§3. Больцманның ұяшықтар əдiсi

§3. Больцманның ұяшықтар əдiсi

(2s  1)


h^3N  N!

_{W } N!

n₁!n₂!...n_m!

(20)

осы өрнектi логарифмдейiк

l_nW

 lnN!_ln(n_i!)

i 1

жəне Стирлинг өрнегiн пайдалансақ

ln W

 N ln N  _n_i ln n_i

i 1
(21)

µяшықтардағы бөлшектер саны n_i энергиямен бөлшектер санының тұрақтылығы шартын қанағаттандыруы керек

N  _n_i  const

i1

(22)

U  _n_i_i  const

i1

(15,16,17) – шi теңдеулергедi вариация əдісін қолдансақ, онда

(23)

m m

lnW

 _(ln n_i  1) n_i  _ln n_in_i

i 1

i 1

m m

_ n_i  0

i1

жəне _ _i n_i  0

i1

Соңғы теңдеулердi анықталмаған  жəне  сандарына көбейтiп үш теңдiктi қосайық

m m

 lnW  _(ln n_i 1)n₁  _ln n_in₁

i1 i1

m

Мынадай шарт орындалса ықтималдық максимум мəнге ие болатындығы белгілі
_(ln n_i     _i ) n_i  0

i 1
барлық n_i – дi тəуелсiз деп есептеп, n_к – дан басқалары нөлге тең есептесек

k
_{n } _k

(24)

N  _n_i

i 1

m

 e^ _e^i  const

i 1
(25)

_{ e}_i

i1

шамасын Z- пен белгiлесек, онда - тұрақтысы

l
  n ^Z

N

(26)

§4. Кванттық жүйелердiң статистикасы.

Статистикалық физиканың көптеген есептерiн шешу үшiн жүйенiң мүмкiн күйлерiнiң үлестiрiлуiн бiлу қажет.

Классикалық статистикалық физиканың негiзгi үлестiрулерi

1) Гиббс үлестiруi 2) Максвелл – Больцман үлестiруi еді.

Гиббс үлестiруiн кванттық жүйелерге жалпылау үшiн фазалық кеңiстiктiң ѕ^3N – минимум көлемi ұғымын енгiземiз.

Кванттық статистика жағдайында айырмашылығы энергияның мəндерiне байланысты болатын ұяшықтарға бөлу жүйенiң дискретті энергиялық деңгейлерi болатындығын көрсетедi.

Кванттық жүйенiң мүмкiн мəндерiнiң энергиялары ₁, ₂, ... , _i болсын. Осы жүйенi энергиясы _i болатын күйде табу ықтималдығы қандай? Бұл сұраққа жауап беру үшiн энергияның меншiктi мəндерiнiң спектрi ₁, ₂, ... , _i , ... болатын, жылулық тепе-теңдiктегi көп санды жүйелердi қарастырайық. Сонда энергиясы _i болатын жүйелердiң саны энергиясы _i күйлердiң термодинамикалық ықтималдылығын бередi.

Кванттық статистикада үш статистика қарастыралады: Максвелл–Больцман статистикасында бөлшектер ажыратылады, олар əртүрлi, ал энергия спектрi дискреттi де, үзiлiссiз болуы мүмкiн деп қарастырылады.

Бозе-Эйнштейн статистикасында бөлшектер ажыратылмайды, энергия дискреттi мəндерге ие болады, ал Ферми –Дирак статистикасында қосымша Паули қағидасы ескерiледi.

Үш статистиканың арасындағы айырмашылықтарды екi бөлшектiң мүмкiн күйлерiн есептегенде оңай түсiнуге болады.

Максвелл – Больцман статистикасы, бөлшектер ажыратылады

Бозе- Эйнштейн стат-сы, бөлшек-р ажы-майды

Ф-Д статсы стат-сы, бөлшек-р ажы-майды

Бозе – Эйнштейн статистикасына бағынатын кванттық күйлер симметриялы толқындық функциямен сипатталады. Мүндай жүйелер ажыратылмайды, əрбiр күйде кез келген санды бөлшектер бола алады.

Энергиясы _i Z_i күйдегi санды n_i жүйелердi қарастырайық.

Ажырамайтын n_i күйлердi ұяшықтарға бөлу мынадай өрнекпен анықталады.

n_i!(z_i  1)!

(27)

Бұл үлестiру берiлген n_i жəне Z_i күйлердiң мүмкiн санын анықтайды. Ал басқа n_k жəне z_k

сандар үшiн күйлердiң саны да басқа болады

W  _W<sub>i

</sub> (n_i  z_i  1)!



n_i (z  1)!

(28)

Бұл өрнектi логарифмдесек
lnW  _(n_i z_i 1)! _ln(n_i!)  _ln(zi 1)

(29)

i i i
Жəне n_i, z_i параметрлерінің үлкен мəндерi үшiн Стирлинг өрнегiн пайдалансақ

lnW  _(n_i  z_i ) ln(n_i  z_i )  _n_i lnn_i  _ z_i ln z_i

(30)

i i i

24. 
    –шi вариациялық өрнекпен (16) жəне (17) –шi өрнектердi қоссақ
    

^{ } n_i  z_i ^{ }

 lnW

 _ln^ _n ^    _{i }n_i

^{i } ^{ i  }

(31)

n_i мəнiнен басқа вариациялардың барлығын нөлге тең деп алсақ

i
ln ^{ni  zi}      0

n_i

(32)

Сонымен, жүйенiң мүмкiн күйлерiнiң саны W максимум болатын тепе-теңдiк күйде энергиясы _i , z_i ұяшықтағы күйлер саны

n_i 

z<sub>i

e</sub>   _{i  1}
(33)

(27) – шi өрнек Бозе – Эйнштейн статистикасындағы бөлшектердiң энергия бойынша

   ¹

үлестiрiлуiн сипаттайтын функция.  - тұрақтысы нормалау шартынан анықталады, ал ^kT

Ендi Паули қағидасын қанағаттандыратын Ферми-Дирак статистикасын қарастырайық. Бұл жағдайда бiр кванттық күйде бiрден артық бөлшек бола алмайды, яғни z_i ≥ n_i сонда n_i жүйенiң z_i ұяшықтарда орналу мүмкiндiктерiнiң саны

W_i  _(z

z_i!


i

i

i
 n )!n !

(34)

Ал жүйелер мен ұяшықтар саны кез келген болғанда мүмкiн күйлерiнiң саны

W  _W  _



z_i!

_{i i} n_i!(z_i

 n_i )!

(35)

күйлер саны логарифмiнiң варияциясы

 lnW  _iln(z_i  n_i ) 1n_i  _ln n_in_i

i

(36)

бұл вариацияны (15) жəне (16) – шы вариациялармен қоссақ жəне нольге теңестiрсек

^{ } z_i  n_i ^{ }




_ln^ _n ^      _{i } n_i  0

ал  n_i нольге тең болмайтындықтан

^{i } ^{ i  }

(37)

i
ln ^{zi  ni}        0

n_i

(38)

бұдан

ал үлестiру функциясы

n_i 
z<sub>i

e</sub>   _{i  1}

(39)

i
f ( )  ⁿⁱ  ¹

i
_{z e}   _{i  1}

(40)

Есептер мен жаттығулар

1. 
   Кванттық
   

 

₂  е ^kT
үлестіруінің классикалық статистика жағдайында Максвелл –

Больцман үлестіруіне ауысатындығын дəлелдеңдер.

^V  ^mkT 3 2

Шешуі: Алдымен

N ^ 2h ^{2 }

 1

шарты орындалады деп аламыз. Сонда ғана жоғарыдағы




квнттық үлестіру өрнегін қолдануға болады жəне
 

қатынасы дұрыс болғаны. Ал химиялық потенциал

dn   e ^kT d

N ^ 2h ^{2 }3 2 ^




dn   _ ^{ } e ^kT d  

V _ mkT _

бір атомды идеал газ үшін   1,

_p 2


,

 
ал

2m

_{d } dxdydzdp_x dp_y dp_z

2h³

импульсінің құраушылары

p_x , p_y , p_z

бөлшекті

x, y, z

нүктесінде табу ықтималдығы

dW 

_{1 p}2

e ^2mkT dxdydzdp_x dp_y dp_z

бұл Максвелл – Больцман үлестіруі.

2. 
   Бозе – Эйнштейн жəне Ферми – Дирак үлестірулері үшін  тұрақтысын анықтаңдар. Шешуі: Больцман анықтамасы бойынша энтропияны мынадай түрде жазалық:
   

  klnW

бұдан

^  _^n   
 z ln


_e _{i }

 i

K _{i }

^{i i} _e _i

 1^

 
Мынадай термодинамикалық қатынасты ^{  }

U

_ 1

T
пайдалансақ

 _T

^  k  ¹

U T

Сонда
   ¹

kT

3. 
   Спиндері жартылай бүтін санға тең бөлшектердің толқындық функцияларының антисимметриялы болатындығынан Паули қағидасын шығаруға болатындыығын көрсетіңдер.
   

4. 
   бірінен-бірі айырылмайтын объектілерді нөмірленген z ұяшыққа орналастырудың мүмкін санын анықтаңдар.
   

Жауабы: W  ^{n  z  1!}

n! z  1!

5. 
   4-ші есепті бір ұяшыққа бір объектіден артық орналастыруға z  n болмайтын жағдайға шешіңдер.
   

Жауабы: W 

z!

z  n!n!

Нұсқау:

  ¹

ад _

1 ^ V ^

  ^{ }

V p

ад <sup>

</sup>ад

Жауабы: C 

RT _{;  } ^C_p

 C_V

мұндағы

  E  l.

E  өрістің кернеулігі,

l  астарлардың ара қашықтығы. Конден-сатордың

заряды q , астарлардың ауданы S болсын. Сонда электрлік индукция
Д    ^q



бұдан

A  - lS EdД

диэлектрдің көлем бірлігінде істелетін жұмыс

A¹  - EdД

7. 
   Ыссы жəне суық сулардың бірдей массаларын араластырғанда энтропияның артатынын көрсетіңдер. Судың жылу сиымдылығын тұрақты деп қабылдаңдар.
   

8. 
   Бір текті электр өрісіндегі диэлектрик жүйесі үшін негізгі термодинамикалық теңдікті жазыңдар.