Не термодинамика

жүктеу/скачать 0.83 Mb.

бет	52/63
Дата	03.01.2022
өлшемі	0.83 Mb.
	#451384

1 ... 48 49 50 51 52 53 54 55 ... 63

. ахметов статистикалы

11 тарау. Кванттық статистикалық физика
§2. Кванттық жүйелерге статистикалық əдiстердi қолдану ерекшеліктері

Есептер мен жаттығулар:

Жылу сиымдылығы тұрақты үрдістер политропты деп аталады. P жəне V айнымалылары арқылы идеал газдың политроптық теңдеуін жазыңдар.

Нұсқау: Термодинамикалық бірінші бастамасы мен Менделлев - Клапейрон теңдеуін пайдаланыңдар.

Жауабы:

PV ⁿ  const,

_n_C_p C

C_V C

Политроптық үрдістің жұмысын анықтаңдар:

Жауабы:
A  ^m



^RT i 

Жылулық ұлғаюдың изоборалық коэффициенті  _p, изотермиялық коэффициенті _T

жəне

көлем тұрақты болғандағы қысымның өзгеруінің термодинамикалық коэффициентінің арасындағы байланысты тағайындаңдар.
Шешуі: анықтамалары бойынша




 ^^V

_P  __T

; _T

¹ ^^V

 
  ^;

V P

K_V

¹ ^^P

 

P T

  _P

кез келген жылулық үрдісте

 _T

 _V

 
_dV_ ^^V

T

dT  ^^^V^dp

 
P

  _p  _T

изохоралық үрдісте dV

 0, сонда

0 
 ^^V

 __T
^V ^

dt   __p dP

бұдан

 ^^V

T
 

  _p __dP_V

__ ^^P



жəне 

^p ^^^T

  K  P

 ^^V ^dT^^^T^
p T V

 ^V

 _V

_P __T

Кез келген қарапайым жүйе үшін C_V

байланысты анықтаңдар.

жəне C _p

жылу сиымдылықтарының арасындағы

Шешуі: Термодинамиканың бірінші бастамасы бойынша

немесе

Q  du  pdV

 
CdT  ^^^U^

V

_dV_ ^^U

 
T

dT  pdV

 _T  _V

Изохоралық үрдіс үшін

C_VdT_V

 ^^U


 __T

dT_V

 _V

бұдан


 ^^U

^CV __T

Изоборалық үрдісте

CpdT_p
 ^^U


 __V


dV_p

_V


 ^^U

 __T

dT_p

pdV_p

  _p  _V

Сонда

Cp  C
_^ ^^U __p^ ^^V

_V_ __V _ __T

_  _  _p

Механикадан біртекті ортада дыбыстың таралу жылдамдығы

C 

екендігі белгілі. Мұнда  серпімділік модулі,  тығыздық. Идеал газдағы дыбыстың жылдамдығын анықтаңдар. Дыбыс таралатын ортаның сиреуі мен қысылуын адиабаттық үрдіс деп есептеңдер.

11 тарау. Кванттық статистикалық физика

§1. Кванттық жүйелер жəне олардың қасиеттерi
Кванттық механикада микробөлшектердiң (электрондар, фотондар т.б.) қасиеттерi классикалық механикамен салыстырғанда мүлдем өзгеше болады. Микробөлшектердiң кванттық қасиеттерiнен олар түзейтiн микроскопиялық жүйелердiң де қасиеттерi өзгередi.

Кванттық жүйелердiң мысалы ретiнде металдардағы электрондарды, фотондық газды т.б. қарастыруға болады.

Кванттық механика микробөлшектердiң, микрожүйелердiң классикалық физика түсiндiре алмаған қасиеттерiн ғана қарастырады. Мұндай қасиеттерге микрообьектiлердiң бөлшек- толқындық дуализмi, кейбiр физикалық шамалардың дискреттiлiгi, спинi, т.б. жатады.

Кванттық механикада микрообьектiлердiң күйiн бiр мезгiлде координаталар мен импульстердi пайдаланып түсiндiру мүмкiн емес. Бұл қағида анықталмағандық қатынас деп аталады

∆x · ∆p  h немесе ∆E · ∆ t h, h = 6,6 · 10^-34 Дж·с (1)
Бөлшектердің кванттық қасиеті болуынан шығатын тағы бір ерекшелік оларға Гамильтонның канондық теңдеулерін қолдануға болмайды. Классикалық статистикада біз идеал газдармен оған ұқсайтын жүйелерге Гамильтон теңдеуін ешқандай ойланбастан қолдана беретін едік, ал микробөлшектер жүйесін сипаттау үшін бөлшектік – толқындық дуализмді ескеретін жаңа толқындық функция енгізу қажет болады. Микрообьектілердің толқындық қаситіне сүйеніп олардың (q_k... t) толқындық функция арқылы күйін сипаттайтын теңдеу – Шредингердің толқындық теңдеуі.  - функцияның физикалық мағынасы əлі күнге дейін онша нақты емес, бірақ бұл функция арқылы бөлшектің кеңістіктің əртүрлі нүктелерінде болу ықтималдығын, бөлшек қозғалысын сипаттайтын басқа да шамалардың ықтималдығын оңай есептеп шығаруға болады. Егер толқындық функция үшін (q_, _..., t)² барлық кеңістікте нормалау интегралын енгізсек
∫│(q_k, …,t)² dv = 1
онда │(q_k, …,t) ² dv – шамасы бөлшектің dv көлемде q_k нүктесінің төңірегінде болу ықтималдығын сипаттайды. Жалпы (q_k…) – функциясы жорымал (комплекс) функция, ал оның модулінің квадраты │(q_k, …,t) ² – ықтималдық тығыздығын береді жəне ол əр уақытта да оң мəнді болады. Мысалы e₀ - электронның заряды болса, онда e₀│(q_k,…,t) ² – заряд тығыздығының орта мəні. Шредингер теңдеуі арқылы есептелген графикте (сурет 1). сутегі атомындағы электронның ықтималдық тығыздығы берілген.

Суреттен электрон негізгі уақытын ядроның, яғни протонның төңірегінде өткізетіндігін көреміз. Бірақ аз уақытқа электрон ядроға кез келген қашықтыққа жақындай да, алыстай да алады.

Толқындық механикалық көріністің енгізілуі микрообьектілер қозғалысына байланысты көптеген деректерді түсінуге жəне атом теориясын алға қарай дамытуға мүмкіндік жасады.

Сонымен микробөлшектерді ықтималдық тұрғыдан сипаттау микродүние физиканың қазіргі физикадағы орнымен маңыздылығын көрсетеді.

Көптеген тəжірибелік деректерден қазіргі физикада кейбір физикалық шамалардың үзілісті, дискретті мəндерге ие болатындығын бақылауға болады. Мысалы, Бор теориясы бойынша сутегі атомындағы электронның энергиясының мəндері үзілісті
m z²l⁴ z²

E   ⁰ ⁰  R

, n  1,2,3,...

2h²n² n²
Квантталған энергиялық деңгейлердің үлестіруі жəне оларға сəйкес келетін кванттық сандар Шредингер теңдеуін шешу арқылы анықталады. Атом энергияның осы мəніне ие болғанда жүйе орнықты күйде болады.

Энергиямен қатар, импульс моментi, спин, магниттiк момент сияқты шамалар да дискреттi мəндерге ие болады

Импульс моментi:

спин:

_h2

2 _
^M4 ²

l(l  1),

l  0,1, 2,...
(2)

S ² 

_h2

4 ²

s(s  1),

S  0, ¹,

2

1, ³

2

,...
(3)

Сыртқы өрiстiң бағытына проекцияланған магниттiк момент

_z 

eh

4mc ^m^z

 _Á

 m_z
(4)

_б – Бор магнетоны, m_z – магниттiк кванттық сан.

Кванттық механиканың математикалық аппараты ретiнде операторлар алынған.

Бiр кванттық күйде барлық кванттық сандары бiрдей екi электрон бола алмайды. (Паули қағидасы)

Осы қасиеттердiң бəрiн де классикалық механика түсiндiре алмады. Сондықтан кванттық механика iлiмi пайда болды.

§2. Кванттық жүйелерге статистикалық əдiстердi қолдану ерекшеліктері

Квантталған жүйелерге статистикалық əдістің қолдану мақсаты классикалық статистикамен бірдей, яғни бір-бірінен тəуелсіз көп санды жүйелер ансамблінде энергияның үлестіру заңдарын тағайындау. Квантық жүйелер үшін бұл мақсат осыған дейін қарастырылған статистикалық əдіспен шешіледі. Саны өте көп микробөлшектерден тұратын жүйенің микроскопиялық қасиеттерін оны сипаттайтын физикалық параметрлердің орта мəні арқылы анықтайды. Гиббс əдісі де бұл жағдайда да қарастырылатын жүйелерден статистикалық ансамблдер құрап квантталған жүйелердің негізгі термодинамикалық теңдеулерін қорытып шығаруға мүмкіндік береді.

Бірақ микробөлшектердің кванттық қасиеттерін ескерген жағдайда осы ерекшеліктерге байланысты жалпы статистикалықəдіске кейбір өзгертулер де енгізу қажет болады.

Бірінші, негізгі ерекшелік – квантталған жүйелердің күйін анықтау. Энергияға байланысты микробөлшектің күйі жəне басқа да қасиеттері кванттық сандар жүйесімен сипатталады, яғни оларды күй параметрлері ретінде қарастыруға болады. Екінші жағынан микробөлшектің күйін жай механикада белгілі бір дəлдікпен анықталатын жалпылыма координаталар мен импульстер арқылы бағалайды. Сонымен жүйенің күйі мен күйлердің үлестіруін анықтаудың екі мүмкіндігі бар екендігін көреміз. Оның алғашқысы – жалпылама координалар мен импульстер əдісін пайдаланбай, бөлшектердің əртүрлі кванттық күйлер бойынша үлестіруімен шектелу. Бұл жүйенің күйін толық жəне дəл кванттық сипаттау болады. Тек мұнда кей жағдайда кездесетін бір энергиялық деңгейге бірнеше күйлердің сай келуін, яғни кванттық деңгейлердің бөліктену,

«азғындалу» құбылысын ескеру қажет. Ал, екінші, классикалық əдіске жақын (квазиклассикалық) жуықтауда кейбір есептерді шешуге жалпылама координаталар мен импульстерді енгізіп, қарапайым фазалық кеңістік əдісін пайдалануға болады.

Бір қарағанда классикалық жəне кванттық жүйелердің арасындағы алшақтық өте үлкен, оларды сипаттауға ортақ əдісті анықтау мүмкін емес болып көрінеді.

Анықталмағандық қатынастан квантталған жүйелер үшін жалпылама координаталар мен импульстерді бір мезгілде нөлге тең дəлдікпен анықтау мүмкін еместігін, олардың анықталу дəлдіктерінің көбейтіндісінің шамасы Планк тұрақтысы һ-қа тең болатындығы белгілі. Егер біз Планк тұрақтысын һ = 0 деп қабылдасақ онда классикалық жүйелерді, ал һ  0 болса кванттық жүйелерді аламыз. Кейде һ шамасын өте аз, бірақ нөлге тең болмайды деп есептеу қажеттілігі де туатын жағдайлар кездеседі. Ол жоғарыда айтылған квазиклассикалық жуықтау. Бұл жағдайда бір жағынан жүйенің кванттық механикалық қасиеттері ескеріледі, екінші жағынан жүйенің жалпылама координаталары мен импульстер арқылы Гиббстің статистикалық əдісін пайдалануға болады.

Кванттық статистикада фазалық ұяшықтар əдісінің де маңызы зор. Бұл əдіс негізінен əр бір ұяшықтың өлшемдерін анықтау мүмкінділігімен байланысты. Классикалық статистикада Больцман қанша шешуге тырысқанмен элементар фазалық көлемнің, яғни ұяшықтың мөлшерін анықтау мүмкін болмады.

Кванттық статистикада квазиклассикалық жуықтау əдісін пайдаланып фазалық көлем элементінің мөлшерін бағалауға болады. Механикада импульс пен координатаның көбейтіндісі əсер деп аталатын еді. Планктің кванттар теориясында да əсер кванты, яғни кез келген əсер бірнеше еселенген элементар əсерлер шамасымен анықталады деп қабылданған. Бұл қарапайым, элементар əсердің шамасы n-Планк тұрақтысына тең. СИ- жүйесінде n-тың өлшем бірлігі

[h] = Дж · с = кг  м²  с^-1
Сонымен əсер элементі импульс элементі мен координата элементінің көбейтіндісіне тең жəне һ/2 шамасынан кем болмауы қажет

p  q  ^h

2
(5)

Ал р  q көбейтіндісі фазалық жазықтықта бір еркін-дік дəрежесі бар жүйенің фазалық ұяшығының ауданына тең. Демек (5)- ші қатынас қарапайым жазық ұяшықтың мөлшерін сипаттайды. Бұл қарапайым ұяшықты одан əрі бөліктеу мүмкін емес, себебі n ең кіші əсер. Бұл нəтиженің анықталмағандық қатынаспен сəйкес келетіндігін көреміз

p  q  ^h

2
(6)

Егер жүйенің f еркіндік дəрежесі болса онда  - кеңістіктегі қарапайым фазаның көлемі

  q₁ q₂Kq_f p₁ p₂ h_f
(7)

Əрбір жұпқа кванттық шарт бойынша
p_k q_k h

қатынасы орындалуы қажет. Демек квантталған жүйенің фазалық көлемі

  q₁

 p₁

 q₂

p₂Kq_f
p_f

 h ^f
(8)

квазиклассикалық жуықтауда алынған Г-кеңістікте, N-микробөлшектен тұратын кванттық жүйелердің ансамблі үшін көлем элементі немесе фазалық ұяшықтың көлемі

11

11
  q p

Kq

p

Kq

p

__hNf
(9)

1N

1N

NN

NN
егер F = Nf - еркіндік дəрежелерінің жалпы саны болса, онда

  h^F

(10)

Сонымен қарапайым əсерді кванттау жəне анықталмағандық қатынас фазалық кеңістікті қарапайым ұяшықтарға қалай болса солай бөле беруді шектейді. Бұл тұжырым кванттық статистикада фазалық ұяшықтар əдісін квазиклассикалық жуықтауға қолдану ережелерін анықтайды. Біздер енгізген ұяшықтар жүйенің əртүрлі кванттық күйлеріне сəйкес келеді. Статистиканың көптеген есептерін шешу үшін жүйенің жекеленген ұяшықтары бойынша үлестіруінен энергия бойынша үлестіруге ауысу қажет.

Кванттық жүйелерде физикалық шамалардың орта мəндерi ғана қарастырылатындықтан физикалық кеңiстiктер бойынша алынған интегралдарды қосындыға ауыстырамыз. Мысалы, күй интегралын

Z  _e



_H ( x,a)

(dx)^^N

қосындыға ауыстырасақ, онда

Z  _e

_ E_i

kT

ⁱ^¹(11)
Тұйықталған жүйенiң еркiн энергиясы, Т температура мен V-көлемнiң арасындағы байланыс
 = - kT ℓn Z (12)
w(E)- классикалық үлестiру функциясының орнына

 _i  (E_i)  const e

_ E_i

kT
(13)

Бұл үлестiрудiң нормалау шарты

  _^Eⁱ

_W_i(E_i)  const _e ^kT 1

i 1

i 1

(14)

сонда нормаланған үлестiру

e
E_i_ E_i

W (E ) 

_ekT _kT


^{i i}_ E_i_Z_ekT
(15)

Осы жағдайда энергияның орта мəнi

_E_ie

_E_ i 1

жүктеу/скачать 0.83 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 48 49 50 51 52 53 54 55 ... 63