Н. Ж. Джайчибеков физика-математика Ўылымдарыны докторы, профессор

жүктеу/скачать 4.86 Mb.

бет	16/26
Дата	11.07.2016
өлшемі	4.86 Mb.
	#190738

1 ... 12 13 14 15 16 17 18 19 ... 26

постоянный множитель (необходимый для того, чтобы поле X^µимело размерность

длины), который оказывается равным натяжению струны. Здесь

Z =

hαβ∂α^xµ∂β^xµ^.

(1)

Так как α, β = 0, 1 выражение (1) можно записать в виде

Z =

2
(h⁰⁰x˙^µx˙_µ+ h⁰¹x˙^µx⁰µ⁺h¹⁰x⁰µ ˙_µ+ h¹¹x⁰µ_x0_µ) =

2
( ˙ 2 − x⁰2₎,

(2)

где точка означает дифференцирование по τ , а штрих дифференцирование по σ и

компоненты метрики hαβ имеют вид

(₁0

(3)

hαβ⁼ηαβ⁼

0 −1^,

где ηαβ двумерная метрика пространства Минковского.

В данной работе действие для бозонной струны возьмем в виде

S = −T

∫
dσ dτ

√

−h K(Z, x^µ),

(4)

где K является функцией своих аргументов и зависит не только от Z , но и от координаты

x^µ.

Уравнения движения и условия связи в этом случае запишутся следующим образом

K_ZZ[( ˙ ν_Ёν − x⁰ν_x˙⁰ν ) ˙^µ− ( ˙ ν_x˙⁰ν − x⁰ν_x00ν⁾x⁰µ_{] +}K_Z(Ё^µ− x⁰⁰µ₎− K_xµ = 0,

x˙²+ x⁰2_{= 0},

˙⁰= 0.
3. Вывод уравнения движения
Чтобы получить уравнения движения найдем вариацию действия (4) относительно

координаты x^µ

(5)
(6)

(7)

∫
δS = −T

√

∫

dσ dτ

√

−h [KZ δZ + Kxµδx^µ] =

= −T

dσ dτ

−h[(K_ZZ∂αx^µδx^µ)α^{+ (}K_ZZ∂β x^µδx^µ)β −

(8)

−(K_ZZ[Zα^Z∂αxµ + Zβ^Z∂βxµ ] + K_Z[(Z∂αxµ)α^{+ (}Z∂βxµ)β^]− K_xµ)δx^µ].

Из (8) уравнения движения примут вид

KZZ[ZαZ∂αx^µ+ Zβ^Z∂βx^µ] + KZ[(Z∂αx^µ)α + (Z∂αx^µ)β^]− Kxµ = 0

или

K_ZZ[ ˙ZZ ˙µ + Z⁰Z_x0µ ] + K_Z[(Z ˙µ )τ^{+ (}Z_x0µ)σ^]− K_xµ = 0,

С учетом (2) уравнения движения примут вид

KZZ[( ˙ ν_Ёν − x⁰ν_x˙⁰ν ) ˙^µ− ( ˙ ν_x˙⁰ν − x⁰ν_x00ν⁾x⁰µ_{] +}KZ(Ё^µ− x⁰⁰µ₎− Kxµ = 0.
92
(9)

(10)

(11)

О.В. Разина, Н.С. Серикбаев

4. Условия связей
Уравнения движения (11) должны быть дополнены условиями связей
Tαβ^{= 0}.

Формула для нахождения тензора энергии-импульса имеет вид

(12)

Tαβ⁼−

1

√

δS
.
(13)

T

−h δhαβ

Найдем вариацию действия (4) относительно hαβ

δS_hαβ⁼−T

∫
dσ dτ [Kδ

√

−h +

√

−hδK ].
(14)

Для оценки вариации действия, полезны следующие формулы

δh = −h hαβ δhαβ

откуда следует, что

√ √

(15)

−h = −¹

и

−h hαβ δhαβ

(16)

δK = K_ZδZ = K_ZZ_hαβ δhαβ_.

Следовательно (14) примет вид

(17)

δS_hαβ⁼−T

∫
dσ dτ

√

−h[−¹hαβ^K+ KZZ_hαβ^]δhαβ_.

(18)

2

Тензор энергии–импульса (13) в нашем случае примет вид

Tαβ = 2KZZhαβ − hαβK = ∂αx^µ∂β xµKZ − hαβ K.

Из (12) и (19) следует

T00 = ∂0 x^µ∂0xµKZ − h00K = 0,

T11 = ∂1 x^µ∂1xµKZ − h11K = 0,

T10 = ∂1 x^µ∂0xµKZ − h10K = 0,

T₀₁= ∂₀x^µ∂₁x_µK_Z− h₀₁K = 0

или учитывая (2)–(3) условия связей (20)–(23) примут вид

T₀₀= ˙x²K_Z− K = 0,

T₁₁= x⁰2_KZ⁺K = 0,

T₀₁= T₁₀= ˙x^µx⁰µ^KZ^{= 0}.

Из (24)–(25) получим

T00 + T11 = ( ˙²+ x⁰2₎KZ = 0.

Из (26) и (27) следуют условия связи

x˙²+ x⁰2_{= 0},

˙⁰= 0.

(19)

(20)
(21)

(22)

(23)

(24)
(25)

(26)

(27)

(28)
(29)

Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6

5. Эквивалентная форма действия с координатной зависимостью
Для релятивистской бозонной струны Намбу и Гото предложили действие, которое

пропорционально площади мировой поверхности в пространстве–времени, заметаемой

струной в процессе ее движения [4]

S = −T
∫

dτ dσ
√

−g,
(30)

где g – детерминант матрицы gik , который отрицателен, так как gik имеет сигнатуру (+, –).

Квадрат интервала между двумя близкими событиями, различающимися координатами dxⁱ,

в евклидовом пространстве задается формулой [5]

ds²= ˙x²dτ²+ 2x⁰˙

+ x⁰2dσ²= g₀₀dτ²+ 2g₀₁dτ dσ + g₁₁dσ²,
(31)

где g00 = ˙x², g01 = ˙xx⁰, g11 = x⁰2 . Из (31) следует

g =^x˙

2
˙⁰
= ˙_x2_x02 − ( ˙xx⁰)².
(32)

˙⁰x⁰2

Действие Намбу-Гото, описывающее струну

∫

S = −T dτ dσⲚ( ˙xx⁰)²− x˙²x⁰2_.

(33)

В статье [3] мы рассмотрели действие Намбу–Гото, где лагранжиан имел вид L = −T K(Z ) и

K зависело только от Z. В данной статье возьмем действие в виде
∫

S = −T dτ dσK(Z, x^µ), (34)

где K является функцией своих аргументов и зависит не только от Z , но и от координаты

x^µ. Здесь

Z =

√

−g =
q

g	2 01−g00g11=Ⲛ( ˙xx0)2−x˙2x02.

(35)

Уравнения движения в этом случае запишутся следующим образом
K_ZZ[( ˙ ν_Ёν − x⁰ν_x˙⁰ν ) ˙^µ− ( ˙ ν_x˙⁰ν − x⁰ν_x00ν⁾x⁰µ_{] +}K_Z(Ё^µ− x⁰⁰µ₎− K_xµ = 0,
Чтобы получить уравнения движения для релятивистской струны из вариационного

принципа, будем варьировать действие (34). В результате получим

(36)

δS =
∫

dτ dσ
( ∂L

∂x˙^µ

δ_x˙^µ+
∂L

∂x⁰µ

δx⁰µ₊
∂L

∂x^µ

δxµ_{= 0},

(37)

где L = −T K(Z, x^µ) является лагранжианом. Используем формулу Стокса (или формулу

Грина)

∫

dτ dσ
( ∂Q − ∂P

∂τ ∂σ

=
∫

(P dτ + Qdσ).

(38)

Преобразуем уравнение (37) к следующему виду

δS =
∫ [ ∂L

∂x˙^µ
dσ −
∂L

∂x⁰µ

dτ
]
δx^µ−
∫

dτ dσ
[ ∂⁽∂L

∂τ ∂x˙^µ
94

+
∂ ( ∂L

∂σ ∂x⁰µ
− ∂L

∂x^µ

]
δx^µ= 0. (39)

О.В. Разина, Н.С. Серикбаев

Из (39) получаем уравнения движения

∂⁽∂L

∂τ ∂x˙^µ

+
∂ ( ∂L

∂σ ∂x⁰µ
− ∂L

∂x^µ

= 0

(40)

и граничные условия

∫ [ ∂L

∂x˙µ
dσ −
∂L

∂x⁰µ

dτ
]
δx^µ= 0.
(41)

Запишем уравнения движения (40) подставив туда лагранжиан

∂

∂τ

(K_ZZ ˙^µ) +
∂

∂σ
(K_ZZ_x0µ ) − K_xµ = 0

(42)

или
KZZ[ ˙ZZ˙µ + Z⁰Zx⁰µ] + KZ [(Z ˙µ)τ + (Zx⁰µ)σ] − Kxµ = 0.
На решения системы уравнений (43) обычно накладываются два условия
x˙²+ x⁰2_{= 0}, ˙⁰= 0
или, что эквивалентно,
( ˙ ± x⁰)²= 0.

(43)

(44)

(45)

С геометрической точки зрения условия (44) означают, что на мировой поверхности струны

выбрана изометрическая или конформноплоская система криволинейных координат τ , σ . В

теории релятивистской струны эти условия называют ортонормированной калибровкой.

Запишем уравнения движения (43) подставив туда (35)

KZZ [( ˙ ν_Ёν − x⁰ν_x˙⁰ν ) ˙^µ− ( ˙ν_x˙⁰ν − x⁰ν_x00ν⁾x⁰µ_{] +}KZ(Ёx^µ− x⁰⁰µ₎− Kxµ = 0.

Мы получили систему уравнений, состоящую из уравнения движения (46) и условий

ортонормированной калибровки (44) аналогичную системе (5)–(7)

KZZ [( ˙ ν_Ёν − x⁰ν_x˙⁰ν ) ˙^µ− ( ˙ν_x˙⁰ν − x⁰ν_x00ν⁾x⁰µ_{] +}KZ(Ёx^µ− x⁰⁰µ₎− Kxµ = 0.

x˙²+ x⁰2_{= 0},

˙⁰= 0.
6. Заключение
(46)
(47)
(48)
(49)

В данной статье мы рассмотрели обобщенную модель бозонной струны с потенциалом и

эквивалентную форму действия с явной координатной зависимостью, где L = −T K(Z, x^µ)

является лагранжианом, а K является функцией своих аргументов и зависит не только от

Z , но и от координаты x^µ. Получили уравнения движения струны и условия связей для

рассматриваемых действий. В обоих случаях получили аналогичные результаты, что

подтверждает правильность полученных уравнений движения струны. При сравнении

результатов полученных в данной статье и в статье [3] можно сделать выводы о том, что при

добавлении в функцию K зависимости от координаты x^µ в уравнениях движения струны

появляется дополнительный член, а уравнения связей остаются без изменений.

ЛИТЕРАТУРA
95

Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6

1. Каку М. Введение в теорию суперструн. М.:Мир. – 1999. – 623 с.

2. Бринк Л., Энно М. Принцип теории струн. М.:Мир. – 1991. – 296 с.

3. Разина О.В., Ержанов К.К. Модели бозонных струн с неканоническим кинетическим

членом // Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева. – Серия естественно-технических наук. – 2011.

(принята в печать)

4. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. Модель релятивистской струны в физике адронов. М.:

ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ. – 1987. – 176 с.

5. Разина О.В. Уравнения движения точечной частицы и релятивистской струны //

Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева. – Серия естественно-технических наук. – 2010. – №6(79). –

c. 255-258.

Разина О.В., Серикбаев Н.С.

Razina O.V., Serikbayev N.S.

A modiﬁed model of the bosonic string with an explicit coordinate dependence

In this paper we consider a generalized model of the bosonic string with the potential and equivalent form of the action with

the explicit coordinate dependence, where L = −T K(Z, x^µ) is Lagrangian and K is a function of its arguments and depends

not only on Z , but also on the coordinate x^µ. Get Equations of motion of the string and conditions ties for consideration of

action.
Поступила в редакцию 12.10.2011

Рекомендована к печати 18.10.2011

И.Р. Урусова

Расчет короткой электрической дуги во внешнем аксиальном магнитном поле

(Институт физико-технических проблем и материаловедения НАН КР, г. Бишкек, Кыргызстан)
Приведена нестационарная трехмерная математическая модель электрической дуги и результаты расчетов короткой

электрической дуги во внешнем аксиальном магнитном поле. Численно реализована конусная форма электрической

дуги, проведено сравнение с результатами эксперимента. Показано, что удовлетворительное согласие результатов

расчета с экспериментальными данными свидетельствует в целом о корректности математической модели и

вычислительного алгоритма.
Введение
Во многих электродуговых установках имеют место быстропротекающие процессы, не

обладающие осевой симметрией, например, процессы в дуговом разряде во внешнем

магнитном поле [1-3]. В этой связи развитие нестационарной трехмерной математической

модели электрической дуги является актуальной задачей.

В работе [4] приведена нестационарная трехмерная математическая модель электрической

дуги и метод численного решения уравнений.

В настоящей работе представлены результаты тестирования модели на примере короткой

электрической дуги, горящей во внешнем аксиальном магнитном поле (ВАМП).

Постановка задачи
В работе [5] приведены результаты экспериментальных исследований электрической дуги

конусной формы во внешнем аксиальном магнитном поле (ВАМП). Дуга горит в аргоне

атмосферного давления, диапазон исследуемых токов составлял I = 20 − 300A ,

напряженность внешнего аксиального магнитного поля H_xExt достигала 40kA/m ,

межэлектродное расстояние дуги L = 2 − 6mm . Эксперименты показали, что при увеличении

ВАМП выше некоторого предела, происходит качественное изменение пространственной

формы дуги - возникает конусная дуга, представляющая собой устойчивое формирование

плазмы в виде однородного полого конуса с вершиной в катодном пятне и анодной привязкой

в виде кольца.

Расчет выполнен для внешних параметров дуги в соответствие с данными [5]: сила тока дуги

I = 220A , ВАМП в направлении оси величиной H_xExt = 32kA/m , межэлектродное

расстояние L = 5mm . Принято, что катодом является вольфрамовый стержень радиусом

Rc = 1, 4mm , с углом заточки под конус 90^oи притупленной вершиной, радиус катодной

привязки дуги r_c= 0, 8mm . Анодом является медная пластина толщиной l_a= 2mm .

Размеры расчетной области в направлении оси координат х составляют 10mm , в

направлениях осей y и z равны Y = Z = 24mm ; катод расположен симметрично в центре

расчетной области. Значения временного и сеточного шага приняты равными τ = 10−5_cи

∆ = 0, 2mm соответственно.

Математическая модель
В декартовых координатах x , y , z система нестационарных трехмерных уравнений имеет

следующий вид [1-4]:

уравнение неразрывности газа

∂ρ

+ div(ρU) = 0, (1)

∂t

уравнение неразрывности электронного газа

∂Ne

+ div[Ne(U + Ud + Ut + Ua)] = Re, (2)

∂t
97

Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6

Схема расчетной области дуги; • • • - центральная ось
уравнение баланса энергии электронного газа

∂(2.5kTe + Ui)Ne

∂t
+ div[Ne(U + U_d+ Ut + Ua)(2.5kTe + Ui)] = div(λegradTe) +
уравнение баланса энергии тяжелых частиц:
∂ρT div(λgradT ) + B(Te − T )

− ψ − B(Te − T ),

(3)

∂t

+ div(ρUT ) =

2, 5k/m

,

(4)

уравнения движения газа в направлениях осей x , y , z соответственно:

жүктеу/скачать 4.86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 12 13 14 15 16 17 18 19 ... 26