Не термодинамика

тұратын газдың бір молінің жылу сиымдылығын табыңдар.

Шешуі: Бұл жағдайдағы күй интегралы

 _ ^cp

kT ³

Бұдан жылу сиымдылық

z  _ e

0

^kT 4 p²dp  4  2

_c3
C_v  3K

2. 
   Мыстағы грамм-атомының көлемі 7,1 см³, электрондарының орташа жылулық жылдамдығы
   

10⁷ см/с электрондық газдың қысымын анықтаңдар.
Жауабы: Ре=3000 атм.

3. 
   Потенциалық энергиясы U  ax²  вх ⁴ өрнегімен анықталатын, атомдары ангармо-никалық
   

тербелістегі қатты дененің жылу сиымдылығын табыңдар.
Жауабы: С_v
 3R 1


_ 



3в 2а²

RT ^

_

4. 
   Вириал теоремасына сүйеніп потенциалық энергиясы энергиясын есептеңдер.
   

Шешуі: осциллятордың энергиясы

U  ax ⁴

осциллятордың орташа

Вириал теоремасы бойынша

2
H  ^p  ax⁴  U

2m

бұдан

2E  x ^H

x

 4ax⁴  kT

Сонда

ax⁴  ^kT

4
U  ³ kT

4

9 тарау. Флуктуация жəне броундық қозғалыс

§1. Флуктуацияны есептеу əдістері. Флуктуацияның анықтамасы
Егер жүйе тепе-теңдік күйде болса, онда кез келген физикалық шама F(x) тұрақты болмайды, ол өзінің орта шамасының төңірегінде үзіліссіз өзгеріп тұрады. Макроскопиялық қозғалыстардың салдарынын кезкелген нақты жүйелердің бөліктерінде, уақыт аралықтарында макроскопия аралық- метрлер өздігінен өзгеріп жатады.

Жүйенің физикалық шамаларының өздерінің орта мəндерінің төңірегінде кездейсоқ түрде үзіліссіз өзгеруін флуктуация деп атайды (сурет 1).

  
(1)

Кейде флуктуацияның абсолют мəнiнен басқа салыстырмалы флуктуация ұғымы да қолданылады

 

(2)

Көп жағдайда кездейсоқ шама F орта мəнiнiң төңiрегiнде қалыпты (Гаусс) үлестiруi бойынша орналасады

 (F  F ) 

_ ( F  F ) <sup>2

1</sup> _e 2( F  F ) ²

(3)

(F  F )²  F 2  2F F  F ²  F 2


мұнда ^F2 - орташа квадрат, ^{F 2}- орта мəннiң квадраты

(4)

Орташа квадратты, яғни кез келген физикалық шаманың флуктуациясын Гиббстiң канондық үлестiруi арқылы сипаттауға болады
   

(F - F)² 

 (F  F )² w(x)(dx)^6N


(5)

Дербес жағдайда, физикалық шама жүйенiң F(p₁) импульсiне тəуелдi болса, флуктуация


P_i
2




1

1
^{ } (F ( p )  F )^{2 1} e ^2m dp

2
(F ( p₁ )  F ) ^

(6)

мұнда F - не тəжiрибеден белгiлi, немесе

F  ¹

_P 2


i
 ^

F ( p )e ^2mT dp

^ 1 1



(7)

өрнегiнен есептеледi.

§2. Негізгі термодинамикалық шамалардың флуктуациясы. Корреляция.

(5) теңдеудi тiкелей есептеу мүмкiн болмаған жағдайда термодинамикалық шамалардың дисперсиясын есептеудiң басқа жолдары қарастырылады.

Термодинамикалық шаманың (F - F) ² дисперсиясын орта шама F -тiң функциясы ретiнде

Р

V

сипаттайық.

Ол үшін мынадай мысал қарастырайық: N молекуладан тұратын газ V көлемi бар поршенде сыртқы р қысымда болсын, сонда газдың Н(x,p) Гамильтон функциясы

Сурет 3. V көлемдегі газ ⁹⁷

поршенге түсірілген Р қысым.

Канондық үлестiрудiң қасиеттерiн пайдаланайық:


V V (x) 1

^ H

H ^

p ^ p

  _ (V  V )^ _p

_ 

p _

мұндағы Н – тың орнына (8)- қойып,

^{V (x)}  0 екендiгiн ескерсек

p

Мұнда

(V  V )²   ^V

p



^V тəжiрибеден белгiлi, V-жүйенiң макроскопиялық көлемi:

p
(9)

^ V ^ NT

^{ }  

^ p ^ p²

 _T

(10)

сонда меншiктi көлемнiң дисперсиясы

V ²

 (V  V )²

_  ²T ²N



_p2
 _V 2


N

(11)

Көлемнiң салыстырмалы функциясы

_ 1

яғни, бөлшек сандарынан алынған түбiрге керi пропорционал. ^V

p
туындысын жəне көлемнiң

дисперсиясын Ф термодинамикалық потенциал арқылы мына өрнектердi пайдаланып жазамыз:

^ V ^  ^  ^{ } ² <sup>

 </sup>  ^{ }  ^{ }

 _p 

p ^ p ^

 _p² 

 _T

^{ T}  _T

(12)

₂ ^ ² ^

(V  V )  ^{ }

 _p² 

 _T

(13)

   ^ - ны пайдаланып (9) – шы теңдеудi былай жазамыз:

V

(V  V )²  

V

_ ^ 

_ 

 _²_ 

   

_ V _T

 _V ² 

 _T

(14)

(q  q)²

  ^q

a
жəне


q _

a

² _

a²

1

² P

a ²

(15)

(15)- шi қатынас бойынша кезкелген q(x) шаманың флуктуациясын термодинамикалық

потенциал немесе еркiн энергия арқылы сипаттауға болатын, тəжiрибеден анықталатын ^q

a

туындысы негiзiнде есептеуге болады.

Флуктуацияны бағалайтын екiншi мүмкiндiк бар, ол бойынша жүйенiң тепе-теңдiк қалыптан кезкелген ауытқуы оның энергиясының, энтропиясының, басқа да параметрлерiнiң өзгеруiне байланысты.

Канондық үлестiру жағдайында жүйенiң белгiлi бiр Р₁ күйде болу ықтималдығы

W(P )  ^z1

1 _z

мұнда z₁ берiлген топтың күй интегралы, z-жүйенiң барлық күйлерiнiң интегралы.

Жүйенiң барлық күйлерiнiң еркiн энергиясы  мен Р₁ күйдегi еркiн энергия ₁ шамаларын енгiзсек

  ₁ 

 (lnZ₁

• 
  lnZ )  ln ^Z1
  

Z
сонда изотермдiк жүйенiң Р₁ күйде болуының ықтималдығы

W₁  e

_


(16)

Кез келген жүйеде бiр уақытта көптеген физикалық шамалар флуктуацияға ұшырайтын жағдайлар да жиi кездеседi. Бұл жағдайда олардың кез келген екеуi үшiн орташа квадраттық ауытқудан басқа мынадай шаманы есептеуге болады:

(q_i  q_i )(q_  q_ )  q_i q_

Бұл шама корреляция деп аталады жəне кез келген екi кездейсоқ шамалар q₁ мен q₂-нiң арасындағы байланысты сипаттайды.

Екi кездейсоқ шамалар q₁ жəне q₂ тəуелсiз болса, олардың корреляциясы нольге тең болады.

жүктеу/скачать 0.83 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: