Не термодинамика

e ^kT 1

мұнда
2

ќум

_h 2_ 2


p 

C
₂ ;

ќум
2

кµлд

2h ² ²

p 

C
₂ ,

кµлд

h


dp 

C
ќум

ќум

 d

^dpкµлд ^ _C

h

кµлд

 d

Енді
4V ^ 2 2 ^  ²d


dn_ 



_h3 _{ C} 3 _C 3



_ h

(36)

_ ќум

кµлд _{ e kT  1}

nd

шамасын барлық мүмкін жиіліктер бойынша интегралдау нəтижесінде қатты дененің Е -

толық энергиясын табамыз.

 m ^ 2 1 ^  т h ³d

^{Е } _^ ^d ^{ } _c3

• 
  _c3
  

^  ^h

(37)

_{0 } ќум

кµлд  0 _e ^kT _1

Дебай барлық мүмкін жиіліктер саны 3N жəне олар бірқалыпты үлестірілген деп қабылдайды. Сонда Дебай бойынша жиіліктердің үлестіруі

dn_

 

2



1


 4V ^{ }

_{ c}3 _c3 _
²d
(38)

Бұдан

_ ќум кµлд _

V max

^ 2

1 ^  т ²

4 ^ 2 1 ^{ 3}

 3
3N 

_ ^dn

 4V 

c

 _c3  _

d 

₃  _c3 ^ _c3

^{ } m


0
(  жиіліктің максимум мəні).

_ ќум

кµлд  0

_ ќум

кµлд 

(39)-шы өрнектен серпімді толқындардың таралу жылдамдықтарынан құтылуға болады.

Енді Дебай теориясы бойынша қатты денелердің энергиясы

^ 2 1 ^ 9N 9N ^m h ³d


4V ^ ^

_{ c}3 _c3 <sub>

 3</sub> ;

E  _{ 3  h}

(40)

_ ќум

кµлд _ m


^{m 0} e ^kT 1

жаңа айнымалылар енгізейік: сонда

x  ^h ,

kT

_{dx } hd

kT

^{ kT }3 xm ^x3dx 

^{h } 

h
E  9NkT ^{ } _


^,  ^{x m } 
 _

(41)


 


0
m 

e ^x  1 _

kT T _

мұнда ^h

K
 T (41*) Дебайдың сипаттамалық температурасы. Енді энергия
T_x

 ^T 3 ^T

x³dx

^{E  9NkT}  

T

^ e^x 1

(42)

  ₀

(42)-ші қатынас Дебай өрнегі деп аталады. (42)-ші өрнекті температура бойынша дифференциалдасақ қатты дененің жылу сиымдылығын аламыз.

^{С }  _Т 

 9N_K

^ e^x 1

(43)

^{ V 0}

Бұл қатынасқа температураға тəуелді күрделі күрделі функция енеді, оны Дебай функциясы деп атайды:

  ^d

T ^{4 x} x³dx

Д х  3

dT

^{3 } e^x 1

(44)

0

T

x
Сонда N=N₀ жағдайында жылу сиымдылық

С_  3N₀ k Д x   3RД x 

(45)

(44)-ші өрнектегі дифференциалды есептесек

^ T ^3 ^x
x³dx

T ³


T

d
Д

3T <sup>4 T

x</sup> x³dx

^TД


3
3x

Д х   12^{ }

_{ }Д _ T ³



12x ^3 ^T 

(46)

 _T 

^ e ^x  1 T ³ dT <sup>TД

</sup> e ^x  1 ^TД

e^x  1

^{ Д } 0

^Д e ^T  1 ⁰

e ^T  1

Бұл интеграл тек жуықтай есептеу тəсілімен ғана анықталады (45), (46)-шы Дебайдың сипаттамалық температурасы белгілі жағдайда атомдық жылу сиымдылықтарды анықтауға мүмкіндік береді. Ал Дебай температурасының мəні





_Д 
_{T } h _{m } h ^

k k _
1

_3



9N ^




^ 2 1 

 _c






_ 4V ^ _{3 c3} ^

_{ } ќум кµлд _{ }

2. 
   – ші таблицада кейбір заттардың Дебай температуралары берілген. Таблица 2.
   

Зат	T , 0К Д
Al	402
Cu	332
Ag	214
Pв	73
Алмаз	2000

Температураың өте төмен жəне өте жоғары екі шектік жағдайын қарастырайық. T  0

_ 4

жағдайында (42)-ші интегралдың жоғары шегі шексіздікке, ал интегралдың өзі  мəніне тең

15

болады, сонда энергия
^3NkT  ^T 3

E  _{ }

(47)

жылу сиымдылық

5 _ T _


 ^E 

^С  _T 

_ 12Nk ⁴

5T ³

T ³  T ³
(48)

 _

келеді.

(48)-ші өрнек Дебай заңы деп аталады жəне ол тəжірибелік деректерге өте жақсы сəйкес
Дебай заңы бойынша температура нольге ұмтылғанда энергия мен жылу сиымдылық

нольге ұмтылады. Бұл қорытынды негізінен онша дұрыс емес, Дебай осциллятордың энергиясы үшін  0 өрнегін пайдаланды, ал кванттық механика бойынша осцилляторда нольдік энергия

бар:

E  ^ n  ^{1 }h . Егер осы қатынасты негізгі өрнекке қойсақ энергия

 


2
 

T_x

 ^T 3 ^{T x3 9}

^{E  9NkT}  

T

_{ ex 1}  ₈ Nh _m

(49)

  ₀

(49)-шы өрнектегі екінші мүше Т-ның кез келге мəнінде нөлге тең болмайды. (48)-шы өрнек бойынша төменгі температураларда жылу сиымдылық температураның үшінші дəрежесіне пропорционал жəне температура Т  0 болғанда нөлге тең болады. Бұл нəтиже көптеген жағдайларда тəжірибеге жақсы сəйкес келеді. Бірақ полимерлер сияқты құрылымы ұзын молекулалардан тұратын жүйелердің немесе қабыршақты торлардан тұратын кристалдардың жылу сиымдылықтарының көп мəндері Дебай заңына қайшы келетіні байқалады.

Ал өте жоғары T  T_Д

 температураларда Дебай функциясын

x  ^TД

T

шамасы бойынша

Тейлор қатарына жіктеп оның алғашқы екі мүшесімен шектелсек

Д x

 12x

x

3 _{ x}

0

² dx  3  ¹²  ^x


3
x³ 3
 3  1

Бұл мəнді (45)-ке қойсақ C_  3R , яғни өте жоғаы температураларда Дебай теориясы

классикалық Дюлонг-Пти заңына ауысады.

§5. Тепе-теңдік қалыптағы сəуле шығару

Қазіргі түсінктер бойынша эксперименттік сəуле шығару қасиеттері электорндар мен протондардан өзгешерек микробөлшектерден-фотондардан тұрады. Фотондар вакуумде жарық жылдамдығына тең жылдамдықпен қозғалады. Фотоннның тыныштық күйдегі массасы нольге тең,

соған қарамастан қозғалыстағы фотонның энергиясы   h , импульсі  pc релятивтік

қатынастармен сипатталады. Тəжірибелік деректер мен теориялық есептеулер фотонның спині h

тұрақтысына бүтін сан арқылы пропорционал, яғни бозондарға жататындығын көрсетеді.

Фотондар негізінен өзара əсерлеспейді, сондықтан берілген көлемдегі фотондардың жиынын идеал газ ретінде қарастыруға болады. Мұндай жүйедегі тепе-теңдік айрықша түрде ыдыстың қабырғасымен əсерлесу нəтижесінде ғана орнайды. Ыдыстың қабырғасы электромагниттік өріс кванттарын үзіліссіз жұтып алып, бөліп шығарып жатады, олардың жалпы саны сақталмайды. Тепе-теңдік орнау үшін қабырға орташа есеппен қанша фотонды жұтып алса, сонша сəулені бөліп шығаруы қажет. Осы жағдайда ғана көлемнің ішінде бөлшектердің энергия бойынша белгілі бір үлестіруі қалыптасады.

Энергияның мен

  d

аралығында орналасатын фотондардың санын анықтау кез

келген бөлшектер үшін бұрыннан белгілі əдіспен жүргізіледі. Қуыстың ішіндегі электромагниттік сəулелердің тепе-теңдік қалыпта фотодар бөліп шығаруын сипаттайтын термодинамикалық

параметрлер қарапайым идеал газды сипаттайтын параметрлермен сəйкес келеді. T ,V , N


 ^F 

 _N ⁰
(50)

^{ }T ,V

Бұл өрнектен мынадай маңызды салдар шығады. Анықтамасы бойынша

 
 ^F 

 _N 

^{ }T ,V

Бұдан тепе-теңдік қалыптағы фотондық газдың химиялық потенциалы нольге тең деген қорытынды шығады. Яғни фотондық газдың энергиялық деңгейлері кез келген температурада да бөліктелген болады.

Фотондардың күйлері бойынша үлестіруі

  0 жағдайындағы Бозе өрнегімен сипатталады.

_ 

1


_

е ^kT  1
(51)

жəне   d

энергиялық аралығына орналасатын бөлшектердің саны

dE   Vg,T  d

(52)

егер осы бөлшектердің энергиясы dE болса, онда


dE   dn  
V ³d

 ² h³c³ e^{ kT}  1

(53)

Энергиясы фотонға жиілігі   ^

h
электромагниттік өріс сəйкестендірілетіндігі белгілі. Сонда

энергия d  өрнегіндегі

d энергияның орнына осы интервалға сəйкес келетін d

жиілік алсақ,

онда (53) -ші мынадай түрге келеді.
dE  
Vh

_ 2 _c3

жүктеу/скачать 0.83 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: