Не термодинамика

жүктеу/скачать 0.83 Mb.

бет	34/63
Дата	03.01.2022
өлшемі	0.83 Mb.
	#451384

1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 63

. ахметов статистикалы

7 тарау. Əсерлесетін бөлшектер статистикасы
§2. Идеал газдың термодинамикалық функциялары жəне күй интегралы

Есептер мен жаттығулар

Өте көп бөлшектерден N   тұратын жүйелер үшін Гиббстің Канондық үлестіруі микроканондық үлестіруге ауысатындығын көрсетіңдер.

Шешуі: Микроканондық үлестіруін энергияның аықталмағандығы өте аз шама болады,

^^Е 0 . Кез келген физикалық шаманың орта мəні

Е

F  , a үшін

^^F¹F  F H  H 

^^ ²

өрнегіндегі

F  тің орнына жүйенің H механикалық энергиясын қойсақ

H  H 2  kT ² ^d^H

T

ал гамильтонианды сипатталатын жүйенің энергиясының салыстырмалы флуктуациясы

E ²

_E2

kT ²


,

_E2

E ^kT²^C

_v

^^TE ²

жүйенің Е энергиясы мен С_v жылу сиымдылығы N – бөлшектер санына пропорционал,

сонда

E ²

_E2

_~ 1

N _.
Басқаша айтқанда

N  
жағдайында изормиялық жүйенің

энергиясының флуктуациясы нөлге ұмтылады:

im
lіm ~ l ¹ 0

N  _EN  _N
Бұл нəтиже жүйеде бөлшектер саны өте көп болғанда канондық үлестірудің негізгі қасиеттерінің бірі болып табылады.

0⁰ С температурада ауаның қысымы қандай биіктікте үш есе азаяды.

Жауабы:

H ^kTn3  8,6 км.

l
mg

Қандай биіктікте газдың тығыздығы теңіз деңгейіндегі мəннің 50 % құрайды?

Температура тұрақты жəне 0⁰ С тең. Есеп екі жағдай үшін: а) ауа, б) сутегі шешіңдер.

Жауабы: а/ 5,5 км, б/ 80 км.

Ауаның молекулалық салмағы 29 деп алып, барометрлік өрнек арқылы 1 см³ көлемдегі

молекулалар саны 1,10 жəне 80 км биіктіктегі бөлшектердің  ₀
анықтаңдар. Температура 273⁰ К-ге тең.

толық санына қатынасын

Жауабы: 88 %; 28 % жəне 0,005 %

Табанының ауданы 1 см² , биітіктері 1 000, 10 000 жəне 80 000 бағанадағы ауа молекулаларының толық сандарынсалыстырыңдар.

Шығарылуы: табаны: 1 см², биіктігі Н бағанадағы молекулалар саны

H H _^mgz

kT ^

mgH _


N H   _ zdz ₀ _e

0 0

^kTdz  ₀

mg

^1 e



kT _





ауаның молекулалық салмағын 29 деп алып, биіктіктің мəндерін өрнекке қойсақ

N   2,1110²⁵  35 моль;
N 10  1,52 10²⁵  25,2 моль;

N 80

N   0,99995 ^,

N 1  0,2510²⁵  4,2 моль

Жер бетіндегі ауаның қысымын сипаттайтын биіктігі шексіз ауа бағнасының салмағы 35

моль немесе 3,5  29  1,15 kT  9,8 H

Ауа бағанасын орташа биіктігін есептеңдер.

Жауабы: z  7,85 км

7 тарау. Əсерлесетін бөлшектер статистикасы

§1. Термодинамикалық функцияларды күй интегралы арқылы сипаттау

Өткен тарауда жүйенiң  еркiн энергиясы мен z күй интергалы арасындағы қатынасты тағайындадық.

  T lnZ

(1)

Күй интегралы Z арқылы жүйенiң кез келген термодинамикалық параметрi мен функциясын сипаттауға болады, сондықтан күй интегралы жүйенiң көптеген параметрiн түсiндiре алады.

Микроскопиялық параметрлер арқылы жүйенiң термодинамикалық қатынастарын алу, термодинамикалық функцияларды есептеу статистикалық термодинамиканың негiзгi мазмұны болып табылады.

 еркiн энергия арқылы анықталатын P-қысымды есептейiк:

 
_P__ ^^

V

 _T

(2)

z. өрнектi пайдалансақ:
^ ln z ^

P  T ^^

_V __T
(3)

Бұл жүйе күйiнiң термодинамикалық теңдеуi, себебi (3) теңдеудiң оң жағы V жəне T параметрлерiне тəуелдi. (3)-теңдеудiң екi жағында V-ға көбейтiп күй теңдеуiн мынадай белгiлi түрде де жаза аламыз:

 ln Z
 

PV  T ^__l_nV^

 _T

(4)

Жүйенiң энтропиясы еркiн энергиямен мынадай өрнек арқылы байланысқан:

 
 ^^

^S __T

Мұндағы -дi (1)-өрнекпен алмастырсақ:

  _v

(5)

S   ^lnZ  T ^^lⁿ^Z^

_ __

(6)

Гиббс-Гельмгольц теңдеуiнен U-iшкi энергияны табамыз:

U    T ^^^^

 T lnZ   (lnZ )T  T ^^^l^nZ^

_T___₂ ^^l^nZ

 __T

 _V

 _V

(7)

Iшкi энергия арқылы көлем тұрақты болғандағы жылу сыйымдылықты, С_V

 ^^U


 __T
өрнегiн

пайдаланып есептеуге болады:

^ ^^l^nZ ^^²^l^nZ^^

 _V

C_v _2___T

 ^^T^

 _

T ²

__

^V 

_V ^_

(8)

Ф    рV қатынасын пайдаланып, Ф –термодинамикалық потенциалды z арқылы жазамыз:

_ 
_Ф___^ ^^l^nz

lnV

lnz^

(9)


^^T 

H    T ^^Ф

өрнегiнен жүйенiң Н – энтальпиясын табамыз:

^^p

_ 
_H___^ ^^l^nZ

lnV

 ^^nZ ^

^lnT ^^

_ _T 

^V 

(10)

Сонымен, барлық термодинамикалық функцияларды z-күй интегралы арқылы өрнектедiк.

Бiрақ фазалық кеңiстiкте үлестiру функциясы белгiлi болған жағдайдың өзiнде күй интегралын есептеу оңай емес. Себебi, z өте күрделi өрнек арқылы анықталады:



K
Z     e



H (q₁, q₂,... q₃_N, p₂,..., p₃_Na )


dq₁dq₂..., dq₃_N
dq₁dq₂... dq₃_N

Сондықтан, z-күй интегралын есептеу үшiн көбiнесе жуықтау тəсiлдерi пайдаланылады. Күй интегралы үшiн мультипликативтiк қасиет орындалады:
Z = Z₁ Z₂ … Z_k (11)

§2. Идеал газдың термодинамикалық функциялары жəне күй интегралы

Канондық үлестiрудi пайдаланып, идеал газдың кейбiр термодинамикалық функцияларын есептейiк.

z-күй интегралын есептеуге идеал газ үшiн Гамильтон функциясын бiлу қажет.
^N^P² ^

H   ^^k U_k(x)^

 1_₂_m_

(12)

Жүйенi құрайтын бөлшектер өзара тəуелсiз болғандықтан, күй интегралын мына түрде жаза аламыз:


__ _Pk²_

 _Pk²_

_I_ H



_I_^2m

Uk ^




_I^2m

Uk ( x_k, y_k,z_k) ^

Z₀

N! ^

^(dx)⁶^N 

N! ^^^e


_

 



(dx)⁶^N 

N! ^^e

 

 _

dp dp dp dxdydz^N^~ Z ^N ^I

kx xy kz

^k N!

мұнда z_к – бiр бөлшектiң күй интегралы.

Z_к – шамасын қарастырайық:

 _Px²

___U_

 ₂_m

Z_

 ^^

 e ^



dp__xdp__ydp__zdxdydz

(14)

p_x, p_y, p_z құраушыларының бiрiнен-бiрiнiң тəуелсiздiгiн ескерсек, (14)-тi былай жазуға болады:

Z_

2

P
 _^kx

 e ²^m^dp__x


2

P
__ky

__e2m


dp_xy

 _

 e


2

P
^kz

2m _
 _

 e


U ( x, y, z )


dxdydz

(15)

Бұл соңғы өрнекке Пуассон интегралын
_-p²

 e²^m^dp 



жəне потенциялық энергияның түрiн пайдаланамыз

(16)

сонда

 _^U⁽^x^,^y^.^z⁾

 e ^


dxdydz  1 dxdydz V
(17)

Z_ 

Бұдан барлық жүйенің күй интегралы

2m 3V
(18)

Z   2m 3 N V ^N ¹

⁰ N!

(19)

Күй интегралы арқылы еркiн энергия мынадай түрде жазылады:

   lnz
(20)

бiздiң жағдайымызда (19)-шы өрнектен

3N
lnZ₀  ₂

(ln2  lnm  ln )  NlnV  lnN!
(21)

бұл қатынасты екi жағынан да (-)-ға көбейтiп, мəнi үлкен N-дер үшiн Стирлинг формуласын пайдалансақ, идеал газдың еркiн энергиясы үшiн өрнек:

  N ^³ln(2m )  lnV  lnN ^

_₂_

(22)

(2)-шi теңдеудi пайдаланып (22)-ші қатынастан күй теңдеуiн жазсақ:

P   ^^

V

_  N V
(23)

Бiр моль идеал газ үшiн бұл өрнек Клапейрон- Менделеев теңдеуiмен сəйкес келуi қажет:

_P_NT

V
(24)

Салыстырудан канондық үлестiрудiң модулi мен абсолют температураның арасындағы байланыс шығады:

мұнда   ^R

N₀

  T

 1,38 10^¹⁶ эрг/град – Больцман тұрақтысы.

(25)

(25)-тен бiз статистикалық температураның канондық үлестiрудiң модулiмен анықталатындығын көремiз.

Еркiн энергияның (22)-шi теңдеуiнен идеал газдың энтропиясын аламыз (5- ші теңдеу арқылы):

2

0
S  NlnV  ³NlnT  S
(26)

мұнда тұрақты S₀-ге мынадай мүшелер енедi:






^³N ln (2m) - ³N  NlnN ^

_2 2 _
Ендi iшкi энергия мен бiр атомды идеал газ үшiн жылу сыйымдылық С_V есептеп шығаруға болады:
U    TS  -T ^NlnV  ³N (lnT  ln2m)^

_ ₂_

T ^NlnV  ³NlnT  ³Nln2m  ³N ^ ³NT  const

_^2 2

2 ^_2

(27)

_C_ ^^U

 ³N  ³R

^V^T ^2 2

 _V

(28)

Сонымен, идеал газ үшiн канондық үлестiрудi пайдаланып негiзгi термодинамикалық функциялар мен күй теңдеуiн алдық.

Ендi статистикалық əдiстi нақты газдарға қолданайық. Идеал газға қарағанда нақты газдарда молекулалардың əсерлесуi өзгеше болады. Сондықтан, алдымен нақты газ молекулалары əсерлесуiнiң потенциалын қарастырамыз.