Моделирование химико-технологических процессов в производстве неорганических веществ учебное пособие
жүктеу/скачать 4.76 Mb. Pdf көрінісі
|
разделим на ведущий элемент этой строки (–1), чтобы сделать его равным +1. В общем случае, если a 11 ≠ 0, первая строка матрицы принимает вид: (4.39) Таким образом, поделив первую строку на (–1), получим: . (4.40) Используя эту строку, добьемся, чтобы в остальных строках все элементы первого столбца обратились в нуль. Для этого надо вычесть (сложить) из i-й строки первую строку a i1 раз, что дает: (4.41) В рассматриваемом случае имеем: (4.42) Теперь не будем обращать внимание на первую строку и первый столбец и, проделав такие же преобразования с оставшейся матрицей с R–1 строками, найдем: (4.43) Продолжим преобразования до тех пор, пока не останутся только строки, состоящие из одних нулей. В данном случае это можно сделать еще только один раз. Число независимых реакций равно числу единиц, находящихся в ведущем положении (имеющих слева от себя только нули), т.е. число независимых реакций равно полному числу реакций за вычетом числа строк, состоящих из одних нулей. В рассматриваемом случае имеются три независимые реакции: 39 (4.44) Суммарная реакция не является независимой от этих трех, так как, складывая первую реакцию с удвоенной второй и вычитая третью, получаем: . (4.45) 4.8.2. Линейные инварианты Линейным инвариантом системы химических реакций называется линейная комбинация концентраций компонентов, не изменяющаяся во времени, т.е.: (4.46) где γ j — некоторые числа; C j , C j0 — количество j-го компонента в текущий и начальный моменты времени; C, C 0 — вектор-строка концентраций и вектор- строка начальных концентраций; γ T — вектор-строка транспонирования (преобразование) из вектора столбца. Инварианты совместно с линейно независимыми уравнениями реакции позволяют существенно упростить математическую модель кинетики химических реакций. Чтобы найти линейные инварианты, необходимо определить: 1. Каким условиям должен удовлетворять вектор γ, если химическая система имеет линейные инварианты? 2. Как из этих условий определить вектор γ? По определению линейного инварианта имеем: (4.47) где γ — стехиометрическая матрица; вектор — столбец степень полноты реакции 40 выражает удельное количественное изменение концентрации. Откуда имеем в векторной форме . Из (4.47) получаем запись в векторной форме: . (4.48) Произведение вектор-столбца γ T на матрицу α представляет вектор-строку α, которая затем умножается скалярно на вектор-столбец . Так как скалярное произведение равно нулю при любом векторе , то следует, что α = 0, и мы получаем условие инвариантности: . (4.49) В скалярной форме система (4.49) имеет вид: (4.50) или (4.51) Итак, вектор-строка γ T = (γ 1 ,…,γ j ,…,γ n ) должна удовлетворять уравнению (4.51). Таким образом, для определения компонентов вектора γ получена система m однородных уравнений с n неизвестными (m ≤ n). Известно, что такая система имеет k = n – m линейно независимых решений: (4.52) Все эти решения можно получить следующим образом. Перенесем в правую часть системы (4.51) члены, содержащие γ m+1 ,…,γ n . Затем, полагая, что (4.53) 41 и решая каждый раз полученную систему уравнений, найдем все k решений (4.54) Пример: . (4.55) Число инвариантов равно n = 4, m = 2, k = n – m = 4 – 2 = 2. Найдем эти инварианты. Система (4.51) имеет вид: . (4.56) Так как, , полагая , находим . Затем, полагая , находим . Итак, получаем векторы: (4.57) 42 и соответствующие инварианты: . (4.58) Складывая и вычитая эти инварианты, получим еще два различных инварианта: . (4.59) жүктеу/скачать 4.76 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|