Методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов специальности

Построение доверительного интервала, с заданной вероятностью накрывающего неизвестное истинное значение X

жүктеу/скачать 0.66 Mb.

бет	5/6
Дата	31.03.2023
өлшемі	0.66 Mb.
	#471493
түрі	Методические указания

1 2 3 4 5 6

МУ(лаб) Основы уравн. выч.-ПГ-2019

.	(9.12)

1.4 ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ РЯДА НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Задача 1.3. Отметка узлового репера получена по шести ходам, известны средние квадратические ошибки по каждому ходу (в мм). Найти наиболее надёжное значение отметки репера и произвести оценку точности.

Таблица 9.1
№	(м)	(мм)		(мм)			(мм)
1	196,529	6,3	0,25	+12	+3,00	+36,0	+1	+0,25	00,2
2	,522	8,4	0,14	+5	+0,70	++3,5	–6	–0,84	05,0
3	,517	9,1	0,12	+0	+0	++0	–11	–1,32	14,5
4	,532	4,3	0,54	+15	+8,10	121,5	+4	+2,16	08,6
5	,530	5,2	0,37	+13	+4,81	+62,5	+2	+0,74	01,5
6	,520	7,5	0,18	+3	+0,54	++1,6	–8	–1,44	11,5
			1,60		17,15	225,1		–0,45	41,3

Решение:
Веса вычисляем по формуле
,^{^}⁾
где

Вычисление наиболее надёжного значения отметки репера:

,
, .
Вычисление уклонений от среднего весового , а также сумм , , непосредственно в таблице 9.1.
Контроль вычислений:

Контроль выполнен.

Вычисление средней квадратической ошибки измерения с весом, равным единице

Вычисление средней квадратической ошибки наиболее надёжного значения:

.
Оценим надёжность определения  и :
;
.
Ответ: .

2. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО РАЗНОСТЯМ ДВОЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

В геодезии часто приходится измерять большие группы однородных величин, причём каждую величину для контроля измеряют дважды.

2.1 ДВОЙНЫЕ РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Пусть однородные величины измерены равноточно дважды и получены результаты измерений:

Составим разности по формуле

(10.1)

Наиболее надёжные значения определяемых величин находим по формуле:

(10.2)

Для оценки точности используем разности (10.1).

При отсутствии систематических ошибок разности d_i можно рассматривать как истинные ошибки самих разностей, так как истинное значение разностей равно нулю ( ).

Применяя к ряду формулу Гаусса, находим:

(10.3)

Тогда средняя квадратическая ошибка отдельного результата измерений будет определяться по формуле:

(10.4)

Оценка точности наиболее надёжных значений определяется по формуле:

(10.5)

Если в результатах измерений присутствуют систематические ошибки, то величина

(10.6)

существенно отличается от нуля.
В этом случае из каждой разности необходимо исключить остаточное влияние систематических ошибок, т. е. получить разности

(10.7)

Рассматривая разности как уклонения от среднего , применяя формулу Бесселя, находим

(10.8)

Средние квадратические ошибки отдельного результата измерений и наиболее надёжных значений измеряемых величин находим по формулам:

,	(10.9)
.	(10.10)

Заметим, что в этом случае необходимо выполнить контроль вычислений по формулам

, где ;
.

(10.11)

Для определения значимости отклонения от нуля применяют неравенство

(10.12)

где выбирают из таблиц Стьюдента по заданной вероятности и числу степеней свободы , а при коэффициент t выбирают из таблиц интеграла вероятностей по заданной вероятности . Так, для , и неравенство (10.12) принимает вид:
.
Иногда применяют более жёсткий критерий обнаружения систематических ошибок

(10.13)

который получен, исходя из требования .
Оценку точности начинают с проверки условия (10.12) или (10.13). Если, например, неравенство (10.13) выполняется, то делают вывод о том, что систематическими ошибками можно пренебречь и оценку точности следует выполнять по формулам (10.4–10.5).
Если неравенство (10.13) не выполняется, делают заключение о том, что систематическими ошибками пренебрегать нельзя, необходимо обработку вести по формулам (10.7, 10.9, 10.10).

2.2 ДВОЙНЫЕ НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Пусть каждая из однородных величин Х_i ( ) измерена дважды и независимо, причём измерения в каждой паре равноточны, а пары между собой неравноточны. Известны веса р_i результатов измерений. Получены разности d_i с весами .
Наиболее надёжные значения измеряемых величин находит по формуле (10.2).
Критерий обнаружения систематических ошибок имеет вид:

(10.14)

Если неравенство выполняется, то делают заключение о том, что систематическими ошибками можно пренебречь. Затем находят:

Среднюю квадратическую ошибку измерения с весом, равным единице,

.

(10.15)
Средние квадратические ошибки наиболее надёжных значений

(10.16)

Если условие (10.14) не выполняется, то необходимо найти остаточное влияние систематических ошибок

	(10.17)
и исключить его из каждой разности. Получают разности, свободные от влияния систематических ошибок .	(10.18)

Оценка точности выполняется следующим образом:

Определяется средняя квадратическая ошибка измерения с весом, равным единице

.

(10.19)
Вычисляются средние квадратические ошибки наиболее надёжных значений

(10.20)

2.3 ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ ДВОЙНЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ РЯДА ОДНОРОДНЫХ ВЕЛИЧИН

Задача 2.1. Одни и те же линии измерены дважды равноточно. Выполнить оценку точности по разностям двойных измерений.

Таблица 10.1
№	(м)	(м)	(мм)
1	120,389	120,380	+9	81	+6,3	39,7
2	136,468	136,462	+6	36	+3,3	10,9
3	133,223	132,229	–6	36	–8,7	75,7
4	124,536	124,537	–1	1	–3,7	13,7
5	140,457	140,449	+8	64	+5,3	28,1
6	143,682	143,688	–6	36	–8,7	75,7
7	139,158	139,149	+9	81	+6,3	39,7
				335	+0,1	283,5

Решение:

Составим ряд разностей .
Согласно критерию обнаружения систематических ошибок вычисляем левую и правую части неравенства (10.13):

; .
Вывод: левая часть неравенства (10.13) оказалась больше его правой части, следовательно, систематическими ошибками пренебрегать нельзя.

Находим остаточное влияние систематических ошибок по формуле (10.6):

; ,
затем исключаем его из каждой разности, находим и суммы , , непосредственно в таблице 5.1 и выполняем контроль вычислений по формулам (10.11):

,
;

Контроли выполнены.

Находим среднюю квадратическую ошибку одного измерения

Определяем среднюю квадратическую ошибку наиболее надёжных значений измеряемых величин

Находим относительные средние квадратические ошибки:

,
.
Применение менее жёсткого критерия — неравенства (10.12) — к данной задаче приводит к следующим результатам. Находим для и (из Приложения D) . Получаем, что
; ,
т.е. левая часть неравенства (10.12) меньше его правой части, следовательно, с вероятностью 0,95 согласно этому критерию систематическими ошибками можно пренебречь и дальнейшую оценку точности следует выполнять по формулам (10.4–10.5):
, .
Как видно, величины и практически не изменились, однако влияние систематических ошибок с использованием этого критерия выявить не удалось.

жүктеу/скачать 0.66 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6