Н. Ж. Джайчибеков физика-математика Ўылымдарыны докторы, профессор
жүктеу/скачать 4.86 Mb.
|
|
(−2ig01exp (−iλx) 0 получаем
αy− 4iλ tn, 0 η1 = 0 −2ig01exp(−iλx −2αiλy+ 4iλ2t, и аналогично для ξ1 : (7)
ξ1= (−2if01 exp (−iλx) 0
−2if01 exp(−iλx −2αiλy+ 4iλ2t. (8) A11= − Рассмотрим теперь матрицу 2i g01f01 exp (F(µ1, x, y, t) − F (λ1, x, y, t)) =
= −
2i g01f01 π µ1 − λ1 · π µ1 − λ1 exp (−i(µ1 − λ1 )x) 0
exp i(µ1 − λ1)x +2i(µ1α−λ1)y− 4i(µ1 − λ1)2t ! , (9)
1 +2i g01f01 где параметры µ16= λ1. Тогда имеем (I − A11) =
= π µ1−λ1exp (i(µ1− λ1)x) g01f01 0 2i(µ1−λ1) 2 .
=
0 1 +2πiµg011−fλ011 exp (i(µ1 − λ1)x) 1 +2πiµ1−λ1exp i(µ1− λ1)x + Откуда следует, что (I − A11)−1= −1
αy− 4i(µ1− λ1) t 0 2i(µ1−λ1) 2
0 π µ1 −λ1expi(µ1− λ1)x + и αy− 4i(µ1− λ1) t
−4g01f01 exp(−2iλ1 x) 1+2i g01f01 π µ1−λ1exp(i(µ1−λ1)x) ξ1 (I − A11)−1 η1 = 0
. 0 −4g01f01exp −2iλ1x−4iλα1y+8iλ21t
1+2i g01f01 −λ1)x+2i(µ1α−λ1)y−4i(µ1−λ1)2t π µ1 −λ1expi(µ1 −4Λg01f01 exp(−2Λx) 1−g01f01 0
ξ1 (I − A11)−1 η1 = π exp(−2Λx) 0 . −4Λg01f01exp(−2Λx− 4Λαy−8iΛ2t) 1−g01πf01exp(−2Λx− 4Λαy−8iΛ2 t) (10)
Теперь подставляя выражение (10) в (2), получаем односолитонное решение уравнения (1): −4Λg01f01 π exp(−2Λx) 1−g01f01 − 2Λx)
q(x, y, t) = π exp(
−4Λg01f01 4Λ 2 . (11) 0 πexp(−2Λx− αy−8iΛ t) 1−g01πf01 exp(−2Λx−4Λαy−8iΛ2t) 12 74      
К.Р. Есмаханова или m∗exp(−2Λx − 4Λ 2
q(x, y, t) = 4Λ αy− 8iΛ t 1 + m∗exp(−2Λx − 4Λ 2 , (12) где m = −4g01f01 αy− 8iΛ t π . Профиль этого решения при Λ = 1, m = 1, t = 0 представлен на Рис.1. Односолитонное решение НУШ при Λ = 1, m = 1, t = 0 . Амплитуда односолитонной волны на поверхности (x, y) . Ниже приведем выражения для матриц необходимые при построении двухсолитонного решения (2+1)–мерного НУШ:
−2ig01exp −iλ01x η1= (
0
(13)
0 −2ig01 exp 0 −iλ1x − 2iλ 1
αy+ 4iλ1t −2ig02 exp −iλ2x η2= ( 0
(14) 0 −2ig02exp −iλ02x−2iλ 2 02
αy+ 4iλ2t −2if01exp −iλ1x ξ1 =
0
0 −2if01exp −iλ01x−2iλ 1 02 −2if02exp −iλ02x ξ2 = (
αy+ 4iλ1t 0 . (16)
0 −2if02 exp 0 −iλ2x − 2iλ 2
75 αy+ 4iλ2t  
Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6 Тогда получим: 2i g01f01 A11 = − π µ1 − λ1 exp (F(µ1, x, y, t) − F (λ1, x, y, t)) =
−
π µ1 − λ1
0
exp i(µ1 − λ1)x +2i(µ1α−λ1 )y− 4i(µ1 − λ1)2t ! , (17) A12 = −
2i g01f02 π µ2 − λ1 exp (F(µ2, x, y, t) − F (λ1, x, y, t)) = −2i g01f02 π µ2− λ1 exp (i(µ2− λ1)x) 0 0
! , (18) A21= − 2i g02f01 π µ1− λ2 exp (F(µ1, x, y, t) − F (λ2, x, y, t)) = −2i g02f01 π µ1 − λ2 exp (i(µ1 − λ2)x) 0 0
! , (19) A22 = −
2i g02f02 π µ2 − λ2 exp (F(µ2, x, y, t) − F (λ2, x, y, t)) =
π µ2− λ2
exp (i(µ2− λ2)x) 0
0 exp i(µ2− λ2)x +2i(µ2α−λ2)y− 4i(µ2− λ2)2t Отсюда получим (I − A11)−1= !
= π µ1−λ1exp (i(µ1− λ1)x) 0
−1 0 1 +2πiµg011−fλ011expi(µ1 − λ1)x +2i(µ1α−λ1)y− 4i(µ1 − λ1)2t и (I − A12)−1= −1
= 1 +2πiµg012−fλ021 exp (i(µ2 − λ1)x) 1 +2i g01f02 0
2 −1, 0 π µ2−λ1exp i(µ2− λ1)x + αy− 4i(µ2− λ1) t = 1 +2πiµg021−fλ012 exp (i(µ1 − λ2)x) −1 (I − A21)−1= 1 +2i g02f01 0
2 −1, 0 π µ1−λ2exp i(µ1− λ2)x + αy− 4i(µ1− λ2) t
1 +2i g02f02 −1 (I − A22)−1= = π µ2−λ2 exp (i(µ2 − λ2)x) 1 +2i g02f02 0 2i(µ2−λ2) 2 −1. 0 π µ2−λ2exp i(µ2− λ2)x + αy− 4i(µ2− λ2) t Теперь построим следующие матрицы: ξ1 (I − A11)−1 η1 = 76           
0 −4g01f01exp −i(λ1−λ1)x 1+2i g01f01 π µ1−λ1exp(i(µ1−λ1)x) К.Р. Есмаханова
0 !
= 0 −4g01f01exp −2i(λ1−λ 4i(λ1−λ 1) − 02 , 0 1+2i g01f01 1)x− αy+8i(λ1 2i(µ1−λ1) λ1) t 2 0 −4g01f02exp −2i(λ1−λ2)x 1+2i g01f02 π µ1−λ1exp i(µ1−λ1)x+ ξ1 (I − A12)−1 η2 =
αy−4i(µ1−λ1) t
π µ2−λ1exp(i(µ2−λ1)x) 0 ! = 0 −4g01f02 exp −2i(λ1−λ 4i(λ1−λ 2) 02 ,
0 1+2i g01f02 2)x− αy+8i(λ1−λ2) t 2i(µ2−λ1)2
0 −4g02f01 exp −2i(λ2−λ1)x 1+2i g02f01 π µ1−λ2exp(i(µ1−λ2)x) π µ2−λ1exp i(µ2−λ1)x+ ξ2 (I − A21)−1 η1 = 0 αy−4i(µ2−λ1) t
0 0 4i(λ2−λ 02 ! , 0 −4g02f01exp −2i(λ2−λ 1)x− 1) αy+8i(λ2−λ1) t 1+2i g01f02 π µ1−λ2exp i(µ1 −λ2)x+2i(µ1α−λ2)y−4i(µ1−λ2)2t
0 −4g02f02 exp −i(λ2 −λ2)x 1+2i g02f02 − ξ2(I − A22)−1 η2= 0 = π µ2 −λ2 exp(i(µ2 λ2)x) 0 −4g02f02exp −2i(λ2−λ 0 4i(λ2−λ 2) 02 ! t . 0 2)x− αy+8i(λ2−λ2)
1+2i g02f02 −λ2)x+2i(µ2α−λ2)y−4i(µ2−λ2)2t π µ2−λ2expi(µ2 0 Для построения двухсолитонного решения, рассмотрим случай, когда l+k λk= 0, µl = −λk = (−1) iΛ, g0k = g0, f0l = f0, k = 1, 2, l = 1, 2. Тогда из предыдущей формулы имеем ∑ ξk(I − Akl)−1 ηl= k,l
4Λg0f0exp(2Λx) − 4Λg0f0exp(−−2Λx) 1−g0f01−g0f0
= 2 π exp(2Λx) π exp( 2Λx) 4Λ 2 . 0 4Λg0f0 exp(2Λx+ 4Λ4Λαy−8iΛ2t) − 4Λg0f0 exp(−2Λx− αy−8iΛ t) 1−g0f02 πexp(2Λx+ t) 1−g0f0 4Λ 2
4Λg0f0 4Λg0f0 αy−8iΛ Решение примет вид: q(x, y, t) = πexp(−2Λx− αy−8iΛ t)
жүктеу/скачать 4.86 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|