Определение нормальных и касательных напряжений

3.4Определение нормальных и касательных напряжений

3.4.1Определение нормальных напряжений

1) плоские сечения n — n (рис. 11), нормальные к оси z крыла, поворачиваясь при деформации, остаются плоскими (n΄— n΄);

2) в продольных сечениях панелей крыла нормальные напряжения σ_х = 0 (рис. 11);

3) крыло рассматривается как безмоментная тонкостенная оболочка.

Первые два допущения обосновываются наличием в крыле часто расположенных нервюр, которые, соединяя различные элементы крыла, обеспечивают его работу как единого целого. Благодаря большой жесткости нервюр в своей плоскости, контур поперечного сечения крыла не деформируется при изгибе. Поэтому можно считать, что сжатие (растяжение) элементов продольного набора крыла не сопровождается поперечными деформациями этих элементов и напряжения σ_х = 0.

Рис. 11.

Ниже излагается расчет сечения крыла от изгибающего момента, действующего в плоскости, перпендикулярной к плоскости хорд. Изгибающий момент, действующий в плоскости хорд, воспринимается, в основном, изгибом верхней и нижней панелей крыла. Нормальные напряжения при этом определяются так же, как и при вертикальном изгибе. По величине они получаются небольшими.

Рис. 12.

Рис. 13.
Исходные данные: изгибающий момент М_изг в сечении крыла, геометрические характеристики сечения (рис. 12) и характеристики жесткости элементов продольного набора. Последние задаются в виде зависимостей напряжений σ от деформаций ε (рис. 13). Различные элементы крыла обычно имеют неодинаковые и к тому же нелинейные зависимости σ от ε. Причиной этого может быть различие в материалах, из которых выполнены элементы конструкции, работа отдельных элементов за пределом пропорциональности и после потери устойчивости, а также неодинаковый нагрев их.

Сущность метода состоит в следующем. Определяя нормальные напряжения, действительное сечение крыла (рис. 12, а) заменяют приведенным (редуцированным) сечением (рис. 12, б), все элементы которого работают по одной фиктивной идеально упругой диаграмме σ - ε (рис. 13). Наклон последней можно назначить произвольно. При этой замене требуют, чтобы усилия S = σ f и S_φ = σ_φ f_φ в соответствующих элементах действительного и редуцированного сечений при равных деформациях этих элементов были одинаковыми. Естественно, напряжения элементов действительного и редуцированного сечений будут различными (σ ≠ σ_φ).

Из условия S = S_φ получаем:

Отсюда делаем заключение, что площадь f_φ сечения элемента редуцированного сечения крыла отличается от площади f соответствующего элемента действительного сечения в отношении φ. Коэффициент

называется редукционным коэффициентом.

Нормальные напряжения в редуцированном сечении изменяются по высоте линейно (рис. 12, б) и поэтому могут быть определены по формуле

.

Истинные значения напряжений в элементах сечения

Здесь М_изг — изгибающий момент в сечении;

При подсчете J_φ за нейтральную ось можно принимать ось, параллельную хорде крыла и проходящую через центр тяжести редуцированного сечения. Ошибка за счет пренебрежения поворотом осей получается, как правило, небольшой.

где F — площадь, ограниченная контуром, образованным обшивкой и стенками лонжеронов;

Здесь,

_п, _стр — редукционные коэффициенты пояса и стрингера. При подсчете площади редуцированного сечения растянутой зоны необходимо учитывать ослабление поясов, стрингеров и обшивки за счет отверстий под болты и заклепки, т. е. под f_i следует понимать площадь сечения за вычетом площади, занятой отверстиями под болты и заклепки. В расчете сжатой зоны этого делать не нужно, так как здесь нагрузка передается через стержни болтов и заклепок.

Формула может быть выведена и непосредственно из элементарных соображений: сила, действующая в панели, равна моменту, деленному на среднюю высоту сечения крыла; напряжение в элементе равно силе, деленной на редуцированную площадь панели и умноженной на соответствующий редукционный коэффициент.

Для конструкций, у которых с ростом нагрузки напряжения в элементах панели сохраняются примерно постоянными вплоть до разрушения наиболее прочного элемента крыла, значения редукционных коэффициентов можно определить по формулам

где σ_{разр.стр} и σ_разр.п — разрушающее напряжение стрингера и пояса соответственно.

Конструкции с весьма жесткими стрингерами разрушаются при разрушении стрингера. После потери устойчивости стрингера нагрузка, которую он может держать, резко падает. При этом рост напряжений и разрушение поясов происходят без увеличения внешней нагрузки. В таких конструкциях для сжатой зоны следует принимать

φ_п = φ_стр = 1

то .

Здесь (EJ)_i - жесткость при изгибе i-го лонжерона.

Рис. 15. Распределение изгибающего момента крыла между лонжеронами.

Соотношение получается из условия равенства углов поворота сечений лонжеронов крыла при изгибе (закон плоских сечений).

3.4.2Определение касательных напряжений

При определении касательных напряжений τ исходят из общепринятых допущений теории тонкостенных стержней и оболочек, а именно: принимают, что напряжения τ по толщине обшивки не изменяются, а погонные касательные усилия q = τσ в любой точке сечения направлены по касательной к средней линии сечения контура (рис. 16). Кроме того, считают, что поперечные сечения крыла при кручении могут свободно депланировать, т. е. искажаться в направлении длины оболочки.

Расчет проведем, не отделяя изгиб от кручения, заменив поперечную силу Q и момент М_z относительно оси z эквивалентной им силой Q, приложенной в точке, находящейся на расстоянии от точки О' (рис. 16).

где - касательные силы изгиба, найденные в предположении, что в некоторой точке n контур разомкнут (рис. 17, б);

откуда

Здесь a - расстояние от линии действия силы Q до полюса О';

 - расстояние от полюса до касательной к элементу длины ds контура;

- удвоенная площадь, ограниченная контуром.

В случае многозамкнутого контура расчет основной системы от внешней нагрузки производят подобным образом. При этом статическую неопределимость системы раскрывают, используя известные методы строительной механики, например, метод сил.

Порядок определения касательных усилий рассмотрим на примере расчета двухконтурного сечения крыла (рис. 18). Если контуров три и более, метод расчета остается таким же, несколько усложняются лишь выкладки.

Это соотношение получается из условия равенства прогибов лонжеронов, нагруженных соответственно силами Q₁ и Q₂. Так как Q₁ + Q₂ = Q, то

Здесь Q_i— поперечная сила i -го лонжерона;

(EJ)_i — жесткость при изгибе i -го лонжерона.

Крутящий момент М_кр в сечении подсчитывают как момент внешней нагрузки, действующей в сечении, относительно центра жесткости. В рассматриваемом случае (рис. 18, а) центр жесткости (ЦЖ) лежит на линии действия равнодействующей сил Q₁ и Q₂ (на рис. 18 крутящий момент обозначен М_к). Координату центра жесткости можно определить, например, по формуле

.

Рис. 18
Таким образом, крутящий момент в сечении крыла

где d — расстояние от линии действия силы Q до центра жесткости сечения.

Крутящий момент в сечении можно определить также как сумму моментов всех внешних и внутренних сил, действующих в сечении, относительно произвольной точки. Например, приняв за полюс точку O (рис. 18, а), найдем:

.

На рис. 18, а показан момент М_кр, уравновешивающий крутящий момент Qd.

Если в крыле два контура, то из условия равенства относительных углов закручивания контуров имеем:

Из условия равновесия следует, что

Отсюда

где М_крi – крутящий момент i–го контура сечения (рис. 18, б);

 - толщина обшивки;

Если в контуре в пределах панели толщина обшивки не изменяется, то

где l_i и _i длина панели в сечении и толщина стенки.

Стрингеры увеличивают жесткость крыла при кручении. Учитывают это, вводя в расчет приведенную толщину обшивки. Для стрингера закрытого сечения, а также открытого, но прикрепленного к обшивке двумя рядами заклепок, приведенная толщина обшивки на участке между заклепками

,

где b – расстояние вдоль контура между заклепками крепления стрингера к обшивке;

s_i и _i - длина i–го элемента стрингера (в его сечении) и толщина.

Суммирование в формуле для  выполняется по всем элементам стрингера между заклепками крепления его к обшивке.