Н. Ж. Джайчибеков физика-математика Ўылымдарыны докторы, профессор

1−^g0 f0

π exp(−2Λx)

1−^g0f0 −

2Λx)

0

π exp(2Λx)

π exp(

4Λg₀f₀

2

4Λg₀f₀

2



Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6

Двухсолитонное решение при Λ = 1, m = 1, t = 6

Двухсолитонное решение при Λ = 1, m = 1, t = 17

Заключение

В данной работе получены одно– и двухсолитонные решения НУШ, графики кторых

представлены на Рис.2-4. Как видно из Рис.2 получено односолитонное решение в виде

доменной стенки, на Рис.3 и Рис.4 представлены два солитона в виде двух доменных стенок.

Решение были построены на основе выражения (2), полученного из решения НУШ методом ∂Ї

– проблемы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Есмаханова К.Р. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата

физико-математических наук. – 2008. – 18 с.

2. Захаров В.Е., Манаков С.В. Многомерные нелинейные интегрируемые системы и методы

построения их решений //Зап. науч. сем. ЛОМИ. –1984. –Т.133. –С. 77-91.

3. Bogdanov L.V., Manakov S.V. Nonlocal ∂Ї -problem and (2+1) dimensional soliton equations

//In: Proc. of Int. Workshop on Plasma theory and nonlinear and turbulent processes in physics,

Kiev, April 1987, World Scientific, Singapore, -1988, -V.1. -P. 7.

4. Martina L., Myrzakul Kur., Myrzakulov R and Soliani G. Deformation of surfaces, integrable

systems and Chern-Simons theory //J. Math. Phys. –2001. –V.42, №3. -P. 1397-1417.

К.Р. Есмаханова

(2+1)–°лшемдi Шредингер тедеуiнi бiр және екi солитонды© домин турiндегi шешiмдерi

(2+1)–°лшемдi сызы©ты емес Шредингер тедеуiне ∂Ї –проблемасы әдiсiн пайдаланып, бiр– және екi– солитонды©

домин турiндегi шешiмдерi табылды.

One and two soliton’s solution type domins Shrodinger equation (2+1)–dimensional

In this paper we consider (2+1)- dimensional nonlinear Schrodinger equations the method of nonlocal ∂Ї –problem is used. One

and two soliton’s solution found.

Рекомендована к печати 19.10.2011

79

Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6

( Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан )

В данной статье мы рассмотрели действие для бозонной струны с неканоническим кинетическим членом и

модифицированное действие типа Намбу–Гото. Получили уравнения движения струны и условия связи для

рассматриваемых действий.

Введение
Развитие фундаментальной физики в прошлом веке произошло в результате выявления и

преодоления противоречий между существующими идеями. Например, несовместимость

уравнений Максвелла и инвариантности Галилея, и несоответствие ньютоновской гравитации

с результатами общей теории относительности привели Эйнштейна к созданию специальной

теории относительности. То же самое случилось с объединением специальной теорией

относительности и квантовой механикой, что привело к развитию квантовой теории поля.

Сейчас, есть еще одно несоответствие: общая теория относительности и квантовая теория

поля. Квантование гравитации, кажется, неперенормируемой теорией.

Теория струн является ведущим кандидатом на теорию, объединяющую все

фундаментальные силы в природе в последовательной схеме. Таким образом, согласно теории

струн необходимо отказаться от одного из основных положений квантовой теории поля –

элементарных частиц, являющихся математическими точками, а вместо этого развивать

квантовую теорию поля одномерных протяженных объектов, называемых струнами [1].

Теория струн все еще развивается, и на ее основе еще нет полного описания стандартной

модели элементарных частиц. Однако есть некоторые важные особенности, которые могут

быть универсальными для всякого рода теорий струн: во-первых, и самое главное, это то, что

общая теория относительности уже включена в теорию. Хотя обычная квантовая теория поля

не допускает гравитацию, теория струн требует этого. Второй факт состоит в том, что

калибровочная теория Янга-Миллса вроде той, что составляет стандартную модель

естественно возникает в теории струн, но пока нет полного понимания того, почему мы

должны предпочитать конкретные SU (3) ⊗ SU (2) ⊗ U (1) калибровочные теории [2].

x^µ(σ, τ ) . Параметры σ и τ задают точки на мировом листе, которые струна заметает при

своем движении; σ координата вдоль пространственноподобного направления, а τ

вдоль времениподобного [1].

Введем метрику на мировом листе hαβ , обратную метрику обозначим hαβ₍α, β = 0, 1 ).

Действие для бозонной струны с неканоническим кинетическим членом имеет вид

О.В.Разина, К.К. Ержанов

(1) относительно x^µ
δS = −T

∫

dσ dτ

√

−hKZ δZ =

−(K_ZZ[Zα^Z∂αxµ + Zβ^Z∂βxµ] + K_Z[(Z∂αxµ)α^{+ (}Z∂βxµ )β^])δx^µ].
Из (3) уравнения движения примут вид
K_ZZ[Zα^Z∂αxµ + Zβ^Z∂βxµ ] + K_Z[(Z∂αxµ)α^{+ (}Z∂αxµ)β ] = 0
или
KZZ [ ˙ZZ ˙µ + Z⁰Z_x0µ ] + KZ[(Zx˙µ)τ + (Z_x0µ)σ ] = 0,
(4)

(5)

где точка означает дифференцирование по τ , а штрих дифференцирование по σ . Так как

α, β = 0, 1 выражение (2) можно записать в виде

Z =

1

2
(h⁰⁰x˙^µx˙_µ+ h⁰¹˙^µx⁰µ⁺h¹⁰x⁰µ_x˙_µ+ h¹¹x⁰µ_x0_µ) =

1

2
( ˙2 − x⁰2₎,

(6)

где компоненты метрики hαβ имеют вид
(₁0

(7)

hαβ⁼ηαβ⁼

0 −1^,

где ηαβ двумерная метрика пространства Минковского. Следовательно уравнения движения

(5) примут вид

K_ZZ[( ˙ ν_Ёν − x⁰ν_x˙⁰ν ) ˙^µ− ( ˙ ν_x˙⁰ν − x⁰ν_x00ν⁾x⁰µ_{] +}K_Z(Ё^µ− x⁰⁰µ) = 0.

Формула для нахождения тензора энергии-импульса имеет вид
(8)

Tαβ⁼−

2
1

√
δS

.
(9)

T

−h δhαβ

Найдем вариацию действия (1) относительно hαβ

δS_hαβ = −T

∫
dσ dτ [Kδ

√

−h +

√

−hδK ].
(10)

Для оценки вариации действия, полезны следующие формулы

δh = −h hαβ δhαβ
откуда следует, что

√ √

(11)

δ

−h = −¹

2

и

−h hαβ δhαβ

(12)

δK = K_ZδZ = K_ZZ_hαβ δhαβ_.

81
(13)

Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6

Следовательно (10) примет вид

δS_hαβ⁼−T

∫
dσ dτ

√

−h[−¹hαβ^K+ K_ZZ_hαβ^]δhαβ_.

(14)

2

Тензор энергии–импульса (9) для бозонной струны с неканоническим кинетическим членом

примет вид

Tαβ = 2KZZhαβ − hαβ K = ∂αx^µ∂βxµKZ − hαβ K.

Уравнения движения (8) должны быть дополнены условиями связей Tαβ^{= 0}
T00 = ∂0x^µ∂0 xµK_Z− h00K = 0,
T₁₁= ∂₁x^µ∂₁x_µK_Z− h₁₁K = 0,

T10 = ∂1x^µ∂0 xµK_Z− h10K = 0,

T01 = ∂0x^µ∂1xµKZ − h01K = 0

или учитывая (6)–(7) условия связей (16)–(19) примут вид

T₀₀= ˙x²K_Z− K = 0,
T₁₁= x⁰2_KZ⁺K = 0,

T₀₁= T₁₀= ˙x^µx⁰µ^KZ^{= 0}.

(15)

(16)
(17)

(18)
(19)

(20)
(21)

(22)

Из (8), (20)–(21) и (22) следует система уравнений состоящая из уравнения движения и

условий связи

K_ZZ[( ˙ ν_Ёν − x⁰ν ˙⁰ν ) ˙^µ− ( ˙ ν_x˙⁰ν − x⁰ν_x00ν⁾x⁰µ_{] +}K_Z(Ёx^µ− x⁰⁰µ) = 0.

x˙²+ x⁰2_{= 0},

˙⁰= 0.

2. Действие типа Намбу-Гото
(23)
(24)
(25)

Струна представляет собой одномерный протяженный объект. Поэтому траекторией струны

является двумерная поверхность в пространстве времени. Обобщая случай релятивистской

частицы, приходим к выводу, что свободная струна (со свободными концами, если она

открытая) описывается поверхностью со следующими свойствами:

1. Поверхность является времениподобной, т.е. всюду на поверхности (за исключением, может

быть, граничных точек) можно выбрать два направления времениподобное и

пространственноподобное.

2. Поверхность имеет экстремальную площадь, т.е. является "экстремальной поверхностью".

Квадрат интервала между двумя близкими событиями, различающимися координатами dxⁱ,

в евклидовом пространстве задается формулой [3]

∂xi
ds²= dxⁱdx^j,

где
∂xi
(26)

dxⁱ=

∂σ

dσ +

∂τ

dτ = x⁰idσ + ˙xⁱdτ.

(27)

82

О.В.Разина, К.К. Ержанов

Тогда
ds²= (x⁰i dσ + ˙xⁱdτ )(x⁰j dσ + ˙x^jdτ ) = x⁰i_x0jdσ²+ ˙xⁱx˙^jdτ²+ (x⁰i_x˙^j+ ˙x^jx⁰j₎dσdτ =

= ˙x²dτ²+ 2x⁰˙

+ x⁰2dσ²= g00dτ²+ 2g01dτ dσ + g11dσ², (28)

где g₀₀= ˙x², g₀₁= ˙xx⁰, g₁₁= x⁰2 .

Для релятивистской бозонной струны Намбу и Гото предложили действие, которое

пропорционально площади мировой поверхности в пространстве–времени, заметаемой

струной в процессе ее движения [4]

S = −T

∫

dτ dσ

√

−g,

(29)

где g – детерминант матрицы g_ik, который отрицателен, так как g_ikимеет сигнатуру (+, –).

Из (28) следует

g =^x˙

2

˙⁰

= ˙_x2_x02 − ( ˙xx⁰)².

(30)

˙⁰x⁰2

Действие Намбу-Гото, описывающее струну

∫

S = −T

dτ dσ

Ⲛ ( ˙xx0)2−x˙2x02.

(31)

√
Возьмем действие в виде

∫

S = −T dτ dσK(Z),

где
q

(32)

Z =

−g =

g	2 01−g00g11=Ⲛ( ˙xx0)2−˙2x02.

(33)

Чтобы получить уравнения движения для релятивистской струны из вариационного

принципа, будем варьировать действие (32). В результате получим

δS =
∫

dτ dσ
( ∂L

∂ ˙ µ
δx˙^µ+

∂L

∂x⁰µ

δx0µ_{= 0},

(34)

где L = −T K(Z ) является лагранжианом.

Используем формулу Стокса (или формулу Грина) [3]

∫

dτ dσ

( ∂Q

∂τ

−

∂P

∂σ

=

∫

(P dτ + Qdσ).

(35)

Полагая в (35)

Q =
∂L

∂ ˙^µ
δxµ_{, P}= −
∂L

∂x⁰µ

δxµ

(36)

∂Q

и учитывая, что

∂ ( ∂L

∂L

∂τ

=

∂τ

∂x˙^µ
83

δxµ₊

∂x˙^µ

δ ˙^µ,

(37)

Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6

∂P

∂σ

= −

∂ ( ∂L

∂σ ∂x⁰µ

δxµ −

∂L

∂x⁰µ

δx0µ_,

(38)

преобразуем уравнение (34) к следующему виду

∫ [ ∂L
∂L ] ∫

[ ∂⁽∂L
∂ ( ∂L^]

δS =

∂x˙^µ

dσ −

∂x⁰µ

dτ

δx^µ−

dτ dσ

∂τ

∂x˙^µ

+

∂σ

∂x⁰µ

жүктеу/скачать 4.86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: