«научное наследие заки ахметова и национальные ценности», в честь 95-летнего юбилея Заки Ахметова

378 
теориясы арқылы қазіргі заманғы математиканың ауқымын түсінуге жақындау өте 
оңай. 
Бөлінгіштік теориясы бойынша міндетті материал көлемінің азаюы сыныптан 
тыс жұмыста мұғалімнің шығармашылығына мүмкіндік береді. Оны вариативті 
сабақтарда бөлінгіштік теориясын терең зерттеу үшін оңтайлы себептерді анықтау 
арқылы жүзеге асыруға болады. 
Бөлінгіштік теориясының пайда болу тарихынан.
Ежелгі Египетте бөлу әрекеті көбейтуге кері әрекет ретінде жасалды, яғни 
бөлгішке көбейтілгенде бөлінетін сан таңдалды. Мысырлықтар мұндай сандарды 
бөлу кезінде нәтиженің бүкіл бөлігін алу үшін екі есе көбейту процесін қолданды. 
Грецияда, Пифагор мектебінде (б.з.д. VI ғ.) сандардың бөліну мәселелері зерттелді, 
сандардың әртүрлі санаттары, соның ішінде жай санаттар қарастырылды. 
Антикалық бөлу процесі біздің жеке разрядты бөлгіштің разрядтарына көбейту 
бөлгіштен алынған көбейтінділерді алып тастап, қалдықтарды жоғары разряд 
бірліктеріне бөлетіндігімен ерекшеленеді. Ежелгі вавилондықтарда бөлу 
техникасын жалпы ереже ретінде ұсынуға болады, b/a бөлу а санының инверсиясы 
және кері мәнді b-ге көбейту арқылы жүзеге асырылды. Евклид ежелгі 
математиктер арасында бөліну теориясына ең үлкен үлес қосты. Ол өзінің 
«бастауларында» (жетінші кітапта) осы теорияның көптеген мәселелерін 
қарастырады. Евклид бөлу ұғымын енгізбей тек еселік туралы айтты. Жай сандар 
теориясының келесі қадамын Эратосфен жасады, ол жай сандарды натурал сандар 
қатарынан бөліп алу әдісін берді (Эратосфен елегі). Кейіннен (XVII ғ.) 
математиктер бөлінгіштік және жай сандар теориясына қызығушылық танытты. 
Көптеген атақты математиктер 19-20 ғасырлардың әртүрлі жылдарында бірнеше 
зерттеулерін осы тақырыпқа арнады. Сандар теориясын, атап айтқанда, бөлінгіштік 
теориясын зерттеу бүгінгі күнге дейін жалғасуда, бірақ олар қазіргі заманғы 
әдістермен, заманауи математикалық аппаратпен зерттелуде. 
Сандардың бөлінгіштігі.
Рационал сан - 
𝑚/𝑛 қарапайым бөлшегімен ұсынылатын сан, мұндағы m 
нумераторы бүтін сан, ал 
𝑁 бөлгіші натурал сан. Кез-келген рационал сан периодты 
шексіз ондық бөлшек түрінде ұсынылады. Рационал сандар жиыны 
𝑄 арқылы 
белгіленеді. 
Егер нақты сан рационал болмаса, онда ол иррационал сан. Иррационал 
сандарды білдіретін ондық бөлшектер шексіз және периодты емес. Иррационал 
сандар жиыны әдетте бас латын
𝐼 әрпімен белгіленеді. 
Нақты сан алгебралық деп аталады, егер ол рационал коэффициентті қандай 
да бір көпмүшенің түбірі болса. Кез-келген алгебралық емес сан трансценденттік 
деп аталады. 
Кейбір қасиеттері: 
- Рационал сандар жиыны барлық жерде сандық осьте тығыз орналасқан: кез-
келген екі түрлі рационал сандардың арасында кем дегенде бір рационал сан 
орналасқан (демек, рационал сандардың шексіз жиыны). Дегенмен, рационал 
сандар жиыны
𝑄 және натурал сандар жиыны 𝑁 эквивалентті болып шығады, яғни 
олардың арасында бір-біріне сәйкестік орнатуға болады (рационал сандар 
жиынының барлық элементтерін қайта нөмірлеуге болады); 

379 
- Рационал сандардың 
𝑄 жиыны қосу, азайту, көбейту және бөлуге қатысты 
тұйық, яғни екі рационал санның қосындысы, айырмашылығы, көбейтіндісі және 
көбейтіндісі де рационал сандар болып табылады; 
- Барлық рационал сандар алгебралық болып табылады (кері мәлімдеме дұрыс 
емес);
- Әрбір нақты трансценденттік сан иррационал; 
- Әрбір иррационал сан алгебралық немесе трансценденттік болып табылады. 
- Иррационал сандар жиыны сан түзуінің барлық жерінде тығыз: кез келген 
екі санның арасында иррационал сан бар, демек, иррационал сандар шексіз жиын. 
- Иррационал сандар жиыны саналмайтын сан жиынын құрайды.
Есептерді шешу кезінде 
𝑎 + 𝑏 иррационал санымен бірге (мұндағы a мен 𝑏 – 
рационал сандар, 
с – натурал санның квадраты емес бүтін сан) онымен «түйіндес» 
𝑎 – 𝑏 санын қарастыру ыңғайлы: оның қосындысы және түпнұсқамен көбейтіндісі 
– рационал сандар. Сонымен, 
𝑎 + 𝑏 және 𝑎 − 𝑏 бүтін коэффициенттері бар квадрат 
теңдеудің түбірлері болып табылады [2]. 
ЕҮОБ және ЕКОЕ
Екі немесе бірнеше натурал сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші - берілген 
сандардың әрқайсысы бөлінетін натурал сандардың ең үлкені. 
a және b сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін белгілеу: 
ЕҮОБ(𝑎, 𝑏). 
Ерекше жағдайда, екі санның ең үлкен бөлгіші 1 болған кезде, бұл сандар 
өзара жай деп аталады. 
Екі немесе бірнеше натурал сандардың ең кіші ортақ еселігі берілген натурал 
сандардың әрқайсысына бөлінетін ең кіші сан.
Екі санның ең кіші ортақ еселігін белгілеу 
ЕКОЕ(𝑎, 𝑏) [2]. 
Бүтін сандар туралы әртүрлі есептерде бөлінгіштікке байланысты негізгі 
ұғымдар мен теоремалар қолданылады. Олардың кейбірін келтірейік. 
Әрбір бүтін а санын қалдықпен натурал санға бөлуге болады, яғни
а = 𝑚𝑞 + 𝑟 түрінде ұсынылуы мүмкін, мұндағы q және r бүтін сандар және 
r (қалдық) 0 – ден кем емес, бірақ q-дан аз. 
Кез-келген 
m қатарынан орналасқан бүтін сандардың ішінде m-ге бөлінетін 
дәл бір сан бар. 
Әр түрлі натурал сандар натурал 
𝑚-ге бөлінгенде 0, 1, 2, . . . , m– 1 
қалдықтарының кез келгенін бере алады Дегенмен, 
n > 1 тағайындалған натурал 
көрсеткіші бар натурал сандардың дәрежелері осы қалдықтардың кез келгенін 
m-ге 
бөлу кезінде міндетті түрде қайтадан берілуі мүмкін емес. Яғни, 3, 4, 5 және 8-ге 
бөлінген кезде бүтін сандардың төртінші дәрежелері тек 0 және 1 қалдықтарын бере 
алады. Квадраттарды, кубтарды, төртінші және бесінші дәрежелерді 3-тен 10-ға 
дейінгі сандарға бөлу кезінде мүмкін болатын қалдықтар кестесін келтіруге болады. 
Егер 
а және 𝑏 екі санды m санына бөлінген кезде бірдей қалдықтар болса, 
онда
а саны 𝑏 санымен m модулі бойынша салыстырымды дейді. Мұны 
a=b(modm)деп жазады.
Егер 
a > b болса, онда а және b ең үлкен ортақ бөлгіші a – b және 𝑏 ең үлкен 
ортақ бөлгішіне тең. 
Егер а және b -натурал сандар және 
а = bq + r (r – қалдық), онда бұл 
сандардың ең үлкен ортақ d бөлгіші b және r ең үлкен ортақ бөлгішке тең; осы 

380 
тұжырымды бірнеше рет қолдана отырып, оны қалдықпен бөлу тізбегіндегі нөлге 
тең емес соңғы қалдық ретінде табуға болады: 
а = bq + r,
b = rq
1
+ r
1
,
r = r
1
q
2
+ r
2
,
r
1
= r
2
q
3
+ r
3
, , . . .,
r
n
= dq
n+2
(Евклид алгоритмі); демек, 
d = ах + by сияқты x және y бүтін сандар бар. 
Атап айтқанда, егер а және b сандары өзара жай болса, яғни 1-ден үлкен ортақ 
бөлгіштер болмаса, онда 
ах + by = 1 болатын бүтін x және y бар. 
Әрбір натурал сан жай сандардың көбейтіндісі ретінде жалғыз түрде 
ұсынылады (арифметиканың негізгі теоремасы). 
Жай сандар саны шексіз; Евклидтің бұл тұжырымының дәлелі бірлікпен 
қосылған бірнеше жай сандардың көбейтіндісі барлық осы жай сандардан өзгеше 
факторларға ие екендігіне негізделген. 
Егер 
b
1
, b
2
, . . . , b
n
, сандары екі-екіден өзара жай болса, онда кез-келген 
r
1
, r
2
, . . . , r
n
(
r
i
b
i
-ден аз) қалдықтары үшін а саны болады, ол 
b
i
--ге бөлінгенде
r
i
қалдығын береді (қытайлық қалдықтар теоремасы) [3]. 
Жай және құрама сандар. 
Жай сан - дәл екі түрлі натурал бөлгіші бар натурал сан: бір және өзі. Бұлардан 
және 1-ден басқа барлық натурал сандар құрама деп аталады. Осылайша, 1-ден 
үлкен барлық натурал сандар жай және құрама болып бөлінеді. Жай сандардың 
қасиеттерін зерттеумен сандар теориясы айналысады. 
Қарапайым сандардың кейбір қасиеттерін келтірейік. 
Арифметиканың негізгі теоремасы. 1-ден үлкен әрбір натурал сан жай 
сандардың көбейтіндісі түрінде, көбейткіштердің ретіне дейін жалғыз тәсілмен 
ұсынылады. 
Жай сандар шексіз көп. 
Натурал сандар қатарында кез-келген ұзындықтағы жай сандардан тұратын 
тізбектерді табуға болады. 
Егер 
𝑝 жай болса және p саны ab көбейтіндісін бөлсе, онда p саны a –ны 
немесе 
𝑏 –ны бөледі. 
Шағын Ферма теоремасы. Егер p жай, a натурал болса, онда 
a
p
– a саны p 
бөлінеді. 
Уилсон теоремасы. Натурал 
p > 1 саны (p – 1)! + 1 саны p-ге бөлінгенде 
ғана жай сан болады.
Бертран постулаты. Егер 
n > 1 натурал болса, онда n < p < 2n
болатындай жай 
p саны табылады. 

381 
Арифметикалық прогрессиядағы жай сандар туралы Дирихле теоремасы. 
a,
a + q, a + 2q, a + 3q, . . ., түріндегі кез-келген арифметикалық прогрессиясы, 
мұндағы 
a, q > 1 - бүтін өзара жай сандар, шексіз көп жай сандарды қамтиды. 
Ферма теоремасы. 
4k + 1 түріндегі әрбір жай сан екі натурал сандардың 
квадратының қосындысы болып табылады. 
3-тен үлкен кез-келген жай сан 
6k + 1 немесе 6k − 1 түрінде ұсынылады, 
мұндағы 
k − қандай да бір натурал сан. 
Жай саннан кейінгі сан квадрат бола алмайды немесе негізі 2-ден үлкен 
болатын жоғары дәреже бола алмайды. 
Жай санның алдындағы сан куб немесе негізі 1-ден жоғары тақ дәреже бола 
алмайды [3]. 

жүктеу/скачать 5.2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: