§3. Гиббстің канондық үлестiруiнің қасиеттерi

  H ( x,a)


_e 

Г
(dx)^6N  1
15

мұнда интеграл барлық фазалық ансамбльдер бойынша алынады; Н ха - ансамбльдiң бiр жүйесiнiң толық механикалық энергиясы жəне сыртқы параметрлер а_к мен жүйенiң фазалық кеңiстiктегi х координаталарына тəуелдi функция.  - үлестiру модулi деп аталатын тұрақты шама жəне ансамбльдiң барлық жүйелерi үшiн бiрдей; а,  - нормалау шартынан анықталатын тұрақты жəне сыртқы параметрлер а мен модуль  -ға тəуелдi, яғни ансамбльдiң барлық жүйелерi үшiн бiрдей; х - əрбiр жүйенiң 6 N – iшкi параметрлерi, Г – барлық фазалық кеңiстiк, яғни, iшкi параметрлердiң өзгеру облысы.

Канондық үлестiрудiң параметрлерiнiң арасындағы қатынастарды тағайындайық. Ол үшiн

15. 
    – шi өрнектi а_к бойынша дифференциалдайық:
    





e


_ (a,  )  H ( x,a) _{ } (a,  )  H ( x,a) _

a ^{ e}

(dx)<sup>6N

 </sup> a <sup>

 </sup>(dx)^6N 

^{k Г Г k}  


_ 1 

 _Г a_k

  H

_e 

(dx)^6N  ¹


 _Г

H

a_k

  H

_e 

(dx)^6N  0

Бұдан орта шаманың анықтамасы бойынша
^  ^

 _H 

_{  } 

a ^ a ^

^{ k }  ^k _

(16)

Жүйенiң механикалық энергиясынан сыртқы параметр бойынша алынған туынды терiс таңбамен алынған жалпылама күштi бередi:

^ H ^

Демек,



_ a

 _H 



k _

  A_k

^  ^

^ _{  Ak }  

^ a ^ a

 ^k _

 k _

(17)

Сонымен, бiз канондық үлестiрудiң параметрлерiмен сипаттаған жалпылама күштiң орта мəнiн алдық.

Ендi (15)-шi қатынасты  бойынша дифференциалдасақ

_   H
_   H

_ 

 (  H )

  H

Г
 ^e 

(dx)^6N

 _{ } e ^

(dx)^6N

_ ^{ } _e 

_Г 

(dx)^6N  0

Г

 2
 жəне  шамаларының х – ке тəуелсiз екендiгiн ескерсек


 ^ 

 _ 

   H

 _а

(18)

Жүйенiң Н орташа энергиясы iшкi термодинамикалық U энергияға тең екендiгi белгiлi.

Сондықтан

U    

_ _

(19)

^ a
Канондық үлестiру бойынша кез келген орта шама фазалық ансамбль бойынша алынған орта шамаға тең болады.

F  _ F (x, a) e

Г

  H


(dx)^6N

(20)

Интеграл барлық фазалық кеңiстiк бойынша алынады. Мысалы, жүйенiң iшкi энергиясы U жеке жүйелердiң механикалық энергияларының фазалық ансамбльдер бойынша алынған орта мəнiне тең болады:

U  _ H (x, a) e

Г

  H ( x,a)




(dx)^6N  H

(21)

U-функциясы iшкi энергия, ол  жəне а_к параметрлерiне тəуелдi




U ( , a)  H ( , a)
20-шы теңдеу арқылы анықталатын кез келген F (, a) физикалық шама үшiн мынадай қатынас орындалады:

мұнда

 F _ 1

a  ²

 (F  F ) (H  H )

(22)

^F шамасын есептейiк

a

(F  F ) (H  H )  FH  F  H

23

 F _

^ _ F (x, a) e

 H


(dx)^6N

_ F

• 
  F (x, a)
  

¹  ^



^H ^



_

  H


e

(dx)^6N 

 ^
a a _{Г Г } a

 _ a

a _

_ F

a

1 ^ 

• 
  
   ^ a
  
  
  F  F
  



H ^




a ^
(24)

16-шы өрнек бойынша

 

 F


 _a 

 _F 

_ 
 _a 

1 ^  H

^F  F
^  ^ a
H ^



a ^


немесе 23-шi қатынас негiзiнде

_  _  

(25)

 _F 

 _F 
  _  

a a



1

^ H

H ^
 F  F ^  ^

a a

 _  _  

(26)

§4. Канондық үлестiру параметрлерiнiң физикалық мағынасы

Канондық үлестiрудiң модулi  - ның мағынасы Т – абсолют температураны беретiндiгiн көрсетейiк.

Ол үшiн алдымен канондық үлестiрудiң  модулiнiң термодинамикалық температураның екi қасиетiне ие екендiгiн дəлелдейiк:

1 температурасы бiрдей термодинамикалық жүйелер өзара тепе-теңдiкте болады;

2 температураға керi шама жүйенiң Q жылу мөлшерiн өзгертетiн интегралдық көбейткiш болып табылады.

Дəлелдеуi:

4. Үлестiру функциялары мынадай екi изотермиялық жүйемен берiлсiн:

W (x₁ )  e

₁  H₁ ( x₁ , a₁ )

₁

жəне
W (x₂ )  e

₂  H ₂ ( x₂ , a₁ )

 ₂

Егер екi жүйенi байланыстырсақ, олардың əсерлесуi нəтижесiнде энергия алмасулар басталады. Бiрақ Н₁ + Н₂ шамасы тұрақты болады. Екi жүйе бiрiккен жағдайдағы үлестiру функциясы:

 ₁

₂   H₁ ( x₁ ) H ₂ ( x₂ ) 




1 2 1 2
W (x , a )  W (x ) W (x )  e^{ 1}

 ^^  ^

^ 2   ^1 ^ 2 




^ H₁ H ₂ ^

Жүйелер тепе-теңдiкте болғанда

^  ^

 1 2 

шамасы тұрақты болады жəне (Н₁ + Н₂)

қосынды тұрақты болуы үшiн ₁ = ₂ шарты орындалуы қажет. Сонымен, өзара əлсiз əсерлесетiн,

 модульдерi бiрдей, тепе-теңдiк қалыптағы, жылулық контактыдағы жүйелерден құрылған жаңа жүйе де тепе-теңдiк қалыпта болады.

Q ^



d dak

_  

 

Яғни,

 ¹ 

 _ 

көбейткiшi жүйенiң жылу мөлшерiнiң Q өсiмшесiнiң интегралдауыш

 

көбейткiшi болғаны. Демек, канондық үлестiрудiң  модулi абсолют температурамен сəйкес келедi. Бұрынғы лекциялардан  - терiс шама болуы мүмкiн емес екндігі белгілі. Сондықтан  параметрiн абсолют температураның статистикалық аналогы немесе статистикалық температура деп те атайды.

Алға қарай

 =kT

болатындығын көрсетемiз. Мұнда Т – абсолют температура, k – Больцман тұрақтысы.

Статистикалық температура жүйелердiң фазалық кеңiстiкте орналасуын сипаттайды.

Ендi канондық үлестiрудiң келесi параметрi  - дiң физикалық шамасы «еркiн энергия» болатындығын көрсетейiк. Термодинамикадан жалпылама күштiң еркiн энергиядан жалпылама координата бойынша алынған туындысына тең екендiгi белгiлi.

 
U    ^{  }

T

қатынасын  =kT жəне а = V екендiгiн ескерiп мынадай түрде жазамыз.

 _a

 
U    T ^{  }

T

 _V

27

27 - термодинамикадан белгiлi Гиббс-Гельмгольц теңдеуi,  пара-метрi мен еркiн энергияның байланысы мына қатынастан да көрiнедi:

^  ^ ^  ^ 

^{Q  d  }  _  ^{  Td}  _T 

_  _V  _V

термодинамикада бұл өрнек ТdS – ке тең, сонда


 ^ 

 _T 

 ds

 _V

мұның екi жағында Т – ға көбейтсек

• 
  T
  

 ^ 

 _T 
_{ }  ^ 


 
T

 Tds

 _v
27-шi өрнектi пайдалансақ

 _a

  U  TS

немесе

  H  TS

28

бұл еркiн энергияның термодинамикалық потенциалы.

 – параметрiнiң жүйенiң негiзгi термодинамикалық көрсеткiштерiнiң бiрi екендiгiн тағайындағаннан кейiн, осы параметрдiң статистикалық физикадағы маңызын қарастырайық.

Канондық үлестiрудiң нормалау шартынан -дi былай өрнектеуге болады:

мұнда

   ln _e

Г

• 
  H
  

^ (dx)^6N

• 
  H
  

 kT ln z

(29)

z  _e

Г


^kT (dx)^6N
(30)

z - күй интегралы деп аталады жəне статистикалық физикада өте маңызды роль атқарады. Интеграл жүйенiң бүкiл микрокүйлерi бойынша алынатындықтан, күй интегралы жүйенiң iшкi күйiн сипаттайды. Басқа сөзбен айтқанда, Z күй функциясы болып табылады жəне ол а_k,  парамерлерiне тəуелдi.

Күй интегралын пайдаланып кез келген статистикалық жүйенiң еркiн энергиясын, басқа да термодинамикалық параметрлердi есептеп шығаруға болады.

жүктеу/скачать 0.83 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: