Н. Ж. Джайчибеков физика-математика Ўылымдарыны докторы, профессор

жүктеу/скачать 4.86 Mb.

бет	4/26
Дата	11.07.2016
өлшемі	4.86 Mb.
	#190738

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 26

для всех x ∈ Rⁿимеет место

σν (fν , x) = fν (x) .
Равенство σν⁽fν^{, x}) = fν⁽x) в случае векторного параметра ν = (ν₁, ..., ν_n) легко следует из

случая скалярного параметра, поскольку ядро Валле-Пуссена определяется как произведение

соответствующих одномерных ядер.

В самом деле, имеет место (ограничимся случаем n = 2, ν = (ν₁, ν₂) )

1 ∫

σν (fν₁,ν₂, x1 , x2) = Vν₁(x1 − u1) · Vν₂(x2 − u2) · fν₁,ν₂(u1, u2) du1du2 =

π2

1 ∫

Vν1⁽x₁− u₁) ·

(₁∫

Vν2⁽x₂− u₂) · fν1,ν2⁽u₁, u₂) du₂du₁= fν1,ν2⁽x₁, x₂) .

Пусть f (x) ∈ L^p(Rⁿ) и пусть gν (x, f) = gν (x) есть функция, наилучшим образом

приближающая f в L^p(Rⁿ) целыми функциями экспоненциального типа ν = (ν₁, ..., ν_n) .

Тогда, учитывая тождество σν (gν , x) ≡ gν (x) и линейность оператора свертки σν , получим

kσv (f, x) − f (x)k_p≤ kσv (f − gv , x) + gv (x) − f (x)k_p≤ kσv (f − gv, x)k_p+

+ kg_v(x) − f (x)k_p(kV_vk₁+ 1) kf (x) − g_v(x)k_pE_v(f )_p.

Далее, положим (см. также (1))
Q1 = Q1 (f, x) = σν(0)⁽f, x)
и
Qt = Qt (f, x) = σν(t−1)⁽f, x) − σν(t−2)⁽f, x) ?@8 t = 2, 3, ... .
Отсюда имеем (см. (5))

∑

(5)

f −
t=1

Qt
p

= f − σν(N−1)_pEν(N −1)⁽f)_p→ 0 (N → ∞) ,
что показывает справедливость (4)

Тогда в силу (5)

kQt^kp ≤ σν(t−1)⁽f, x) − f (x)_p+ σν(t−2)⁽f, x) − f (x)k_p

Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6

Eν(t−1)⁽f )_p+ Eν(t−2)⁽f )_pEν(t−2)⁽f)_p.

Включение Qt ∈ mν(t),p следует из теоремы Л.Шварца. Лемма доказана.

Лемма 7. Пусть p = (p₁, ..., p_n) , q = (q₁, ..., q_n) , 1 ≤ p_j< q_j≤ ∞ , заданы

последовательности {νj (t)}∞_t=0^,j = 1, ..., n , каждая с условием (2) и пусть дано разложение

∞

∑

(Q) : f (x) =
t=0

Q_t(x) (вL^p(Rⁿ)), Q_t∈ mν(t),p^.

(6)

q∗₌

Пусть также
}_minqj , если; qj < ∞ при некотором j,

1, qj = ∞ при всех j=1,...,n.

Тогда верно неравенство
∗

1



∞ "

max

(

1 − 1

#^q q∗

kf k_q≤ c (p, q, ν)



∑

ν (t)1≤j≤n

qj_kQ_tk_p



(7)

t=0
где ν (t) =^Qn_j=1 ν_j(t) , t = 0, 1, ... .



В случае p = p1 = ... = pn и q = q1 = ... = qn лемма 7 доказана М.Л. Гольдманом [1].

Доказательство. Достаточно доказать лемму для конечных сумм, а затем осуществить

предельный переход в оценке (7).

Если все qj = ∞ (j = 1, 2, ..., n) , то q∗_{= 1}и неравенство (7) следует из (6) с помощью

неравенства треугольника и неравенства Никольского (лемма 4):

∞
∞
n

1
∞
n
1
∞
1

kf k_q

∑

t=0

kQ_tk_q

∑ Y

t=0 j=1

ν_j(t)^pjkQ_tk_p

∑ Y

t=0 j=1

max

ν_j(t)1≤j≤n pj_kQ_tk_p=

∑

t=0

max

ν (t)1≤j≤n pj_kQ_tk_p.

Пусть qj < ∞ при некотором j ∈ {1, ..., n} .

Сначала докажем лемму при n = 3 . Для определенности предположим, что q∗₌q₂, т.е.

q = (q₁, q₂, q₃) иq₁≥ q₂, q₃≥ q₂,

и потому q = (q1, q∗_{, q}3) .

Тогда имеет место соотношение



∞



max

(₁

q∗_q∗



kf k_q≤ c



∑

t=0

1≤j≤3

ν (t)

pj −_qj

kQt^kp





Действительно, в силу леммы 4 для почти всех (x1, x2 ) ∈ R²получим

kf (·, x₂, x₃)k_q1 ≤ c₁

( ∞

∑
t=0

1 − 1

ν₁(t) p₁q₁kQ_t(·, x₂, x₃)k_p1

)

Положим

1 − 1

ψt (x2)_x3⁼ν1 (t) p1 q1 kQt (·, x2, x3)k_p1^.

К.М. Сулейменов

Применяя лемму 3 для п.в. x3 ∈ R¹, получим (1 ≤ p2 < q2 < r ≤ ∞, ν (t) = ν2 (t))

∞

∑

( ∞

kf (·, ·, x₃)k_q1

q2
t=0

ψ_t(·)_x3

q₂

)

∑ h

1 − 1

1 − 1 i^q2

q₂

t=0

ψ_t(·)_x3 r ν₂(t) r

q2 + ψ_t(·)_x3 p₂ν₂(t) p2

Далее, в силу неравенства Никольского (лемма 4) имеем

ψt (·)_x3 r ν2 (t) p₂−_rψt (·)_x3 p₂,

откуда

( ∞

1

1_iq₂

)
1

q₂

kf (·, ·, x₃)k_q1

q₂

∑ h

ψ_t(·)_x3 p2 ν₂(t) p₂−_q2

t=0

Таким образом,

( ∞

∑ h

1

1

iq2

)

kf (·, ·, x3)k_q1,q2
t=0

ν1 (t) p₁−_q1 ν2 (t) p₂−_q2 kQt (·, ·, x3 )k_p1 ,p2

.

И, наконец, в силу неравенства Минковского при^q3

∗

( ∞

∑ h

1

q2 ≥ 1 , имеем (q2 = q )

)

i^q2^q2



kf k_q1,q₂,q₃

t=0

ν₁(t) p₁−_q1 ν₂(t) p₂−_q2 kQ_t(·, ·, x₃)k_p1,p₂


q3

∗

1

∞

∑ h

1

1

i^q2

q₂

∞ "

max

(

1 − 1

#^q q∗

=





t=0

ν₁(t) p₁−_q1 ν₂(t) p₂−

q₂kQ_t(·, ·, x₃)k_p1 ,p₂

q₂







∑

t=0

ν (t)1≤j≤3

qj_kQ_tk_p



Итак, для случая n = 3 , при q = (q₁, q₂, q₃) , min

j=1,2.3
q_j= q₂лемма доказана.

Доказательство леммы при произвольном n > 3 проводится аналогично случаю n = 3 .

Именно, сгруппируем заданные q₁, ..., q_nследующим образом:

1). Пусть q∗₌q_k, где k ≥ 1 (любое, если таковых больше одного),

2). Представим набор (q1, ..., qn) в виде (q1, ..., qk−1 , q∗_{, q}k+1, ..., qn) , затем повторяем

рассуждения в случае n = 3 .

Лемма доказана.

Лемма 8. Пусть p = (p1 , ..., pn) , 1 ≤ pj < ∞ (j = 1, ..., n) , f ∈ L^p(Rⁿ) . Тогда верны

следующие неравенства( k_j≥ 1 -целые числа (j = 1, ..., n) )

Eν (f )_p≤ c

∑
j=1

ωx^kj^j,p
(

f,
1

νj

, ν = (ν1, ..., νn) , νj ≥ 0, j = 1, ..., n.

(8)

Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6

Доказательство проведем при n = 2 (случай n > 2 рассматривается аналогично).

Доказательство повторяет доказательство неравенства (8) в случае L^pнормы из [4] и

основано на конструкции построения целых функций экспоненциального типа

ν = (ν1, ..., νn) : νj ≥ 0, j = 1, ..., n , осуществляющих наилучшие приближения (с точностью

до постоянного множителя):

Eν₁,ν₂(f )_p≤ kf (x1, x2) − gν₁,ν₂(x1, x2)k_p kf (x1, x2 ) − gν₁,∞ (x1, x2)k_p+

+ kgν₁,∞ (x1, x2) − gν₁,ν₂(x1, x2)k_pω^kx¹1,p

(

ν₁

+ ω_xk₂2,p

(

ν₂

∑

j=1

ωx^kj_j,p

(

ν_j

Лемма доказана.

Лемма 9. Пусть q = (q1, ..., qn) , 1 < qj < ∞, q∗₌min

j=1,...,n

q_jи заданы последовательности

{ν_j(t)}∞_t=0⁽j = 1, ..., n) , каждая вида (2) с ν_j> 2 , неотрицательная последовательность

{γt^}∞_t=0 . Пусть также даны множества

P˜_t=

}

ξ = (ξ1, ..., ξn) ∈ Rⁿ:

2ν_j(t)

νj

{

≤ ξj ≤ νj (t) , j = 1, ..., n
,

функции qt такие, что (F qt) (ξ) ∈ C₀∞_P˜_tи

qt (x) ≥ c1 (n) γt
n

Y
j=1

νj (t) при max

j=1,...,n

|xjνj (t)| ≤ 1,

(₁

(9)

|q_t(x)| ≤ c₂(n, α) γ_t
j=1

|x_j|−α_jν_j(t)¹−α_jдля всехα_j≥ 0и всехx ∈ Rⁿ

:= +∞ . (10)

Тогда для любых целых чисел 0 ≤ τ₁< τ₂≤ ∞ имеет место следующее неравенство

1

τ2

∑
|q_t(x)|²

1

2





τ2

∑



γ_t

1−¹

v_j(t)

q∗_q∗






,
(11)

t=τ₁

t=τ₁

j=1



постоянная в которой не зависит от {γ_t} , τ₁и τ₂.

Доказательство. Построение функций вида q_t(E) = q_t(x₁, ..., x_n) =^Qn_j=1^qt⁽j)₍x_j) со

свойствами (9) и (10) проведено в [7, Лемма1]. Более того, имеет место равенство
n

kq_tk_r= C(n, r)γ_t

Y
j=1

1−¹

ν_j(t)^rj, 1 ≤ r_j≤ ∞,

(12)

которое для изотропных r = (r, ..., r) , 1 ≤ r ≤ ∞ доказано М.Л. Гольдманом [7], а для

анизотропных r = (r1, ..., rn) , 1 ≤ rj ≤ ∞ (j = 1, ..., n) доказывается последовательным

применением изотропного варианта.

В самом деле, в одномерном случае, согласно равенству (20) из [1]

kqt^kLr(−∞,+∞)⁼C (1, r) Їtν (t)¹−

1
1

r , Їt = γ_t.

К.М. Сулейменов

Тогда, для r = (r1, r2) имеем

qt ≡ qt (x1, x2) = qt (x1 ) · qt (x2) ,

(∫ +∞ [∫ +∞ r r

]

r₂

)

1

r₂

kqt^k(r₁,r₂)⁼
−∞
−∞

(1)

t(x1)

(2)

t(x2)

dx1

dx2

(∫ +∞ [∫ +∞

−∞ −∞

q	(1) t(x1)

1
dx1

]

r₂

r1

1

q	(2) t(x2)

2
dx2

)

r₂

2
=

= c1 (r1) Їtν1 (t)¹−

r₁

[∫ +∞

−∞

q

(2)
t(x2)

dx2

]r₂

= c2 (r1, r2 ) γt

Y
j=1

1−¹

νj (t)^rj.

При n=2 равенство (12) доказано. Случай n > 2 доказывается аналогично.

Обозначим (j = 1, ..., n)

K_t(j)₌}_xj ∈ R¹: |x_jν_j(t)| ≤ 1^{=

}

x_j∈ R¹: |x_j| ≤

νj (t)

{

Положим

Γ⁽0^j)₌K₀(j)_,

Γ⁽t^j)₌K_t(j)_\K_t(₊₁j)₍t = 1, 2, ...) .

Тогда, учитывая, что

Γ	(j) t=K(j)t\K(j)t+1=

}

xj ∈ R¹:

νj (t + 1)

< |xj | ≤

νj (t)

{

1

νj (t)
−

νj (t + 1)

=
и (см. (1)),

1 (

1 −

νj (t)

имеем

ν_j(t)

νj (t + 1)

νj (t)
,

(j)

K_t(j)₌

ν_j(t)

где через |E| обозначена длина промежутка E .

Пусть n = 2 и q∗₌q2 . Тогда
23

жүктеу/скачать 4.86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 26