Не термодинамика

Бұдан жүйенiң фазалық кеңiстiктегi күйi х нүктесiмен емес, үлестiру функциясымен  (x)

16. 
    - шы теңдеу арқылы байланысатын dW (x) ықтималдықпен сипатталатындығын көремiз.
    

§5. Фазалық көлемнiң сақталуы жайындағы Лиувиль теоремасы.

Фазалық кеңiстiктiң кiшi элементiн құрайтын нүктелер жиынын қарастырайық:

6 N

(dx)^6N  П dx  dx , dx ...dx

k 1 ^k

1 2 6 N

(19)

Əрбiр нүктенiң фазалық траекториямен қозғалысы нəтижесiнде фазалық кеңiстiктiң бұл көлемi уақыт бойынша кез келген түрде өзгере алады, бiрақ көлемнiң шамасы тұрақты болып қала бередi. Осы теореманы дəлелдейiк.

Фазалық кеңiстiкте механикалық жүйенi сипаттайтын нүкте өздiгiнен пайда болмайды жəне жоғалмайды да. Егер фазалық кеңiстiктiң нүктелер саны сақталатын болса, оның өзгеруi тек қана осы фазалық көлемге кеңiстiктiң басқа бөлiктерiнен бөлшектердiң енуiне байланысты болады. Бiр таңдап алынған бағытпен көлемге қанша нүкте енуi мүмкiндiгiн қарастырайық. (Сурет 1).

Фазалық кеңiстiктен (dx)^6N фазалық көлем алайық, берiлген х бағытына ортогональ S₁ =1 жəне S₂ =1 аудан беттерiн қарастырайық. Фазалық кеңiстiктiң көлем бiрлiгiндегi нүктелер саны  болсын. Егер бұл нүктелер таңдап алынған бағыт бойынша қозғалса, уақыт бiрлiгi iшiнде S₁ аудан арқылы енетiн, координаталары х_i нүктелер санын анықтауға болады:

Сурет 1. Фазалық кеңістіктегі көлем

 (x, t) x_i S₁

Координатасы x_i + dx_i екiншi бет арқылы шығатын бөлшектер саны:

_{  x&i } ^{( px&}i ⁾  _{ S2}
(20)

_^{ x}i ^_
^{мұнда жақшадағы екiншi мүше –  жəне х&}i ^{шамаларының dx аралығында өзгеруiн көрсетедi.}

Сонда S₁ бетi арқылы енiп, S₂ бетi арқылы шығатын нүктелердiң айырымы

(x^&i )

x_i

уақыт бiрлiгi iшiнде бөлiнген көлемдегi нүктелер санының өзгерiсiн сипаттайды.

(21)

Бiрақ фазалық кеңiстiкте 6N тəуелсiз бағыт бар, олардың əр бiреуiмен де енетiн жəне шығатын нүктелер болады. Сондықтан уақыт бiрлiгi iшiнде фазалық кеңiстiктiң элементiндегi нүктелер өзгеруi:

p ^N ( px )

 _^i  0

t _i1 x_i

Үш өлшемдi кеңiстiк үшiн бұл қарапайым үзiлiссiздiк теңдеуi:
^d  di ( pu)  0

dt

(22)

Яғни, (22)-шi теңдеудi жалпылама координаталардың 6N өлшемдi кеңiстiгi үшiн үзiлiссiздiк теңдеуi ретiнде қарастыруға болады. (22)-шi теңдеудi жалпылама координаталар мен импульстер үшiн жазалық.

 ^{3N }   <sup> N

</sup> q^&i

^{& i }

_t  _^ q^&i _q  ^{& i} _ ^  _  ^ _q  _ ^  0

(23)

^i1  i  ^i1  i i 
(23)-шi өрнектiң алғашқы екi мүшесi  - ның уақыт бойынша толық

дифференциалын, яғни

^d – ны бередi. Сонда (23)-тi мынадай түрде жазамыз:

dt

_ 3N

^ q^&

^{& }

 _  ^i ^^{i }  0

(24)

^t i1

_ q_i

_{i }

Бұл өрнекте тек жалпы кинематикалық қатынастар келтiрiлген. Қарастырылып отырған жүйенiң консервативтi екендiгiн ескерiп, жалпылама координаталар мен импульстердi Гамильтон функциясы арқылы сипаттауға болады:

p^{& i}

_{ } H

q_i

жəне

q^&i

_ H

p_i

(25)

Ендi осы теңдеулердi (24)-шi өрнекке қойсақ:
d _{ 0}

dt

(26)

Яғни, Гамильтон теңдеуiмен сипатталатын ансамбльдер үшiн фазалық траекториялар бойынша қозғалатын фазалық нүктелердiң тығыздығы өзгермейдi, демек фазалық көлем элементiнiң қозғалысы сығылмайтын сұйық қозғалысына ұқсайды (теорема дəлелдендi!).

Фазалық траектория бойының Лиувиль теоремасын анықтайды.

dp _{ 0}

dt

теңдеуi, жүйелер тұйықталған болған жағдайда,

Лиувиль теоремасының салдары кеңiстiкте уақыт бойынша қозғалатын фазалық кеңiстiктiң көлем элементi шама жағынан тұрақты болады, ал мөлшерi өзгере беруi мүмкiн, яғни

0
(dx)^6N

 (dx)^6N

(27)

t
Бұл тұжырым статистикалық механиканың негiзгi қағидаларының бiрi.

Лиувиль теоремасынан үлестiру функциясының жүйе уақыт өзгергенде тұрақты болып қалатын, q_i жəне p_i айнымалыларының комбинациясынан тұратын, параметрлерге тəуелдi болуы керек екендiгi шығады. Мұндай қасиеттерi бар шамалар – механикалық қозғалыс интегралдары. Яғни, үлестiру функциясы осы интегралдарға тəуелдi болуы жəне өзiнiңде қозғалыс интегралы болуы қажет.

§6. Макроскопиялық шамалар - микроскопиялық айнымалылардың фазалық орта

мəндерi
Макроскопиялық күйлерге сəйкес келетiн микрокүйлердiң жиынын нақты жүйелердi сипаттайтын бiртектi шамалар тобы ретiнде қарастыруға болады. Жүйенiң əрбiр макроскопиялық күйiне əр уақытта да микрокүйлердiң көп саны сəйкес келедi. Сондықтан үлестiру функциясына енетiн микрокүйлердi кездейсоқ шама ретiнде қарастыруға болады. Г   ұмтылатын бүкiл фазалық кеңiстiк кездейсоқ микрокүйлердiң толық жиынынан тұрады. Микрокүйлермен сипатталатын үлестiру функциясы жүйенiң кез келген микрокүйiнiң ықтималдығын жəне осы микрокүйлерге тəуелдi жүйенiң кез келген макроскопиялық параметрiнiң орта мəнiн анықтауға мүмкiндiк бередi.

Кез келген F физикалық шама уақытқа тəуелдi 6N м„нi бар микроскопиялық х –

айнымалының функциясы:

F (x,t)  F (q₁ , q₂ ,...q_3N , p₁ ,... p_3N ,t)

(28)

F уақыт бойынша үзiлiссiз өзгередi. Бiрақ тəжiрибелерде айнымалының лездiк мəнi емес, негiзiнен физикалық шаманың уақыт бойынша орта мəнi қарастырылады.

F(x,t) функциясының кез келген параметрлерiнiң уақыт бойынша орта мəнi


₁ 

F ^t 

_ F (x,t) dt

0

(29)

q
Сурет 2. Фазалық кеңістік бөлігінің кескіні

Бұл (29)-шы өрнек F(x,t)- функциясының орта мəнi фазалық кеңiстiктiң енетiн интегралынан ғана алынатындығын көрсетедi, берiлген t уақыт аралығында, жүйенiң траекториялары

Бiрақ (29)-шs теңдеуден уақыт бойынша орта мəндi таба алмаймыз, себебi саны 6N – ге тең микроскопиялық х (t) параметрлер белгiсiз, яғни микрокүйлердiң барлық уақыт бойынша өзгерiстерiн қадағалау мүмкiн емес. Сондықтан статистикалық физикада физикалық параметрлердi фазалық орта мəндер ретiнде қарастыру қабылданған, яғни берiлген уақыт мезетінде уақыт бойынша орта мəн бiр жүйе үшiн емес, бiрнеше жүйелер, барлық фазалық ансамбльдер бойынша алынады.

F  F  _ F (x)(x)dx

r
(30)

Бұл жағдайда фазалық орта мəндер F тəжiрибеден анықталатын уақыт бойынша орта мəн

F^t - ға тең болады.

жүктеу/скачать 0.83 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: