Не термодинамика

H (q, p,t)  _ p_i q^&iL(q, q^&,t)

i 1
(3)

Консервативтi жүйелер үшiн
N

^N L

^N T

 ^pi ^q&i ^ _q&

q^&i  _{ q&}

q^&i  2T

i 1

^{i 1} i

^{i 1} i

(4)

мұндағы

T   m q^{& 2} / 2

жүйенiң кинетикалық энергиясы. (4) –шi қатынаста Эйлердiң бiртектi

_i i i

функциялар жайындағы теоремасы пайдаланылған.

Кинетикалық жəне потенциялдық энергиялар арқылы тұйықталған механикалық жүйенiң Гамильтон функциясы мынадай түрде жазылады.

H (q, p)  Т q, p U (q)

(5)

q_i жəне p_i канондық айнымалылар арқылы Лагранж теңдеулерiнiң орнына канондық Гамильтон теңдеулерiн жазуға болады:

p^{& k}


_{ } H

q

q^&k

k
_{ } H

p

(6)

k
Мұнда H = T (p) + U (q) – жалпылама импульстер мен координаталарға тəуелдi Гамильтон функциясы.

Механикадан s еркiндiк дəрежесi бар тұйықталған консервативтi жүйе үшiн р_i, q_i айнымалыларымен сипатталатын, жүйе қозғалғанда өзгерiссiз қалатын, (2s-1) тəуелсiз функциялар болатындығы белгiлi. Бұл функциялар қозғалыс интегралдары деп аталады. Макроскопиялар денелер үшiн осы (2s-1) сансыз көп қозғалыс интегралдары iшiнде физика заңдарын түйiндеуге ең маңыздылары жетеу: энергия, импульс векторының үш құраушысы, импульс моментi векторының үш құраушысы. Бұл интегралдар кеңiстiк пен уақыттың негiзгi қасиеттерiмен тiкелей байланысты. Уақыттың бiртектiлiк қасиетiмен энергия интегралы, ал кеңiстiктiң бiртектiлiгi мен изотроптық қасиетiмен импульс пен импульс моментi векторлары байланысты.

Статистикалық физикада энергия интегралының маңызы үлкен:

H ( p, q)  E  const

(7)

Консервативтi жүйелер үшiн мұндай қозғалыс интегралының болуы классикалық механика курсынан белгiлi Пуассон жақшасынан шығады:

dH ( p, q)

^{S } H

H ^

^{S } H H

H H ^

dt ^{ } q

q^&i  _p

p^{&i }  _^ _q

p ^ p

_q ^  0

^{i 1}  i

i  ^{i 1}  i i

i i 

Канондық теңдеулердiң мысалы ретiнде сызықтық гармоникалық осциляторды қарастыруға болады. Массасы m бөлшек q осiнiң бойымен F=-kq квазисерпiмдi күштiң əсерiнен тербелiсте болсын. Қозғалыс бiр өлшемдi деп алып, еркiндiк дəрежесi бiрге тең осы жүйенiң кинетикалық жəне потенциялық энергияларын жазайық:

&
Т  ¹ mq² ,

2

21. 
     ¹ kq ²
    

n ₂

(8)

жалпылама импульс

Гамильтон функциясы

T

p  _q&  mq^&

(9)

^{H ( p, q)  T  U}n ^{ 1 p 2  1 kq2  E}

(10)

2m 2

Канондық қозғалыс теңдеулерi

H p H

q^&  _p  _m , p^&   _q

 kq

(11)

осы теңдеулерден p немесе q шамаларының бiрiн шығарып тастасақ

q^&  w²q  0 ,

^&p^&  w² p  0 ,

мұндағы

^{w } (12)

Егер алғашқы t=0 уақыт мезетiнде координата болса, (12) -шi теңдеулердiң шешулерi

q  q₀

жəне жалпылама импульс

p  p₀

q  ^p0 mw

sin t  q₀

cos wt, p  mwq₀

sin t  p₀

cos wt

(13)

(13)-шi шешулерге (11)–шi канондық қозғалыс теңдеулерi пайдаланылған.

Газ бөлшектерiнiң қозғалысын сипаттау үшiн (1)-шi теңдеулердi шешу жəне 6N – бастапқы шарттарды анықтау қажет. Бiрақ, бұл iске асуы өте қиын жағдай, себебi теңдеулердiң саны шексiз артып кетедi. Егер 1 см³ ауада 2,69  10¹⁹ санды молекула бар екендiгiн ескерсек, бiзге 10²⁰ – не тең теңдеу шешу қажет болады. Бұл мүмкiн емес жағдай. Екiншi жағынан берiлген уақыт моментiнде молекулалардың жылдамдығы мен координаттарын анықтау мүмкiн емес, демек бастапқы шарттарды да дұрыс жаза алмаймыз.

Мұның барлығы көп бөлшектерден тұратын жүйелердiң қозғалысын механиканың əдiстерiмен шешу мүмкiн еместiгiн көрсетедi, яғни мұнда басқа, жаңа əдiстер енгiзу қажет. Бұл əдiс - статистикалық əдiс.

§2. Жүйенің термодинамикалық тепе-теңдiгi. Макроскопиялық жəне микроскопиялық жүйелер

Осыған дейiн қарастырған əрбiр бөлшектiң қозғалысын сипаттау, яғни микроскопиялық сипаттаудан басқа жүйенi макроскопиялық тұрғыдан да сипаттауға болады. Термодинамикадан көп бөлшектерден тұратын жүйенi макроскопиялық сипаттауға қажет параметрлердiң саны шектеулi екендiгi белгiлi.

Жүйенi параметрлердiң саны шектелген макроскопиялық сипаттау ең алдымен термодинамикалық тепе-теңдiктегi, не соған жақын жүйелер үшiн тиiмдi. Себебi, термодинамикалық теңдiктегi жүйенiң тəртiбi қарапайым жəне макроскопиялық параметрлерi уақытқа тəуелсiз. Мысалы, тепе-теңдiк күйдегi бiр моль газдың көлемi V мен температурасын Т