Модуль таңбасы бар теңдеулер Айнымалысы модуль таңбасымен берілген теңдеулерді модуль таңбасы бар теңдеулер



жүктеу 104.53 Kb.
Дата26.06.2016
өлшемі104.53 Kb.
Модуль таңбасы бар теңдеулер

Айнымалысы модуль таңбасымен берілген теңдеулерді модуль таңбасы бар теңдеулер деп атайды. Мысалы, =3, =2х+1, т.с.с. – модуль таңбасы бар теңдеулер.

Модуль таңбасы бар теңдеулерді шешудің бірнеше тәсілі бар. Оларды мысалдар арқылы қарастырайық.

1-мысал. =2 теңдеуінің түбірлерін табу керек.

Шешуі. 1-тәсіл. (Геометриялық тәсіл). өрнегінің геометриялық мағынасы – ол сан осіндегі х нүктесінен а нүктесіне дейінгі қашықтықты білдіреді. Онда =2 теңдеуінің геометриялық мағынасы х және 1 нүктелерінің ара қашықтығы 2-ге тең болатындығында. Олай болса , х=-1 немесе х=3 болуы керек.

Ж а у а б ы : х=-1; х=3.



2-тәсіл. ( Квадраттау тәсілі ). Берілген теңдеудің екі жақ бөлігі де оң болғандықтан, оны квадраттап,  немесе  квадрат теңдеуін аламыз. Оның түбірлері: =-1 және =3. Бұлар берілген есептің жауаптары.

3-тәсіл. ( Анықтама тәсілі). Анықтама бойынша

Осыдан , егер х-1 ≥ 0 болса, онда теңдігі және х-1<0 болса, онда  теңдігі орындалады. Сондықтан сан осін х=1 нүктесі арқылы екі бөлікке бөлеміз: (- ∞;+∞)=(- ∞;1) Осы бөліктің әрқайсысында берілген теңдеуді жеке шешу керек.

Егер х(-  болса, онда берілген теңдеуді -х+12 түрінде жазамыз. Осыдан х -1 болады.

Егер х болса, онда берілген теңдеуді х-12 түрінде жазып, оның түбірін табамыз: х3.

Ж а у а б ы : х-1; х3.

2-мысал.  теңдеуін шешу керек.

Шешуі. Мүнда  болғандықтан, х-1 болуы керек. Сондықтан бұл теңдеуді мынадай екі жүйеге бөлеміз:


  1.  2) 

 

Ж а у а б ы :  



3-мысал.  теңдеуін шешу керек.

Шешуі. Теңдеудің екі жақ бөлігі де оң болғандықтан, оны квадраттау тәсілімен шешкен тиімді.

Ж а у а б ы : 



4-мысал.  теңдеуін шешу керек.

Шешуі. Мұндай теңдеулерді шешу үшін модуль таңбасы астындағы екімүшелерді нөлге теңестіріп, олардың түбірлерін анықтаймыз:

 Онда бұл нүктелер сан осін 4 бөлікке бөледі: 

  1. Егер  болса, онда  Сондықтан берілген теңдеуді  немесе  Ал х  болғандықтан, бұл аралықта теңдеудің шешімі жоқ: 

  2. Егер  болса, онда  Олай болса, берілген теңдеуден мынаны аламыз:

 Бұл теңдік х-тің әрбір мәнінде орындалады. Онда бұл аралықта шешім  теңсіздігімен анықталады.

  1. Егер  болса, онда  Сондықтан берілген теңдеуді немесетүрінде жазамыз. Онда есептің бұл аралықтағы шешіміболады.

  2. Егер  жағдайында болады. Онда  Мұнда  болғандықтан, шешімі  болады.

Ж а у а б ы:  немесе , яғни 

f ( түріндегі теңдеу

(мұндағы f ( қандай да бір рационал өрнектер)



 және жүйесі түрінде жазуға болады.

Мысалы:

 және 

 теңдеуінің екі түбірі бар: -3 және 2.

 теңдеуінің екі түбірі бар: 3 және -2.

Бірінші жүйенің шешімі: 

Екінші жүйенің шешімі: 

Теңдеудің шешімі: 2 және -2 болады.



Ескерту: Берілген теңдеуді жаңа айнымалы еңгізу арқылы шешуге болады.  деп белгілесек, онда  теңдеуді мына түрде жазуға болады:  Түбірлері: -3 және 2. Шешім ретінде 2 саны алынады:  Олай болса 

 түріндегі теңдеуді шешу

Теңдеуді мынадай жүйелер түрінде жазамыз:



 және  (1)

Мысалы:  теңдеуін шеейек.

 және 

 және 

 және 

 теңдеудің шешімі болады.

Екінші тәсіл:  болса, онда

 және  болады.

Ескерту: Егер теңдеуінде f`(х) функциясы g(х) функциясына қарағанда қарапайым болса, онда теңдеуді екінші тәсілмен шығаруға ыңғайлы.

 түріндегі теңдеуді шешу

Мұндай теңдеулерді шешкенде үзіліссіз функцияның монотонды аралықтағы қасиетін пайдаланған қолайлы.



Мысалы: 

Модуль таңбасының ішіндегі өрнектерді функция деп есептеп, нөлдерін табайық.







Сан осі төрт аралыққа бөлінеді.

0,25 0,5 3

1)х

2)   х

3)   Шешімі жоқ

4)   Шешімі жоқ Жауабы: -5 және 1.

Мысалы: ||x-1|+2=1

Теңдеуді шешу үшін жаңа айнымалы енгізуге болады. |x-1|=у.

Теңдеуді мына түрде жазылады:

|y+2|=1. Шешу жолы:



Сонда:  

Теңдеудің шешім жоқ, себебі санның модулі теріс сан.

Жауабы: шешімі жоқ.

Мысалы: |2х+1|

Теңдеуді екі жүйе құрып шешу керек. (1) формулаға қара.



Мысалы: Теңдеулер жүйесін шешіңдер 

Екінші теңдеуден |у+1|-ді х арқылы өрнектеп, бірінші теңдеуге қоямыз.

Сонда:   болады.

|х+1|+2х-5 |у+1|



  

  Жауабы: (4;2), (4, -4)

Модуль таңбасы бар теңсіздіктер

Модуль таңбасы бар теңсіздіктерді шешудің әртүрлі әдісі бар. Соның ішінде қолайлысы интервалдар әдісі.



1-мысал.  теңсіздігін шешу керек.

Шешуі.  өрнегін нөлге айналдыратын х-тің мәнін табамыз, яғни  осыдан  Сан түзуінде  нүктесін белгілейміз.

  1.  аралығын қарастырамыз. Бұл аралықта х-1 өрнегінің таңбасы теріс, яғни  Бұл аралықтағы шешім: .

  2.  аралығын қарастырайық. Бұл аралықта х-1 өрнегінің таңбасы оң, яғни  Бұл аралықтағы шешім 

Ж а у а б ы : 

2-мысал. .

Шешуі. Мұнда 

  1.  аралығында  өрнегінің таңбасы теріс, ал  өрнегінің таңбасы оң, яғни

 Бұл аралықтағы шешім 

  1.  аралығында ; ұқсас мүшелерді біріктерсек  яғни шешімі жоқ.

  2.  аралығында  ұқсас мүшелерді біріктерсек 

  3. Ж а у а б ы : 

f(|x|)

Берілген теңсіздіктердің шешімі:



 және  теңсіздіктер жүйелерін қанағаттандырады.

  1. Теңсіздікті шешіңдер:

-5|х|+6<0

Берілген теңсіздіктің шешімі мына теңсіздіктер жүйелерін қанағаттандырады



 және 

 (х-2)(х-3)

+ - +


х

2 3


+ - +

х

-3 -2


 

сонда 2

Екінші жүйені шешеміз:

 сонда -3

Жауабы: (-3;-2)  (2;3)

Ескерту: Теңсіздікті жаңа айнымалы енгізу арқылы шешугі болады .

t=|x|, , .



f(x) | түріндегі теңсіздікті шешу, мұндағы f(x), g(x) – қандай да бір функциялар

Берілген теңсіздіктің шешімі:



 теңсіздіктер жүйелерін қанағаттандырады.

g(x) болса, берілген теңсіздіктің шешімі жоқ.



  1. Теңсіздікті шешіңдер: |

Мынадай теңсіздіктер жүйесін құрамыз:

 

  2

х(х-5) 



+ - +  (х-2)(х+3) Жауабы: (2;5)

0 5 х


Екінші тәсіл: Теңсіздіктің шешімі мына жүйелерді қанағаттандыру керек:

 

Бірінші теңсіздіктер жүйесін шешеміз: 



+ - + + - +

-1 3 х 0 5 х

Бірінші жүйенің шешімі: 3

Екінші жүйені шешеміз:



  Шешімі: 2

Жауабы: (2;3)

Үшінші тәсіл: у=х-2х-3 функциясының таңбалары өзгеретін нүктелерді табамыз.

Осы нүктелерді сандық осьте салып, теңсіздікті сол аралықтарда шешеміз.




|f(x)|түріндегі теңсздіктерді шешу

|f(x)| мұндағы f(x),  – х айнымалысына тәуелді өрнектер, мына теңсіздіктерге байланысты шешіледі:


f(x) және f(x), яғни 

  1. Теңсіздікті шешіңдер:

|х-1|+|х-5|



функцияларды нөлге теңестіріп шешеміз: x=1, x=5.

Осы нүктелерді сандық осьте салып, теңсіздікті сол аралықтарда шешеміз.

(-

Берілген теңсіздік келесі үш теңсіздіктер жүйесінің шешімін қанағаттандырады:

  

  

Бірінші жүйенің шешімі: х екінші жүйенің шешімі жоқ, үшінші жүйенің шешімі: х

Жауабы: (-


  1. Теңсіздікті шешіңдер: ||2х+1|-5|

Жаңа айнымалы енгіземіз |2х+у| Сонда теңдеу |у-5|2 болады.

Осыдан: у-5 у-5-2

у

|2х-1|

|2х-1|

-3

-2
|2х+1|

2х+1

 және 2х

Х және



Жауабы: (-
Теңсіздікті шешіңдер: |2х-|3х|-2|

Екі теңсіздіктер жүйесін шешеміз:



 



 
 

Екінші жүйені шешеміз: 



  шешімі жоқ  шешімі жоқ



©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет