализ программ календарно-тематического планирования уроков алгебры по теме «Неравенства и системы неравенств» для 8 - 11 классов (Таблица. 1) Таблица. 1
жүктеу/скачать 2.42 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|