Н. Ж. Джайчибеков физика-математика Ўылымдарыны докторы, профессор
жүктеу/скачать 4.86 Mb.
|
| µj(t + 1) = ωj−1(ωj(µj(t + 1))) ≤ ωj−1 ( ωj j (µj(t) 2 = µj(t) 2 , т.е. соотношения (22) доказаны. Положим (см. также (20))
µ (t) ≡
n Y
µj(t) = n Y
ωj−1 (a−t = Ω−1 (a−t. n
n
µ (t + 1) Y µj(t + 1)Y1 1 µ (t) =
µj (t) ≤
27 2 = 2n <1(t = 0, 1, 2, ...) . (23)
           
Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6 Далее, для интеграла в левой части (??) имеем
ωpk(f, u) q∗ 1 q∗
∞
∫ µ(t)
ωpk(f, u) q∗ 1 q∗
J ≡ 0 max ( 1 − 1 u = ∑ t=0
µ(t+1) max (
u1≤j≤n pj qj
u 1≤j≤n
pj qj
( ∞ ∗ ∫ µ(t) ( 1 1 ∗ ) q∗ ∑ h iq − max pj −qjq −1 t=0
ωpk(f, µ (t)) µ(t+1)
u 1≤j≤n
du .
Теперь, пользуясь соотношением (23), оценим сверху интеграл
∫ µ(t) − max1 1 ∗ = − max 1
1 ∗ µ(t+1) u 1≤j≤n 1 ( 1 pj −qjq −1 − du = 1
pj−qjq − 1 ∗ − 1 ∗ 1≤j≤n max
µ (t)1≤j≤n pj qjq max 1≤j≤n
µ (t + 1) pj qjq (1 1 ∗
= 1 ( 1 − 1 ∗
− (µ(t + 1) µ (t) max
1≤j≤n pj −qjq
1 1 ∗ max pj qjq
max 1≤j≤n
pj−qjqµ (t + 1)1≤j≤n max
1 1 ∗ (1 µ (t + 1) 1≤j≤n pj −qjq .
q∗ Отсюда и из (23) 1 q∗
∞
q∗
q∗
J ≡
ωpk(f, u) ( 1 1
u = ∑ ∫ µ(t)
ωpk(f, u) ( 1 1
u
max u1≤j≤n
pj −qj t=0 µ(t+1) max
u1≤j≤n ∗ pj −qj 1
∞ " ( 1 − 1 #q q∗ ∑ t=0
−max ωkp(f, µ (t)) µ (t + 1) 1≤j≤n θq∗
pj qj . (24) 1). Пусть θ q∗>1 , тогда ρ = θ−q∗ . Применяя к числовому ряду в (24) неравенство Гельдера с показателями r1=qθ∗ и r01=θ−θq∗ , получим
∗
∞ " ( 1 − 1 #q q∗ J ( ∞
∑ t=0
−max ωkp(f, µ (t)) µ (t + 1) 1≤j≤n 1 ) θ ( ∞ " pj qj
#ρ)ρ ∑ h iθ ∑ −max 1 − 1 t=0
atωpk(f, µ (t)) t=0 a−tµ(t + 1) 1≤j≤n pj
, 28
( ∞
∑ h iθ К.М. Сулейменов т.е. 1 ) θ ( ∞ " ∑ −max (
1 #ρ)ρ J t=0 atωpk(f, µ (t)) t=0 a−tµ(t + 1) 1≤j≤n pj
. (25)
2). Пусть θ
( (a1+ ... + ak+ ...)r≤ ∑∞k=1ark, где 0 ≤ r ≤ 1 ) при r =qθ∗ , получим 1 " −max (
1 # ( ∞ ) θ
a−tµ(t + 1) pj −
qj ∑ h
iθ J sup t 1≤j≤n t=0 atωpk(f, µ (t)) . (26)
Теперь отдельно изучим поведение следующей величины из (25) и (26): 1
( ∞ " ∑ −max ( 1 1 #ρ)ρ A˜ = ˜Aθ,q :≡ t=0 a−tµ(t + 1) 1≤j≤n pj −qj . Покажем, что A˜ = ˜Aθ,qA(0 < ρ ≤ +∞) , (27)
p,q где A ≡ Ap,q,θ,ω1,...,ωnопределено в (14). Поэтому, заменяя A˜ в неравенствах (25) и (26) на A , получим 1 ( ∞ ∑ h
iθ ) θ J A t=0 atωpk(f, µ (t)) . (28)
∞ ∑ h iθ ∫ 1 "ωpk(f, u) #θ dΩ (u) t=0
atωpk(f, µ (t)) 0 Ω (u) Ω (u) . (29) Используя определение среднего модуля непрерывности (см. [3]) и соответствующее неравенство для среднего модуля непрерывности, а именно, поскольку Ω−1(ν ) =Qnj=1 ωj−1(ν) и, по определению, ωpk (f,Ω−1(ν) = inf max ωxkjj,p(f, uj) , ωpk (f,Ω−1(ν) u1·...·un=Ω−1(ν) 1≤j≤n то при uj = ω−j1(ν) имеем n ωkxjj,p f, ω−j1(ν) ∑ ωxkjj,p f, ωj−1(ν) . max 1≤j≤n
j=1 Теперь произведя замену переменной u = Ω−1(ν) , получим 29    
Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6 ∫ 1 0 "ωpk(f, u) Ω (u)
#θ dΩ (u) Ω (u) = ∫ 1
"ωkp(f, Ω−1(ν) ν
#θ dν ν n ∑
∫ 1
ωkxjj,p f, ωj−1(ν) ν
θ dν ν
(30) В итоге из оценок (15), (??), (30) и определения нормы Никольского – Бесова, получим искомое неравенство 1 (∫ 1 " ( 1 1 #ρ ) ρ
kf kq 0 − max
Ω (t) t 1≤j≤n pj −qj dt t
т.е. справедливо вложение Bpωθ(Rn) ⊂ Lq(Rn) . Необходимость. Пусть1 1 1 1 p1−q1=... =pn −qn , ω (t) ∈ (Ωβ)и A ≡ Ap,q,θ,ω1,...,ωn=∞ . Тогда найдется функция f (x) такая, что f (x) ∈ B ωn) , но f (x) / Lq(Rn) . pθ(R По данным строго возрастающим модулям непрерывности ωj(δ) порядка kj, таких, что ωj(0) = 0, ωj(1) = 1 , определим последовательности (см.(20)) a−t=ωj νj1(t) и µj (t) = ωj−1 (a−t, max где a = 2j=1,...,n Тогда kj . νj (t) · µj (t) = 1. Таким образом, последовательности µj(t) удовлетворяют соотношению (22), а последовательности νj(t) ≡µj1(t) удовлетворяют условию (2) с νj ≥ 2, j = 1, ..., n :vjv(jt(+1)t)=µ(µt(+1)t) ≥ 2 . При 0 < βj< kjэквивалентное описание пространства Bpωθ(Rn) задается разложениями (4), для которых (доказательство для скалярного p см. [7], а случай векторного p доказывается заменой без каких-либо изменений в тексте доказательства) 1
( ∞ ∑ h
iθ ) θ |f |(Q) ≡ t=0 atkQtkp и < ∞ (31)
kf kB kf k∗B≡ inf |f |(Q). (32)
Q Пусть последовательность γt≥ 0 такова, что 1 ∞ n ( θθ ∑ t aγt Y νj(t) 1−1 pj < ∞. (33)
t=0 j=1
В качестве функций Qt (t = 0, 1, ...) из определения (31) – (32) возьмем функции qt из леммы 9, и положим
К.М. Сулейменов ∞ ∑ (Q) : f (x) = t=0 qt(x) (2 Lp(Rn)) , (34)
Покажем, что для этой функции f выполнено условие (31). По условию (33) и по свойству (12) функции qt(x) , имеем
∞ ∑ h iθ ∞ ∑ t n Y ( 1−1 pj θ
t=0 atkqtkp t=0 aγt j=1 νj(t)
Из (34), учитывая (32) и последнее соотношение, получим 1 ( ∞ ∑ h
iθ ) θ kf kB≤ c |f |(Q) t=0 atkqtkp < ∞. Итак, при выполнении условия (33) ряд в (34) определяет некоторую функцию f из пространства Bpωθ(Rn) . Теперь докажем, что при выполнении A ≡ Ap,q,θ,ω1,...,ωn=∞ иp11−q11= ... =p1n−q1n функция f не принадлежит Lq(Rn) . Сначала рассмотрим случай qj< ∞ хотя бы для одного номера j . Согласно теореме Литтлвуда- Пэли и неравенства (11), имеем
kfkq ∞ ∑
! 1 2 τ2 ∑ γt n Y
1−1 жүктеу/скачать 4.86 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|