Моделирование химико-технологических процессов в производстве неорганических веществ учебное пособие

22 
Применение поточно-информационных структурных схем основано на 
методе системного анализа, применяемого для описания любого химико-
технологического процесса. Сущность метода заключается в том, что в 
результате рассмотрения процесса из всей совокупности физико-химических 
явлений можно выделить несколько более простых уровней изучаемого 
процесса. Причем каждый из уровней состоит из отдельных стадий и может 
иметь различную степень математического описания. При этом необходимо, 
чтобы входные и выходные переменные всех уровней находились во взаимном 
соответствии, что обеспечивает получение замкнутой системы уравнений 
математической модели в целом. Связь между уравнениями каждого из уровней 
обеспечивается уравнениями материального и энергетического балансов. 
Таким образом, изучение процесса не в совокупности, а по частям — 
основное требование математической модели. В идеале математическое 
описание каждого уравнения должно включать уравнения, параметрами 
которых являются только физико-химические свойства веществ. Однако 
получить такое фундаментальное описание блоков в настоящее время не 
представляется возможным. Поэтому при практическом использовании 
системного подхода описания каждого уровня приходится применять 
эмпирические уравнения. 
3.4. Четвертый этап моделирования 
На этом этапе выбирают один из способов решения задачи (уравнений), в 
зависимости от сложности. Поскольку задачей моделирования является 
получение явной связи между входными и выходными параметрами, то метод 
решения модели определяется в результате ее анализа. 
Можно выделить 3 уровня анализа.
1. Если моделируется несложный процесс и уравнения достаточно 
просты, то решение получаем путем пересмотра модели, т.е. логическим путем, 
не решая входящие в нее уравнения. Например, если х·у = 0, но х ≠ 0, то у = 0. 

23 
2. На втором уровне анализа рассматриваются более сложные задачи, и 
решение уравнений возможно аналитическими методами путем преобразования 
этих уравнений. 
3. Третий уровень анализа соответствует сложным моделям, решение 
которых возможно только численными методами на ЭВМ. 
Рассмотрим 
основные 
классы 
уравнений, 
встречающихся 
в 
математических 
описаниях 
химико-технологических 
объектов. 
Для 
характеристики объектов моделирования обычно применяют: 
а) алгебраические и трансцендентные уравнения; 
б) обычные дифференциальные уравнения; 
в) дифференциальные уравнения в частных производных; 
г) 
интегральные 
и 
интегрально-дифференциальные 
уравнения 
(встречаются редко). 
К алгебраическим уравнениям обычно сводится математическое описание 
объектов в стационарных режимах. Уравнения могут быть линейного и 
нелинейного типа. Примером линейного уравнения является закон Паскаля: 
. 
(3.11) 
Уравнение записано в явном виде и может быть решено логическим путем. 
Примером нелинейного уравнения является зависимость расхода от 
перепада давления на вентиле: 
, 
(3.12) 
где k — коэффициент пропускной способности вентиля. 
К трансцендентным уравнениям относятся уравнения, из которых 
искомый параметр не может быть выражен в явном виде. Например, уравнения 
равновесия химической реакции: 
CH
4
+ Н
2
О = СО + 3Н
2
, 
где необходимо найти степень превращения метана, которую обозначим через х: 
(3.13) 

24 
Такие уравнения могут быть решены с использованием численных 
методов на ЭВМ. 
Обыкновенные дифференциальные уравнения обычно используют для 
описания нестационарных режимов объектов. Примером может быть аппарат, 
заполняемый жидкостью во времени. Уравнение заполнения записывают в 
следующем виде: 
(3.14) 
Для получения конкретного решения дифференциального уравнения 
должны быть заданы граничные условия: например, при τ = 0, V = 0. 
На сложность решения существенно влияет линейность или нелинейность 
уравнения. Линейные дифференциальные уравнения решаются гораздо проще. 
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 
имеют аналитическое решение при числе уравнений менее 4. Нелинейность 
уравнений существенно усложняет решение. В этом случае требуется 
использование численных методов с заданием начальных и граничных условий. 
Подобные уравнения решаются с использованием численных методов 
(например, Эйлера, Рунге–Кутта и т.п.). 
Дифференциальные уравнения в частных производных используются для 
математического 
описания 
динамики 
объектов 
с 
распределенными 
параметрами. Например, изменение температуры в стержне вдоль 1-й 
пространственной координаты: 
(3.15) 
где а — коэффициент температуропроводности. 
Решают такие уравнения также с использованием численных методов. 
Необходимо отметить, при численном решении как обыкновенных 
дифференциальных уравнений, так и дифференциальных уравнений в частных 
производных в том случае, когда явная форма выходных параметров не 
получена, должен быть разработан алгоритм решения. Эту последовательность 
операций, которую необходимо выполнить над уравнениями математического 

25 
описания, чтобы найти значения выходных параметров, называют 
моделирующим алгоритмом. 
Рассмотрим построение моделирующего алгоритма для описания 
реактора идеального перемешивания периодического действия, в котором 
протекает реакция А + В → С: 
(3.16) 
где V — объем реактора. 
Необходимо отметить, что построение эффективного моделирующего 
алгоритма определяет применимость модели. Так, например, если 
моделирующий алгоритм получается очень сложным, то приходится изменять 
формулировку исходной задачи для упрощения математического описания. 

жүктеу/скачать 4.76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: