Не термодинамика

F  _ F (x)(x)(dx)^6N

Г ₀

 F (E₀ , a)

(4)

E(x, )
Cурет 1. Микроканондық үлестiру

жəне бұл жағдайда барлық физикалық орта шамалар энергияның орта мəнi мен сыртқы параметрлерге тəуелдi болады деген термодинамикалық шарт орындалады.

1 – шi өрнек адиабаттық жүйелер үшiн микроканондық үлестіру деп аталады.

Микроканондық үлестiрудi Лиувиль теоремасымен салыстыруға болады. Жүйенiң белгiлi бiр бастапқы күйiне фазалық кеңiстiкiң Г – көлемi, ал соңғы күйiне - Г¹ көлем сəйкес келсiн. Лиувиль теоремасы бойынша Г = Г¹, бұл жағдайда микроканондық үлестiру бойынша екi күйдiң (бастапқы жəне соңғы) де ықтималдықтары бiрдей болуы қажет. Яғни, бiз жүйенiң бастапқы күйден соңғы күйге механикалық анықтылықпен (детерминдiкпен) өтуiнiң ықтималдықтары бiрдей деген дұрыс тұжырымға келемiз.

Тарихи тұрғыдан Больцман жəне оның iзбасарлары классикалық статистикада микроканондық үлестiрудiң қабылдануын ол арқылы алынған орта мəндердi уақыт бойынша алынған орта мəндермен салыстыру арқылы түсiндiргiлерi келдi. Осыған байланысты Больцман эргодикалық болжам ұсынды.

Эргодикалық теория бойынша көп санды еркiндiк дəрежесi бар тұйықталған механикалық

жүйенiң қозғалысының күрделiлiгi соншалық,

H=ε+Δε
H=ε

уақыт артқан сайын жүйенiң фазалық траекториясы H(q₁p)=E энергиялық беттiң барлық нүктелерi арқылы өтедi, Больцманның өзi эргодикалық болжамды былай тұжырымдайды: «Жылумен қозғалыстың берекетсiздiгi мен денеге əсер ететiн сыртқы күштердiң тез өзгеруi жылулық қозғалыстағы атомдардың дененiң iшкi энергиясына сəйкес келетiн координаталар мен жылдамдықтардың барлық мүмкiн мəндерiне ие болуының ықтималдығын туғызады». Эргодикалық

Сурет 2.

болжамнан

~

F (q, p)

- яғни, уақыт бойынша алынған

орта мəнге F (q, p) - микроканондық орта шаманың

сəйкес келетiндiгiн көрсетейiк.

grad H n  
(5)

бұдан

n  d  
 _d


(6)

мұндағы
 ^{2S } H ^2
^ H ^2

1

_ 2

grad H

 _^ _q ^

 ^ _p ^ _

^{ i 1}  i 

 i  _

(7)

бұл 2s өлшемдi Г-кеңiстiктегi Гамильтон функциясының градиентi (6)-шы микроканондық үлестiру үшiн беттiк тығыздық:

1

б(q, p) _~

(8)

Г-кеңiстiктегi фазалық траекторияның элементi

dl ^2 S (dq )²  (dp )² 1²

^{ } i i

_i 1
(9)

бұдан канондық қозғалыс теңдеулерiн пайдалансақ:

_{dl }2S

_1^{2 }_^{2S } H ^2

1

^{ H }2 ^ 2

 _ q^&2  p^{& 2} _

 _^

^  <sup>

</sup> _

 grad H

^dt ^{i 1} i i 

i 1_{ p}

q _

_ _<sup> i 

 i </sup> __

(10)

Уақыт бойынша анықталатын орта мəн:

~ ^{1 T} <sub> 

</sub> F (q, p) б(q, p)dl

F  lim _ F q(t), p(t) dt  


T  _{T 0}

dl

grad H

_б(q, p)dl
(11)

Мұнда (10)-шы жəне (8)-шi өрнектер пайдаланылды жəне уақыт бойынша алынған интеграл барлық тұйықталған эргодикалық траекториялар бойынша алынған интегралмен ауыстырылды. F(q,p) жəне б(q,p) функциялары d беттiк элементте тұрақты деп алуға болатындықтан ℓ бойынша интегралдауды  бойынша интегралдауға ауыстырамыз, сонда

~
_{F  } F (q, p) б(q, p)d 

_ б(q, p) d 

(12)

мұнда

m

^F - микроканондық үлестiру бойынша анықталатын орта шама.

Тарихи тұрғыдан алғаш ұсынылған теориялардың бiрi болғандықтан эргодикалық теорияның қателерi де байқалды. Сондықтан П.Эренфест (1912 ж.) жүйенiң фазалық траекториясы үлкен уақыт аралықтарында H(q,p) = Е энергиялық беттiң кез келген нүктесiне шексiз жақындай алады деп тұжырымдалатын квазиэргодикалық жорамал ұсынды. Квазиэргодикалық теория механикалық жүйелердiң көптеген түрiн түсiндiре алды жəне (12)-шi өрнектi қорытып шығарғанмен де бұл теория да кейiн дами алған жоқ.

§2. Канондық үлестiру

Микроканондық үлестiрудi пайдаланып классикалық статистикалық физиканың негiзгi мəселелерiнiң көбiн шешуге болады. Бiрақ бұл үлестiрудi iс жүзiнде нақты жүйелерге қолдану математикалық тұрғыдан көптеген қиындықтар туғызды. Əсiресе жүйедегi бөлшектердiң координаталары мен импульстерiне тəуелдi функциялардың орта мəндерiн есептеуге, фазалық кеңiстiк бойынша интегралдауды H(q,p)=E болатын көп өлшемдi бетте жүргiзу қажет болды.

Ал Гиббс ұсынған канондық үлестiру əдiсiнде мұндай қиындықтар мен кемшiлiктер болған жоқ. Бұл жағдайда жүйенiң энергиясы Е бекiтiлген нақты мəнге ие болмайды, энергияның əртүрлi

мəндерiнiң ықтималдығы ^Е орта шаманың төңiрегiнде жiңiшке жəне үшкiр максимум түрiнде

жинақталады. Егер осы жiңiшке, үшкiр максимумның салыстырмалы енi

 / 

жүйенiң

энергиясының флуктуациясымен шамалас болса, яғни


 /  _~^1/

, мұндағы N- жүйедегi

бөлшектердiң саны, онда Гиббс əдiсiмен алынған нəтижелер ^1/

үлестiру нəтижелерiмен сəйкес келедi.

дəлдiкпен микрокканондық

Термостатқа орналасқан изотермиялық жүйенiң  х үлестiру фукциясын анықтайық. Изотермиялық жүйенi бiр үлкен жүйенiң бөлiгi деп қарастырып, осы бөлiк үшiн үлестiру функциясын қарастырамыз.

Жүйенiң бөлiгiн екi х жəне х қосымша кiшкене жүйелерге - жүйешелерге бөлемiз. Үлестiру функциясы  х бiрiншi жəне екiншi жүйешелер үшiн олардың толық энергиясына тəуелдi болады:

 х   Н х, а

 х   Н х, а

Изотермиялық жүйенiң толық энергиясы жүйешелердiң толық энергиялары мен олардың өзара əсерлесу энергиясының қосындысына тең болады
H (x,a) = Н (x, a) + H (x, a) + U₁₂

Егер жүйешелердiң өздерiн үлкен қылып таңдап алса, олардың өзара əсерлесу энергиясын

U₁₂ – нi ескермеуге болады, сонда
Н  Н + Н
Ендi тəуелсiз жүйешелер үшiн ықтималдықтарды көбейту ережесiн пайдалансақ

немесе
[ℓn Н + Н] dН + dН = [ℓn Н] d Н +[ℓn Н] d Н

соңғы теңдеуде d Н жəне d Н шамаларының нөлге тең екендiгiн ескерсек:

[ℓn Н + Н] = [ℓn Н] = [ℓn Н] = 

мұнда  - тұрақты шама жəне əртүрлi аргументтер бойынша бiр фукциядан алынған туындылар өзара тең болуы үшiн бұл параметр тұрақты болу керек деген шарт пайдаланылған. Соңғы теңдiктi интегралдасақ

бұдан

ℓn Н = Н  
_{ х = е} Н х,а + 

Нормалау шартының физикалық мағынасында  терiс шама болуы қажет.  жəне 

параметрлерiнiң орнына жаңа  жəне  тұрақтыларын енгiзсек:

   ¹ ,

жүктеу/скачать 0.83 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: