§ 2. Тепе-теңдікте сəуле шығару жəне фотондық газ

F V , T , N  _{ 0}

N

(11)

Бұл теңдік

_{ } F

N

өрнегі арқылы анықталатын тепе-теңдіктегі фотондық газдың

• 
  химиялық потенциалы нольге тең болатындығын көрсетеді.
  

Сонымен, фотондық газ үшін энергия бөлшектердің орта саны (10)-шы өрнектің орнына мынадай қатынаспен анықталады:

n   

1



e ^kT  1
(12)

Фотонның энергиясы   h

екендігін ескерсек соңғы өрнек мынадай түрде жазылады:

h
n  ^1

e ^kT 1

(13)

Бұл Планк үлестіруі. Фотонның импульсін

p  hk

_ h c
түрінде аламыз. Сонда V

көлемдегі, бір бағытта полярланған, импульсі p жəне

p  dp

немесе толқындық саны k жəне

V  4 ²d

_c 3

(14)

Ал əртүрлі бағытта полярланған, жиілігі жəне  d

фотондардың саны

аралығында орналасатын

dN   

V  8 ²d

 qvnvdv

(15)




_ hv _

с ³  ^ e ^kT  1^

 

Ал осы берілген жиілік аралығындағы тепе-теңдіктегі сəуле шығарудың энергиясы

    
V  8hv³dv

dE  h dN v 

(16)

_ hv _

^ e^kT  1^ c³

 

 

Жиілік бойынша үлестіру үзіліссіз деп қабылдап фотондық газдың U 

есептейік:

толық энергиясын

x  ^hv 

kT



U  _ dEv

0

жаңа айнымалы енгізіп, таблицалық интегралды пайдаланып есептесек

U  V   T ⁴
(17)
(18)

мұнда  

8 ⁵k ⁴

15c³ h³

V жəне T айнымалыларының функциясы болып табылатын U толық энергия белгілі болғаннан кейін төмендегідей түрде жазылған


 ^F 

 

T ^U

  _{ }

T T ²

Гиббс-Гельмгольц теңдеуін пайдаланып фотондық газдың еркін энергиясын есептеуге болады:

F  T _

UdT _T 2

 V  ^T

4
3
(19)

S   ^F  ⁴ VT ³


(20)

жəне

T 3

p   ^U

V

   ^T

4
3

_ U _ u

3V 3
(21)

Сонымен, сəуле шығарудың қысымы тепе-теңдікте сəуле шығару энергиясының тығыздығымен анықталады:

u  ^U

V

Сəуле шығарудың қысымы тек температураға ғана тəуелді, көлемнен тəуелсіз болғандықтан сəуле түсетін қуыс изотермиялы ұлғайғанда фотондар шығарылады, ал қысылғанда сəулелер қуыс қабырғаларында жұтылады.

Сəуле шығарудың ішкі энергиясынан фотондық газдың С_v

болады:

жылу сиымдылығын анықтауға


 ^V 

^Сv  _T 

 4 V T ³

 _V
V көлемдегі фотондардың толық санын мынадай өрнек бойынша есептейді.

^ _{ } V  8 ^

v ²dv

V  kT ^{3 }


x ²dx

 ^kT 3

N  _ dN v

^  ²  c^{3 }

hv

 ² hc³

_{ ex  1} ^{ 0,244} _hc  ^V

(22)

0 0 _{e kT  1} 0 ^{ }
Фотондық газ адиабатты түрде ұлғайғанда не қысылғанда фотондардың саны N тұрақты болады, сонда температура мен көлемнің арасындағы байланыс

V  T ³  const

(23)

Бұл өрнектегі температураны (21)-ші өрнектегі қысым арқылы алмастырсақ фотондық газдың адиабаттық теңдеуін аламыз:

4
p  V ³

 const

(24)

Фотондық газдың осы қорытылып шығарылған термодинамикалық функциялары сəуле шығарудың қысымымен тығыз байланысты болатын жұлдыздардың ішкі құрылысын зерттеуге қолдануға болады.

§3. Ферми-Дирак статистикасын бөлшектер жүйесін сипаттауға пайдалану

Ферми-Дирак статистикасы спиндері жартылай бүтін сандарға тең бөлшектерді сипаттайды. Мұндай бөлшектерге электрон, нуклондар,  мезондар жəне құрамындағы

электрондар мен нуклондардың саны тақ болатын атомдар жатады. Мысалы, He³ атомының спині

f   
3

1

  

e ^kT  1
(25)

Егер

^N _  ^mkT  ²

шарты орындалса Ферми үлестіруі Больцман үлестіруіне




^{V } 2h ^{2 }

ауысатындығы белгілі. Енді керісінше

N


 ^

3



mkT ^{ 2}

(26)




^{V } 2 h ^{2 }

шарты сақталған жағдайда, яғни нормалау шартынан анықталады:

^  1

kT

болғандағы жағдайды қарастырайық. шамасы

2_ f  d  N

0

 ¹ 

 ¹ 

Мұндағы 2- көбейткіші əрбір энергиялық күйде спині  ₂ жəне  ₂ - екі фермион

болатындығын көрсетеді. Жалпы жартылай спин үшін g  салмақтық көбейткіші 2 j  1  ге тең болады.

Еркін бөлшектерді p  импульс кеңістігінде қарастырып энергияның жəне   d

аралығындағы күйлердің мүмкін санын анықтайық. Ол (4)-ші қатынасқа ұқсатып алынады.

3


dn   2 ^{V  m} 2

  d

(27)

2 ²h ³

Ферми үлестіруін зерттеу барысында

f  

үлестіру функциясының графигін зерттеуден де

қосымша мағлұматтар алуға болады. Жоғарыда көрсетілген

^  1

kT

шартындағы

f   функциясының мəнін қарастырайық. Біріншіден,

  0

болғанда

f   

¹  1 , себебі

_ 

_ 

e ^kT - өте аз шама. Ал шамасы  ге тең болғанда

e ^kT  1

f     

1 _ 1

e ⁰  1 ²

Энергия əрі қарай өскен сайын f   функциясы азая береді жəне

    kT

жағдайында f   -нің кемуі экспоненциалды заңдылықпен сипатталады:

f   

1

_  

_e kT

_  

_{ e} kT

 1

яғни, Ферми үлестіруі Больман үлестіруіне ауысады.

Суретте

f   функциясының əртүрлі температуралардағы өзгеру графигі берілген.

f  
1

kT₁

Т₁

Т  0 Т ₂

 ₀  

Сурет 1. Əртүрлі температуралардағы Ферми-Дирак үлестіру функциясы.

f  

функциясының күрт өзгеретін энергия обылысы Ферми үлестіруінің сұйылу облысы

деп аталады. Температура төмендеген сайын бұл обылыс жіңішкереді жəне температура ұмтылғанда нольге тең болады.

T  0

Температураның абсолют ноль мəнінде

f  

функцияның үзілістігін сипаттайтын 

мəні ферми-газ бөлшектерінің шекаралық энергиясына сəйкес келеді.

Абсолют нольде бөлшектер түгелімен энергиясы

   ₀

күйлерде орналасады, ал

   ₀

күйлер бос болады. Температура артқанда бұл үлестіру бұзылады, энергиясы  күйлердің кейбірі босайды, ал энергиясы  күйлерде бөлшектер пайда болады.

Ферми-газдың

 ₀  

шекаралық энергиясының мəні абсолют ноль температурасында

бөлшектердің толық саны энергиясы болатындығы шартынан анықталады:

 ₀  ден кіші барлық мүмкін күйлердің санына тең

_{3 3} 3 3

V  g  m ^{2  0}

_{V  g  m} ^{2  0 1} V  g  2  m ²   ²


N  _ 

e ² d ^⁰

3 ²h ³

(28)

⁰ e ^kT  1 ⁰

Бұдан шекаралық энергияның мəні

2

^ 6 ^{2  3}

2

^{h 2}  ^N  ³

^{ 0  } _g ^{ }  

(29)

_{ } 2m _ V _

Импульстердің фазалық кеңістігінде бұл

 ₀  шекаралық энергияға, радиусы

p₀ 

сферамен шектелетін,

p₀  шекаралық импульс сəйкес келеді.

Сонымен абсолют ноль температурада ферми-газдың күйі толық анықталды. Бөлшектер біртіндеп ең төменгі энергиялық деңгейге орналасады. Шындығында да, егер газ екі бөлшектен тұратын болса, олар бағыттары қарама-қарсы спиндерге ие болып ең төменгі энергиялық деңгейге орналасар еді. Ал кез-келген үшінші бөлшекте ең төменгі күйге орналасуға тырысады, бірақ Паульс қағидасы бойынша ол ең төменгі энергиялық деңгейге түсе алмайды, екінші деңгейде қалып қояды. Ал төртінші бөлшектің спині үш бөлшекке қарам-қарсы болса, ол екінші деңгейге орналаса алады. Бесінші бөлшек болса ол тек үшінші күйде ғана болады, т.т.

Ал Бозе-газдың бөлшектерінің абсолют ноль температурасында түгелінен нольдік деңгейге орналасатындығы белгілі жағдай.

Ферми-газдың температурасы артқанда жылулық энергия негізінен энергиясы шекаралық

 ₀  ге, мəнге жуық бөлшектерге беріледі. Сондықтан жоғары энергиялық деңгейге

 ₀     энергияларының айырымы kT  шамалас болатын бөлшектер ғана көтеріле алады. Ал терең, ең төменгі деңгейлердегі бөлшектердің күйі ферми-газды қыздырғаннан өзгермейді. Бұдан Ферми үлестіруіндегі энергияның анықталмағандығының шамасы kT  ға тең болатындығын көреміз. Ферми үлестіруінің графигінің (сурет-1) сызығы «төменгі басқышқа» жақын бөлігінде ферми-газдың энергиялық деңгейлері ұсақталған болады. Ұсақталынудың критериі ретінде

kT₀   ₀ қағидасымен анықталатын T₀  температура алынады. Температураның T  T₀

мəндерінде ферми-газдың қасиеттері қарапайым Больцман газымен бірдей болады. Температура

төмендеген сайын оның бұл қасиеттері өзгере бастайды жəне T  T₀

болғанда ферми-газдың

энергиялық деңгейлері қосымша деңгейлерге бөліктеніп, ұсақталады.

V  4  p ² dp

Бір бөлшектің энергиясын

күйлердің санына

2 h³

 g көбейтіп

p  0 мен

p  p₀ аралығында интегралдасақ ұсақталған ферми-газдың ішкі энергиясын анықтаймыз:


20m ²h ³
V  g ^{p0 g  V  p 5}

E 

4m ²h ³

_ dp ^⁰ 0

(30)

Импульстің

p₀ шекаралық мəнін пайдалансақ

2

3 ^ 6 ^{2  3}

2

^{h 2}  ^N  ³

^{E0 } ₁₀ ^ _g ^{ }   ^{ N}

(31)

_{ } m _ V _

Газдың қысымын

_{p } 2E

3V
түрінде алсақ Ферми-газдың күй теңдеуі

2

1 ^ 6 ^{2  3}

5

^{h 2}  ^N  ³

^{p    }  

5 g

(32)

_{ } m _ V _

яғни, ұсақталған ферми-газдың қысымы оның пропорционал жəне температурадан тəуелсіз болады.

^N  тығыздығының

V

⁵ дəрежесіне

3

Сонымен, біз спиндері жартылай бүтін санға тең, өзара əсерлеспейтін бөлшектерден

тұратын газдың негізгі қасиеттерін қарастырдық.

жүктеу/скачать 0.83 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: