Направление работы: «Математика» Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Автор: Межаков Илья

ученик 9 «А» класса

МБОУ гимназии№2

Консультант: Чугунова Наталья Васильевна,

Учитель математики МБОУ гимназии №2

Г.Асино Томская область

2012г.

В данной работе Межаков Илья, ученик 9 класса представил один из методов решения систем линейных уравнений, метод Крамера. Юноша изучил литературу по данной теме, историю возникновения данного способа решения систем линейных уравнений. Он научился самостоятельно составлять и вычислять определители второго и третьего порядка, с их помощью научился решать квадратные системы линейных уравнений 2Х2, 3Х3. Доказал, что применение данного метода увеличивает скорость решения систем линейных уравнений. Кроме того Илья провел три занятия элективного курса по математике в своем 9 А классе МБОУ гимназии №2 города Асино Томской области. Тем самым научил одноклассников решать системы линейных уравнений методом Крамера, хотя его глубокое изучение проходит на 1–х курсах ВУЗов.

1. 
   Введение.
   

1. Применение опыта решения систем линейных уравнений с помощью определителей способствует развитию логической культуры.

2. Во вступительных экзаменах в ведущие ВУЗы страны практически всегда присутствуют системы линейных алгебраических уравнений с несколькими неизвестными и параметром. Метод Крамера может облегчить решение подобных задач.

Целью данной работы является исследование точных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с помощью метода Крамера.

Задачи:

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Научиться решать квадратные системы линейных уравнений методом Крамера.

3. Научиться применять метод Крамера для решения систем линейных уравнений, содержащих параметр.

4. Разработать дидактические материалы в виде памятки – помощника для обучающихся 9 класса по решению систем линейных уравнений методом Крамера.

Объект исследования: Метод Крамера.

Предмет исследования: Квадратные системы линейных уравнений.

Гипотеза: С помощью данного метода увеличивается скорость решения систем линейных уравнений.

2. 
   Историческая справка
   

Габриэль Крамер
Gabriel Cramer
швейцарский математик
Дата рождения:	31 июля 1704(1704-07-31)
Место рождения:	Женева, Швейцария
Дата смерти:	4 января 1752(1752-01-04) (47 лет)
Место смерти:	Баньоль-сюр-Сез, Франция

1727: Крамер воспользовался этим правом и 2 года путешествовал по Европе, заодно перенимая опыт у ведущих математиков — Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и Клеро в Париже и других. По возвращении он вступает с ними в переписку, продолжавшуюся всю его недолгую жизнь.

1728: Крамер находит решение Санкт-Петербургского парадокса, близкое к тому, которое 10 годами спустя публикует Даниил Бернулли.

1729: Крамер возвращается в Женеву и возобновляет преподавательскую работу. Он участвует в конкурсе, объявленном Парижской Академией, задание в котором: есть ли связь между эллипсоидной формой большинства планет и смещением их афелиев? Работа Крамера занимает второе место (первый приз получил Иоганн Бернулли).

В свободное от преподавания время Крамер пишет многочисленные статьи на самые разные темы: геометрия, история математики, философия, приложения теории вероятностей. Крамер также публикует труд по небесной механике (1730) и комментарий к ньютоновской классификации кривых третьего порядка (1746).

Около 1740 года Иоганн Бернулли поручает Крамеру хлопоты по изданию сборника собрания своих трудов. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4 томах, а вскоре (1744) выпускает аналогичный (посмертный) сборник работ Якоба Бернулли и двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Все эти издания имели огромный резонанс в научном мире.

1747: второе путешествие в Париж, знакомство с Даламбером.

1751: Крамер получает серьёзную травму после дорожного инцидента с каретой. Доктор рекомендует ему отдохнуть на французском курорте, но там его состояние ухудшается, и 4 января 1752 года Крамер умирает.

Самая известная из работ Крамера — изданный незадолго до кончины трактат «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке («Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraique», 1750 год). В нём впервые доказывается, что алгебраическая кривая n-го порядка в общем случае полностью определена, если заданы её n(n + 3)/2 точек. Для доказательства Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера. Крамер рассмотрел систему произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей. Решение системы он представил в виде столбца дробей с общим знаменателем — определителем матрицы. Термина «определитель» (детерминант) тогда ещё не существовало (его ввёл Гаусс в 1801 году), но Крамер дал точный алгоритм его вычисления: алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, по одному из каждой строки и каждого столбца. Знак слагаемого в этой сумме, по Крамеру, зависит от числа инверсий соответствующей подстановки индексов: плюс, если чётное. Что касается числителей в столбце решений, то они подсчитываются аналогично: n-й числитель есть определитель матрицы, полученной заменой n-го столбца исходной матрицы на столбец свободных членов. Методы Крамера сразу же получили дальнейшее развитие в трудах Безу, Вандермонда и Кэли, которые и завершили создание основ линейной алгебры. Теория определителей быстро нашла множество приложений в астрономии и механике (вековое уравнение), при решении алгебраических систем, исследовании форм и т.д. Крамер провёл классификацию алгебраических кривых до пятого порядка включительно. Любопытно, что во всём своём содержательном исследовании кривых Крамер нигде не использует математический анализ, хотя он бесспорно владел этими методами.

3. Описание метода

Определителем n-го порядка называется число _n, составленное по определенному правилу и записываемое в виде квадратной таблицы

Определитель вычисляется согласно указанным ниже правилам, по заданным числам (), которые называются элементами определителя (всего их n²). Индекс i указывает номер строки, j – номер столбца квадратной таблицы (1), на пересечении которых находится элемент . Любую строку или столбец этой таблицы будем называть рядом.

Главной диагональю определителя называется совокупность элементов , , …, определителя (1).

Побочной диагональю определителя называется совокупность элементов , , …, определителя (1).

Минором M_ij элемента a_ij называется определитель (n–1)–го порядка _n–1, полученный из определителя n–го порядка _n вычеркиванием i-й строки и j столбца.

Алгебраическое дополнение A_ij элемента a_ij определяется равенством

A_ij = (–1)^i+j  M_ij (2)

Значение определителя _n находится по следующему правилу.

Для n = 2

(3)

Для n = 3 в определителе выбирается разрешающая строка или столбец, относительно которой или которого вычисляются определители 2-го порядка

где

Здесь в качестве разрешающей была выбрана первая строка определителя (4), однако, без ограничения общности, в качестве разрешающей может быть выбрана любая другая строка либо столбец.

В дальнейшем в качестве разрешающей будем рассматривать первую строку определителя.

Величины A₁₁, A₁₂, A₁₃ – алгебраические дополнения, а M₁₁, M₁₂, M₁₃ – миноры, соответствующие элементам a₁₁, a₁₂, a₁₃ определителя ₃. Эти миноры являются определителями второго порядка, получаемыми из определителя ₃ вычеркиванием первой строки и соответствующих столбцов. Например, чтобы найти минор M₁₃, следует в определителе ₃ вычеркнуть первую строку и третий столбец, а из оставшихся элементов составить определитель второго порядка.

Для произвольного n

(8),

где A_1k = (–1)^1+kM_1k, а миноры M_1k, являющиеся определителями (n–1)-го порядка, получаются из _n вычеркиванием первой строки и k-го столбца.

Для вычисления определителя третьего порядка ₃ часто пользуются привилом Сарруса (правило треугольников):

₃ = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₂₁a₃₂a₁₃ – (a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₂a₂₁a₃₃ + a₂₃a₃₂a₁₁) (9)

Схематическая запись этого правила приведена ниже:

Пример 2. Вычислить определить 4-го порядка.

Для системы линейных уравнений с неизвестными

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы и , либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример 1. №6.7(в) ( Алгебра, 9 класс, А.Г. Мордкович)

Решить систему уравнений: 

Решение: ∆= =5•3-15•2= -15

∆_m==1•3-3•2= -3 , ∆_n==5•3-15•1=0

m==, n==0.

Ответ: m=, n=0.

Пример2:

Определители:

4. 
   Заключение
   

В результате работы:

1. Изучена литература по методам решения систем уравнений,

2. Подобраны и решены квадратные системы линейных уравнений методом Крамера.

• 
  История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука. Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)
  
• 
  Л.И. Терехина, И.И.Фикс. Высшая математика. Часть 1 . Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. ТПУ, 2000 г.
  
• 
  Интернет ресурсы: http://www.peoples.ru/
  

1. 
   Исследовательская работа «Решение систем линейных уравнений методом Крамера».
   
2. 
   Автор: Межаков Илья, обучающийся 9 А класса МБОУ гимназии №2 города Асино Томской области. Руководитель: Чугуногва Наталья Васильевна, учитель математики МБОУ гимназии №2 города Асино томской области.