Не термодинамика

x₁  (x₁  x),

x₂  (x₂  x), ...,

x_л  (x_k - x)

ал осы ауыстырулардың орта мəнi нольге тең болады.

Дəлелдейiк

x₁  (x₁  x)W₁  (x₂  x)W₂  ...  (x_k  x)W_k W_k  x(W₁  W₂  ...W_k )  x  x 1  0

 x₁W₁  x₂ W₂  ...  x_k 

ал үзiлiссiз мəндер үшiн:

 x  (x  x)

f (x)d (x)   x

f (x) d (x)  x  f (x) dx  x  x 1  0

Сондықтан кездейсоқ шамалардың орта мəннiң төңiрегiнде үлестiрiлуiн сипаттау үшiн орташа квадраттық ауытқу деп аталатын ұғым енгiзiледi. Орташа квадрат ауытқу немесе кездейсоқ шаманың дисперсиясы:

k

x²  (x

 x)² W

x²  (x  x)²

f (x) dx,

i 1 ⁱ

жəне

i
түрлендiрулер нəтижесiнде
x²  (x  x)²  x²  (x)2


(19)

Кездейсоқ шаманың дисперсиясынан алынған квадрат түбiр орташа квадраттың ауытқуы деп, ал физикалық шамалар үшiн флуктуация деп аталады

жəне (20)

§4. Кездейсоқ шамалардың үлестiру функциялары.

Статистиканың негiзгi мiндеттерiнiң бiрi кездейсоқ шамалардың үлестiру функцияларын тағайындау болып табылады.

Дискреттi шамалардың бiрқалыпты үлестiруi. Егер дискреттi кездейсоқ шаманың ықтималдығы өзгермесе үлестiрудiң бiрқалыпты болғаны.

W  ¹

N
(21)

Бұл теңдiк нормалау шартымен эквиваленттi. Ойын сүйегiн лақтыру мысалында сүйектiң кезкелген қырының шығу ықтималдығы 1/6 болатын , себебi барлық мүмкiн шығатын мəндер небарлығы 6 (1 ден 6-ға дейiн).

Пуассон үлестiруi. Мəндерi 0 мен  арасында бүтiн сан ретiнде болатын х дискреттi шамалар Пуассон үлестiруiмен сипатталады.

Бұл заңның түрi

W(x) 

^a _e a


x
x
(22)

Мұнда а = ^х осы үлестiрудегi кездейсоқ шамалардың орта мəнi.

Газдың берiлген көлемiндегi молекулалардың үлестiруi, немесе берiлген уақыт интервалында сұйық бөлшектерiнiң бу күйiнде ұшып шығуы Пуассон үлестiруiмен сипатталады.

Үзiлiссiз шаманың бiрқалыпты үлестiруi. Үлестiру функцияларының iшiндегi ең қарапайымы а мен в интервалы аралығында үзiлiссiз кездейсоқ шамалардың бiрқалыпты үлестiруi. Бұл үлестiрудiң түрi графикте көрсетiлген


_{f ( x) } ^const;

a  x  b

_0;

x  a, x  в

бұл функцияны нормалау қажет болады

бұдан тұрақты шаманың мəнiн анықтаймыз.

Нормаланған күйде бiрқалыпты үлестiрудiң түрi мынадай болады



Сурет 1. Бiрқалыпты _{ 1}

үлестіру

f (x)  ^ в  а

егер

а  х  в

^_0

егер

x  а, x  в

Бiрқалыпты үлестiруде кездейсоқ шаманы х жəне х+dx интервалында табу ықтималдығы dx

– тың енiне тəуелдi болады:

dw(x) 

dx

в - а
(24)

Экспоненциалды үлестiру. Жиi кездесетiн үлестiрулердiң бiрi экспоненциалды үлестiру.

Мұндай үлестiру радиоактивтi дырау, молекулалар санының

ƒ(x)

биiктiк бойынша орналасуы сияқты құбылыстарды сипаттағанда пайдаланылады.

Бұл үлестiрудiң түрi 2-шi суретте көрсетiлген, аналитикалық түрде былай жазылады.

f(x) = const e^-x , егер 0 ≤ х < ∞

жалпы түрде бұл функцияда нормаланбаған, оны нормалау

қажет бо_лады: _{в в}

 f (x)dx   f (x)dx  const   dx  const  (в - а)  1

x x+dx x

Сурет 2. Экспоненциалды үлестiру

 a




x

а
const

 f(x)



ендi нормаланған экспоненциалды үлестiру

dx  const  e

0

dx  _

 1,

бұдан const =

_ex

f (x)  <sub>

</sub>0

егер егер

0  x  

   x  0

(25)

1
Ал, кездейсоқ шаманың орта мəнi



x  _

(27)

Сондықтан экспоненциалды үлестiрудi кейде мынадай түрде де жазады:

f (x) 

_{1 } x

_е x

x

(0  x  )

(28)

Гаусс үлестiруi. Ең жиi кездесетiн үлестiру - бұл Гаусс үлестiруi немесе қалыпты үлестiру. Бұл үлестiру қателер теориясында, газдардың молекулалар жылдамдақтарының құраушыларын сипаттағанда, броундық қозғалыста кездеседi.

Гаусс үлестiруiнiң графигi 3-шi суретте көрсетiлген, ал аналитикалық түрi

f (x)  const e^x2

, (- ∞≤х<∞)

Гаусс функциясын нормалау үшiн Пуассон интегралын пайдаланамыз

 

 f (x) dx  const  e

 

x ²

dx  const  1

₀ х

Сурет 3. Гаусс үлестiруi

нормаланған Гаусс функциясы

f (x) 
егер - ∞<х<∞


_х2
_{ e}x ²

(29)

Гаусс функциясындағы

1

орташа квадраттың мəнi

дисперияға сəйкес келедi жəне

2 

• 
  ге тең болады, сонда Гаусс үлестiруi
  
  • 
    _x 2
    

2

x

f (x)  e²
(30)

Кейде Гаусс функциясын тек оң м„ндер үшiн де қарастыратын жағдайлар да кездеседi (0 ≤ Х

< ∞). Бұл жағдайда

f (x)  2

^ _ex ²



(31)

Дельта функция. Теориялық физикада жиi кездесетiн тағы бiр арнайы функция бар. Ол -

дельта функция, белгiленуi δ(х-х₀). Бұл функция х₀ нүктесiнен басқа мəндердiң барлығында да нольге тең болады жəне 1-ге нормаланған. Яғни:





^ δ(х - х₀) dx = 1 (32)



 F(x)  (x - x₀ ) dx  F(x₀ )



δ- функциясының геометриялық түрi анықталған. Ол кез келген, енi шексiз кiшi, биiктiгi шексiз ұзын, ауданы 1-ге тең


х
^х қисықпен сипатталуы мүмкiн. (сурет 4.)

0
Сурет 4. Дельта функция

 f (x) 

1

x

 x^1

– кездейсоқ шамаға керi болады.

Бiрнеше кездейсоқ шамаларға тəуелдi үлестiру функциялары

Бiрнеше кездейсоқ шамаларды қарастырңанда көбiнесе геометриялық көрiнiстi пайдаланады. Бiр кездейсоқ шаманың мəндерiн түзу сызықтың не осьтiң бойынан алып көрсетедi. Ал, шамалар екеу болғанда екi осьтi декарт жүйесi ыңғайлы.

Кездейсоқ шамалар 3-ке тең болғанда бiз үш өлшемдi кеңiстiк аламыз.

Жалпы жағдайда n кездейсоқ шамалар үшiн n - өлшемдi кеңiстiк енгiзуге болады.

Ықтималдықтар үлестiру функцияларымен қатар кеңiстiктiң элементтерiне де тəуелдi болады:

dw(x) 

f (x) dx;

dW (x, y) 

f (x, y)dxdy;...

dW(x, y,..., t) 

f (x, y,...t) dxdy...dt

жəне

Егер кездейсоқ шамаларды былай белгiлесек:

x=x₁, y=x₂, ... , u=x_n
dx  dx₁, dy  dx₂ , ..., du  dx_n

онда n - өлшемдi кеңiстiктiң элементi


1 2 n
dx  dx  dx  ...dx  (dx)ⁿ


Егер кеңiстiк үш өлшемдi болса, координаталар үшiн кеңiстiк элементi

dxdydz = dx₁dx₂dx₃ = ^dr

ал жылдамдықтар үшiн

d_x  d _y  d_z  d

Мысал ретiнде қарапайым бiрқалыпты үлестiру функциясын қарастырайық. ‡з осьтерi бойынша бiрқалыпты үлестiрiлген х жəне у – екi кездейсоқ шамаларды алайық. Сонда
dw( x)  C dx, dw( y)  C dy

Бұл екi кездейсоқ шаманың жазықтықта үлестiрiлуi де бiрқалыпты болады:
dw(x, y)  C² dxdy

(34)

Яғни ықтималдық (dxdy) аудан элементiне ғана тəуелдi .

Ал егер тiк бұрышты декарт координаталар жүйесiнен полярлық координатаға ауыссақ (r,),

онда аудан элементi dxdy-тiң орнына rdrd аламыз. Сонда, бiрқалыпты ықтималдық жағдайында

dw (r,φ) = C²r dφ·dr

егер бiзге r –дiң модулi ғана қажет болса бұрыш бойынша х интегралдау нəтижесiнде

2
r  онда

dW (r) 

 (c²rdr)d  2C ² rdr

0
(35)

Ал, кеңiстiк үш өлшемдi болса, онда декарт координаттар жүйесiнiң орнына сфералық жүйенi алуға болады (r,,):

X = r sin cos Y= r sin  sin Z = r cos 

Ал көлем элементi dxdydz  dv орнына r²sin drdd болады. Ендi ықтималдық

dW (z,,) = const·r² sindrdd

Егер кеңiстiктегi үлестiру  жəне  бұрыштарына тəуелдi болмаса



dW(r)  constr²dr  sind

0

2

 d  const  4r ²dr 0

(36)

Статистикалық физика есептерiнде үлестiру функцияларының түрлерiн анықтау ең маңызды мiндеттерге жатады.

жүктеу/скачать 0.83 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: