Н. Ж. Джайчибеков физика-математика Ўылымдарыны докторы, профессор
жүктеу/скачать 4.86 Mb.
|
|
Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6 1 J ≡
τ2 ∑
1 !2 = ∫ ∫ τ2 ∑
! q1 2 q2 q1 dx1
q2
t=τ1 τ2 ∑
q τ2 ∑ R1 ∫ R1 τ2 ∑ t=τ1 q 1 q2 q1
q2
b1=τ1 ( Γ1b1t=τ1 [qt(x1, x2)]2) 2 dx1 dx2 .
τ2 τ2 Далее, в силу (9) имеем q1 τ2! q2 q1
q2
J ∑
∑ ∑ t=τ1 [γt· ν1(t) · ν2(t)]2 21 ν1(b1) 1
. (13) b2=τ1 b1=τ1 Отсюда, сначала оставляя в сумме ∑τ2 ∑τ2
b1=τ1 слагаемое b1= b2и, наконец, возвращаясь к t = b1= b2, получим 1 J τ2 ∑
τ2 ∑
1 ν1(b1) q2 q1 1
q2
τ2 ∑ ( b2=τ1 b1=τ1 1
q2 q11
q2 ( τ2
∑ h
1 − 1 iq2 ) 1 q2 b1=τ1 [γb1·ν1(b1) · ν2(b1)]q1 ν1(b1) ν2(b1) =
γt· ν1(t)1−q1 · ν2(t)1 q2 , что доказывает неравенство (11) в случае n = 2 и q2 = q∗. Пусть теперь n = 2 и q1= q∗ . В сумме ∑τt=2τ1из (13) опять же оставляя только слагаемые при t = b1 , получим 1 τ2 ∑ τ2 ∑ h i q1 21 q2 q1 1 q2 J b2=τ1 b1=τ1 (γb1·ν1(b1) · ν2(b1))2 ν1(b1) ν2(b2) 1 =
=
τ2 ∑ τ2 ∑[γb1· ν1 (b1) · ν2 (b1)]q1 1
q1
q2 .
b1=τ1 ν1(b1) ν2(b2) q2
Теперь, оставляя во внешней сумме одно слагаемое при b2 = τ1 , затем воспользовавшись неравенством1 1
τ2 ν2(τ1) ≥ ν2(b1 ) и, наконец, переходя к обозначению t = b1 , получим 1 1 q1τ21 !
q1
J ∑[γb1·ν1 (b1 ) · ν2 (b1)]q1 b1=τ1 q1 ν1 (b1) ν2 (τ1) q2
∑[γt·ν1 (t) · ν2 (t)]q1 t=τ1 q1 ν1 (t) ν2 (t) q2 =
       
τ2 ∑ h К.М. Сулейменов 1
1iq1 ! 1 q1 = t=τ1 γt· ν1(t)1−q1 · ν2(t)1−q2 ,
что доказывает лемму в случае n = 2 и q1 = q∗. Итак, в случае n = 2 лемма доказана. При n ≥ 3 лемма доказывается аналогично. 2. О вложении Bωpθ(Rn) ⊂ Lq(Rn) Имеет место Теорема 2.4. Пусть для каждого j (j = 1, ..., n) даны числа 1 ≤ pj < qj ≤ ∞ (L∞(Rn) ≡ C (Rn)) , 0 < θ ≤ ∞, 0 < βj < kj , строго возрастающие модули гладкости ωj(δ) порядка kjтакие, что ωj(0) = 0, ωj(1) = 1, ωj(t) · t−βjпочти убывает на (0, 1 ] . Пусть Ω (δ) есть средний модуль гладкости системы ω1, ..., ωn: n δ = Ω−1(u) =Yωj−1(u) , j=1 где через g−1 обозначена обратная к g функция. Также последовательно положим q∗= }minqj, если qj< ∞ при некотором j, 1, если qj = ∞ при всех j = 1, ..., n и ( ∞ при 0 < θ ≤ q∗, ρ = θq∗ ∗ θ−q∗ при θ > q . Тогда для того чтобы имело место вложение
достаточно, а в случае, когда1 1 1 1 p1−q1=... =pn −qn и необходимо, чтобы 1 (∫ 1 " − max ( 1 − 1 pj qj
#ρ dt ) ρ A ≡ Ap,q,θ,ω1,...,ωn ≡ 0 Ω (t) t 1≤j≤n t . (14) Доказательство. Достаточность. Сначала докажем неравенство kf kq ∫ 1
ωkp(f, u) ( 1 1
q∗
u + kf kp, (15)
0 max
u1≤j≤n pj −qj n
on где ωkp(f, u) - средний модуль непрерывности системы Итак, пусть f ∈ Lp(Rn) . Положим 25 ωkxjj,p (f, u) j=1 .
   
Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6 1
max a = 2j=1,...,n kj ,
νj(t) := ω−j1 (ω (1) · a−t(j = 1, ..., n; t = 0, 1, 2, ...) , где, здесь и всюду далее, в целях удобства чтения, сокращая записи, связь модулей гладкости и числовых последовательностей с f, kj, k, p, xjи т.п. будем опускать, например, ωkxjj,p (f, u) = ωj(u) , ω−1(δ) =Qnj=1 ωj−1(δ) . Тогда
(1 ωj n νj (t) = ω (1) · a−t, n
1 ω−1 (ω (1) · a−t= Y j=1 ω−j1 (ω (1) · a−t= Y j=1 1 νj(t) = ν (t)
, где ν (t) =Qnj=1 νj(t) . Отсюда
(1 ω ν (t)
= ω (1) · a−t. Таким образом, ωkp(f, 1) a−t=ωxkjj,p ( f,
νj (t) = ωpk ( f, 1 ν (t)
(16) Тогда условия (2) для каждого νj (t) (j = 1, ..., n) будут выполнены с νj = 2 . Согласно лемме 6 для f ∈ Lp(Rn) выберем Qt(x1, ..., xn) = Qt(f ; x1, ..., xn) такими, чтобы было выполнено равенство (4) и неравенства Q0= 0, kQ1kp≤ kfkp, ..., kQtkpEν(t−2)(f )p. Воспользовавшись леммой 8 и равенствами (16), получим kQtkqEν(t−2)(f )p n ∑
ωkxjj,p ( f,
νj (t − 2) (n)
(17)
Применяя неравенства (17) и (16) к оценке (7) из леммы 7, будем иметь
∗
∞ "
max (
#qq∗
kf kq ∑ ν (t)1≤j≤n pj qjkQtkp ∞ "
max ( t=0 11 (
1 1 q∗ q∗
# ( 1 1 ∑ ν (t) 1≤j≤n pj −
qj
f, max 1≤j≤n + ν (1)
pj − qjkfkp . (18)
t=2
ν (t) 26                 
К.М. Сулейменов
#q
q∗ 1
#q
q∗ С другой стороны, ∫ 1
0 ωpk(f,u) (1 1
u
∑∞ t=0 ∫ ν(t) 1 ωpk(f,u) (1 1
u
max
u1≤j≤n pj −qj
1 max
u1≤j≤n pj −qj
∞ " max (
1 (
q∗ q∗ #
∑
ν (t)1≤j≤n pj −
qj ωpk f, ν (t) . (19) Подставляя полученное соотношение в (19), из оценки (18) получим (15). Пусть f ∈ Bpωθ(Rn) . Покажем, что имеет место следующая оценка
q∗ q∗ #θ
θ
(??)J ≡
ωpk(f, u) ( 1
u ∫ 1 "ωkp(f, u) Ω (u) dΩ (u)
Ω (u) . (20) 0 max u1≤j≤n 1 pj −qj
max
kj Определим последовательность {µj (t)}∞t=0 следующим образом (напомним, a = 2j=1,...,n µj (t) ≡ ω−j1 (a−t. Последовательность {µj (t)}∞t=0 убывает к нулю (если ωj (δ) не является строго kj возрастающей, то переходим к эквивалентной ей функции ωj(δ)+δ ) (21) µj (0) = 1, µj ≡ µj(t) 2 .
Действительно, применяя (21), имеем a =
a−t a−t−1
= ωj(µj (t)) ωj(µj(t + 1)) ,
ωj (µj (t + 1)) = 1
kjωj (µj (t)) = 1 откуда (2µj (t) kjωj k ≤≤2j kjωj (µj (t)
≤ ωj
(µj (t) .
max 2j=1,...,n max 2j=1,...,n 2 max
2j=1,...,n 2 2 Стало быть, отсюда, в силу монотонности ω−1 (δ) получаем жүктеу/скачать 4.86 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| |||||||||||||||||