Н. Ж. Джайчибеков физика-математика Ўылымдарыны докторы, профессор
жүктеу/скачать 4.86 Mb.
|
k −λk 2δky2k(x). u(x, t) = k=0
uk(t) · yk(x), (44)
где uk(t) = (u(x, t), vk(x)). Подставляя (32) в уравнения (1) и начальное условия (2), с учетом равенств (31), для нахождения неизвестных функций получаем следующие задачи: Dα,βu0(t) + λ(2)0u0(t) = 0, lim tδ·u0(t) = ϕ0 (45) t→0 Dα,βu2k−1(t) + λ(2)ku2k−1(t) = 0,tlim→0tδ·u2k−1(t) = ϕ2k−1 λ(2)(1) Dα,βu2k(t) + λ(1)ku2k(t) = −k− λku2k−1 (t), lim tδ·u2k(t) = ϕ2k, (46) (47)
2δk t→0
где ϕk-коэффициенты Фурье разложения функции ϕ(x) в биортогональный ряд по системе {yk(x)} , то есть ϕk= (ϕ(x), yk(x)). Решение задач (33)-(35) существует, единственно и представляются в виде u0(t) = v0 · t−δ, u2k−1(t) = Γ(1 − δ)v2k−1 t−δ·Eα,1−δ(−λ(2)tα), (48)
u2k(t) = Γ(1 − δ)v2k·t−δEα,1−δ(−λ(1)tα)+ k
k λ(2) (1) t
+ k − λ
k ∫ (t − τ)α−1Eα,α(−λ(1)(t − τ)α)u2k−1(τ)dτ (50) 2δk 0 k Как в случаях задач 1 и 2 можно доказать следующее утверждение . Теорема 3. Пусть 0 ≤ β ≤ 1, 0 < α ≤ 1, ϕ(x) ∈ C2[0, 1] и удовлетворяет условиям ϕ0(0) = ϕ0(1) + aϕ(1), ϕ(0) = 0 . Тогда решение задачи 3 существует, единственно и представляется в виде ряда (32), где функции uk(t) определяются равенствами (36)-(38). 13 
Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6 ЛИТЕРАТУРА 1.Самко С.Г., Кильбас А.А., Маричев О.И. Интегралы ипроизводные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника. 1987. - 688с. 2.Hilfer R., Luchko Y.,Tomovski Z. Operational method for the solution of fractional differential equations with generalized Riemann-Liouville fractional derivatives //Fractional Calculus and Applied Analysis.V.12,№3 (2009). P.299-318. 3.Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка.М: Наука, 2005.- 200 с. 4.Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М: Физматлит,2003.- 272с. 5. Kilbas A.A. New trends on fractional integral and differential equation.// Ученые записки Казанского государственного университета. 2005. T.147. №1. C.72-106. 6.Gorenflo R., Luchko Y., Umarov S. On the Cauchy multi-point problems for partial psevdo-differential equations of fractional order. //Fractional Calcules Aplied Anal.2000.v.3. №3.P.249-275. 7.Sandev T., Tomovski Z. General time fractional wave equation for a vibrating string.// J. Phys. A. Math. Theoret. 43 (2010). P.5-52. 8.Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием.//Дифференциальные уравнения.Минск.1977. Т. 13, №2. -С. 294-304. 9.Мокин А.Ю. Об одном семействе начально-краевых задач для уравнения теплопроводности.//Дифференциальные уравнения.Минск-2009. Т.45, №1. -С. 123-137. 10.Садыбеков М.А. Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности с неусиленно регулярными краевыми условиями.//Материалы второго международного Российско-Казахского симпозиума "Уравнение смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики".Нальчик.2011.-С.163-165. 11.Нахушева З.А. Видоизмененная задача Самарского для нелокального диффузионного уравнения. //Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1997. Т. 2, №2. -С. 36-41. 12.Кадиркулов Б.Д., Турметов Б.Х. Об одном обобщении уравнении теплопроводности. // Узбекский математический журнал. Ташкент: "Фан",2006- №3. -С.40-45. 13. Турметов Б.Х., Кадиркулов Б.Д.Об одной нелокальной задаче для дифференциального уравнения дробного порядка.//Труды научно-практической конференции "Перспективы развития авиационной техники и технологий РУз "Ташкент:ТГАИ,2006.-С.74-78 Б.Х. Турметов, К.М. Шиналиев ЖалпыланЎан жылу°ткiзгiштiк тедеуi ішi кейбiр бастап©ы-шеттiк есептердi шешiлiмдiлiгi туралы Жімыста б°лшек реттi дифференциалды© тедеу ішiн кейбiр бастап©ы-шеттiк есептер зерттелiнедi. арастырылатын тедеу белгiлi жылу°ткiзгiштiк тедеуiнi жалпыламасы болады. Фурье әдiсiн ©олданып осы ©арастырылЎан есептердi шешiмi бар және жалЎыз болуы туралы теоремалар дәлелденген. Turmetov B.Kh., Shynaliyev K.M. On the solvability of initial - boundary problems for a generalized heat equation The paper explores some of the initial-value problems for differential equations of fractional order. The equation under consideration generalizes the well-known equation of heat conduction. Using the method of Fourier theorems on the uniqueness and existence of solutions to the problems under study. Поступила в редакцию 16.09.2011 Рекомендована к печати 18.10.2011 14
К.М. Сулейменов К.М. Сулейменов О вложении анизотропного пространства типа Никольского - Бесова Bωp,θ(Rn) в смешанной норме (Университет "Туран - Астана", г. Астана, Казахстан) В работе изучается вложение анизотропного пространства типа Никольского - Бесова Bω n p,θ(R ) в смешанной норме. Найдены необходимые и достаточные условия вложения Bωp,θ(Rn) , причем, необходимость условия доказана при дополнительных ограничениях. Введение
Пусть Rn, как обычно, - n -мерное евклидово пространство точек x = (x1, ..., xn) с действительными координатами. Всюду ниже пространство L∞(Rn) мы будем понимать как пространство C (Rn) - всех ограниченных равномерно непрерывных на Rnфункций. Всюду в тексте принято соглашение: при ρ = ∞ 1
( ∞ ) ρ }∫ t { 1 ∑ t=0
|a|ρ ≡ sup |at| ; t
|f (u)|ρdu u ρ
0 Пусть дан мультииндекс p = (p1, ..., pn) , где 1 ≤ pj < ∞ (j = 1, ..., n) . Через Lp(Rn) = Lp1,...,pn(Rn) обозначают множество всех измеримых функций f (x) = f (x1, ..., xn) , для каждой из которых конечна смешанная норма ∫ " (∫ p2 p1 # pn pn−1 1 pn
kf kp= R1 ...
R1 |f (x1, ..., xn)|p1dx1 dx2... dxn .
При p = (p, ..., p) получаем
1
kf kp≡ kf kp= }∫
{ |f (x)|pdx p .
В дальнейшем через C (α, β, ...) = Cα,β,... обозначаются положительные величины,зависящие лишь от входящих параметров и, вообще говоря, разные в различных формулах. Пусть A и B - некоторые числовые функции, причем A неотрицательна. Тогда записи B = Oα,β,...(A) ,
B α,β,... A будут означать |B| ≤! (α, β, ...) A . При неотрицательных A и B запись A означает B A . α,β,... α,β,... α,β,... B
При данном целом k ≥ 1 всякую непрерывную неубывающую на [ 0 , 1 ] функцию ωk (δ) такую, что (С > 0-число) ωk (0) = 0, η−kωk (η) ≤ Cδ−kωk (δ) (0 < δ < η ≤ 1)
Говорят, что функция g (t) почти убывает на [ 0,1 ] , если существует число C ≥ 1 такое, что при всех 0 ≤ t1< t2≤ 1 выполнено неравенство
ω (t) таких, что 15  
Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6 ω (0) = 0, ω (1) = 1, ω (t) t−β почти убывает на [0, 1]. Вектор-функция ω (t) = (ω1(t) , ..., ωn(t)) принадлежит (по определению) классу Ωβ , где β = (β1, ..., βn) , если ωj(t) ∈ Ωβjпри каждом j ∈ {1, 2, ..., n} . Пусть p = (p1, ..., pn) , 1 ≤ pj < ∞, k = (k1, ..., kn) , kj ≥ 1 - целые числа и f ∈ Lp(Rn) . Положим (j = 1, 2, ..., n)
ωkxjj,p (t, f ) = sup h∈R1 |h|≤t
p
(1) где ej- единичный вектор, направленный вдоль оси xjи kj ∆khejjf(x1, ..., xn) = ∑(−1)kj−mCkmjf(x1, ..., xj + mhj, ..., xn) . m=0
Пусть p = (p1, ..., pn) , 1 ≤ pj < ∞, 0 < θ ≤ ∞, k = (k1, ..., kn) , kj ≥ 1 - целые числа, задана вектор - функция w (t) = (ω1 (t) , ..., ωn (t)) такая, что для каждого j ∈ {1, 2, ..., n} ωj(0) = 0, ωj(1) = 1, ωj(t) строго возрастает на [0,1] и пусть f ∈ Lp(Rn) . Следуя М.Л. Гольдману [1], определим анизотропное пространство типа Никольского - Бесова Bpωθ(Rn) в смешанной норме как пространство всех функций f ∈ Lp(Rn) , для каждой из которых конечна величина
kfkB= kfkp+ n ∑ ∫ 1
" ωxkjjp (t, f )#θ dωj (t) θ при 0 < θ < ∞, j=1 0 kf kB= kf kp+ n ∑ j=1 ωj(t) sup
0 ωxkjjp (t, f ) при θ = ∞. ωj (t)
Отметим, что пространство зависит также от k , хотя это не отражено в обозначении. Пусть ω (t) = (ω1 (t) , ..., ωn (t)) , где ωj (0) = 0 , ωj (1) = 1, ωj (t) непрерывны и строго возрастают на [0,1]. При каждом j = 1, 2, ..., n для функции u = ωj(t) рассмотрим, обратные функций и положим n t = Ω−1(u) =Yω−j1(u) . j=1 Функция u = Ω (t) - обратная к функции t = Ω−1(u) =Qnj=1 ωj−1(u) называется средней функцией системы {ωj (t)}nj=1. Это определение для случая ωj (t) ∈ Ω1 введено В.И. Колядой (см., напр., [2]. В случае βj≥ 1 , средняя функция u = Ω (t) изучалась М.Л. Гольдманом [1]. Там же показано, что если ω (t) ∈ Ωβ1,...,βn, то Ωω (t) ∈ Ω(∑nj=1 βj−1)−1 . В.И. Коляда [ 3 ] дал эквивалентное определение среднего модуля непрерывности: Ωω (t) = Ω (t; ω1, ..., ωn) = inf max ωj(tj ) (0 < t ≤ 1) .
  
К.М. Сулейменов Лемма 1 (см., напр., [1]). Если последовательность {ν (l)}∞`=0 такова, что ν (l + 1) ν (0) = 1, ≥ ν > 1, l = 0, 1, ..., ν (l) (2)
то для любых чисел α > 0, q > 0 и последовательности {at}∞t=0, at ≥ 0 верны неравенства ∞ ∑ ν (l)α l=0 ∞ ∑
at
∑ ν (t)αaqt, t=0
∞ ∑ ν (l)−α l=1 l−1
∑ t=0 at !q∞ ∑ ν (t + 1)−αaqt. t=0
Лемма 2. Пусть даны числа a > 1, 0 < θ ≤ ∞ , α > 0, 1 ≤ qj≤ ∞ (j = 1, ..., n) и последовательности {νj (t)}∞t=0(j = 1, ..., n) , каждая из которых удовлетворяет условию (2), т.е. νj(t + 1) νj (0) = 1, νj (t)
≥ νj > 1, j = 1, ..., n, t = 0, 1, .... Положим ν (t) =Qnj=1 νj(t) . Если
1 ( ∞ ) ρ
∑ (a−tν (t)α ρ t=0
= ∞, (3)
где q∗=
и ρ =
( ∞ ?@8 0 < θ ≤ q∗, θq∗ ∗ 1, если qj = ∞ при всехj = 1, ..., n θ−q∗?@8θ > q , 1
то существует последовательность {at}∞t=0, at ≥ 0 такая, что (∑∞t=0aθtθ<∞ и 1 " ∞ ∗ #q∗ ∑ (ata−tν (t)α q t=0
= ∞. Доказательство леммы следует из леммы 2 в работе [1] при ν = q∗. Лемма 3 (см.[1]). Пусть 1 ≤ p < q < r ≤ ∞ и задана последовательность {ν (t)}∞t=0 удовлетворяющая условию (2) и пусть дан ряд вида
∑
ψ (x) = t=0 ψt(x) 2 Lloc1(R1, ∞ ∑ где ψt∈ Lp(R1 ∩Lr (R1. Тогда ( ∞ ∑ h 1 − 1 )
1 q t=0
ψt(x) q t=0 kψtkrν (t) r 17 q + kψtkpν (t) p q .
    
Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6 Лемма 4 (Неравенство разных метрик Никольского в смешанной норме 4, стр.125). Пусть p = (p1, ..., pn) , q = (q1, ..., qn) 1 ≤ pj< qj≤ ∞ и gν1,...,νn(x) - целая функция экспоненциального типа ν1, ..., νnпо переменным x1, ..., xn. Тогда имеет место соотношение n
1
kgν1,...,νn(x)kq Y
pj −qj νj kgν1,...,νn(x)kp.
Лемма 5 (Неравенство Юнга для смешанной нормы [5], стр. 24). Пусть даны p = (p1, ..., pn) , q = (q1, ..., qn) , r = (r1, ..., rn) , rj= 1 −p1j−q1j, 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ , функции f ∈ Lp(Rn) и K ∈ Lr(Rn) , ∫
I (x) = Rn f (y) K (y − x) dy. Тогда kIkq≤ kKkrkf kp. В частности, при p = q kI kp≤ kKk1kf kp. Лемма 6. Пусть p = (p1, ..., pn) , 1 ≤ pj< ∞, j = 1, ..., n и даны последовательности {νj(t)}∞t=0(j = 1, ..., n) , удовлетворяющие условию (2) . Тогда для всякой функции f ∈ Lp(Rn) в представлении ∞ ∑ (Q) : f (x) = t=0 Qt (x) (вLp(Rn)), Qt ∈ mν(t),p (4)
Функции Qtможно выбрать такими, что Q0 = 0, kQ1kp ≤ kf kp, kQtkpEν(t−2)(f )p(t = 4, 5, ...) , где Eν(t−2)(f)p= Eν1(t−2),...,νn(t−2)(f )p- полные наилучшие приближения целыми функциями экспоненциального типа порядка νj(t − 2) по j - ой переменной (j = 1, ..., n) . Доказательство. Пусть f ∈ Lp(Rn) и пусть σν(f, x) сумма Валле-Пуссена порядка ν = (ν1, ..., νn) функции f (x) (см., напр., [6], стр. 295), т.е. 1 ∫ σν (f, x) = Vν (x − u) f (u) du, Vν(x) = n Y 1
∫ 2νj πn sin yjxj Rn где dyj= n Y 1
1 [cos νjxj− cos 2νjxj] , j=1 νj νj xj j=1 νjx2j причем для некоторого M (n) > 0 (зависящего только от n ) и всех νj> 0 (j = 1, ..., n) выполнены неравенства
 
К.М. Сулейменов Так как Vν (f, x) ∈ L1,...,1(Rn) , то в силу неравенства Юнга для смешанной нормы (Лемма 5), имеем
kσν(f, x)kp kVνk1kf kp. Отметим, что для всякого f ∈ Lp(Rn) функция σν (f, x) есть целая функция экспоненциального типа ν . Если fν(x) есть целая функция экспоненциального типа ν , то жүктеу/скачать 4.86 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
