§3. Бөлшектердiң еркiн жүру жолдарының үлестіруi

§3. Бөлшектердiң еркiн жүру жолдарының үлестіруi

Көптеген жағдайларда молекулалардың орташа еркiн жүру жолдарымен қатар еркiн жүру жолының орташа шаманың төңiрегiнде үлестiруiн де анықтау қажет болады.

Еркiн жүру жолдарының үлестiруiн тағайындау үшiн еркiн жүрулердi кездейсоқ шама деп қабылдаймыз. Алдымен молекуланың белгiлi бiр уақыт мезетiнен бастап жүрген жолын

анықтайық. Молекуланың l жолды соқтығусыз өтетiндiгiнiң ықтималдығы  . Ал, (l  dl)

жолды соқтығусыз өту ықтималдығы W (l  dl) . Егер (l  dl) жолда соқтығысудың болмауын l

жəне dl

жолдардағы соқтығысудың тəуелсiздiгiне байланысты күрделi уақиға деп есептесек

W (l  dl)  W (l)W (dl)

6. 
   
   

жолда соқтығысудың болу ықтималдығы осы ұзындыққа пропорционал:

(14)-шi өрнек мынадай түрге келедi:

1W (dl)  adl . Ендi

W (l)

W (l  dl)  W (l) [1  adl]
үзiлiссiз функция болса W (l  dl) ықтималдығын мынадай түрде жазуға болады.

W (l  dl)  W (l)  ^dW dl

dl

6. 
   
   

6. 
   
   

(16)-ны (15)-шi өрнекке қойсақ.
W ¹(l)  aW (l)

6. 
   
   

Бұл теңдеудi интегралдасақ.
W (l)  const e^al

6. 
   
   

(18)-шi өрнектен молекулалардың еркiн жүру жолдарының үлестiруi экспоненциалдық заңға бағынатындығын көремiз. Бұл үлестiрудi нормалап, l орташа еркiн жүру жолын енгiзсек

l
W (l)  ¹ e ^l

l

6. 
   
   

Еркiн жолдардың үлестiруiнiң бұл заңы əдейi қойылған тəжiрибелер нəтижесiнде дəлелденген.

Ендi еркiн жүру жолдарының абсолют мəндерiнiң үлестiруiн жылдамдықтардың Максвелл үлестiруiмен салыстырып қарастырайық.

dW (l_x ) 

f (l_x )dl _x

6. 
   
   

^{(20)- еркiн жүру жолының Ох -осiне құраушысының l} х ^{жəне l} x ^{ dl} x ^{аралығындағы мəнге}

ие болуының ықтималдығы болсын. Осы тəрiздi O_y, O_z осьтерiне де құраушыларды да жазуға

болады. l _x , l _y , l _z

жолдары бiрiне-бiрi тəуелсiз жəне

f (l)

функциясы тек l шамасына тəуелдi деп

қарастырайық. Сонда молекуланың ықтималдығы

l  еркiн жүру жолына тең шамаға ие болу

dW (l)  dW (l_x )dW (l _y ) dW (l _z )  f (l_x ) f (l _y ) f (l _z )dl_xdl_ydl_z 

 f (l)dl_xdl _ydl_z

6. 
   
   

х
Бұл теңдеудi еркiн жүру жолдарының үлестiруiн жылдамдықтардың Максвелл үлестiруiмен бiрдей түрде беретiн мынадай функция қанағаттандырады:

f (l

_x ) 

1

A ³ e

l²

Егер l еркiн жүрудiң абсолют мəндерi ғана қажет болса Максвелл үлестiруi сияқты ол да

• 
  _l 2
  

ы
dW (l)  4

l² e

^l 2 dl

6. 
   
   

2
байланыста



l  l_ы

6. 
   
   

§4. Тұтқырлық жəне импульстi тасымалдау

Сұйықтағы немесе газдағы макрообъектiнi қарастырайық. Объект орналасқан орта тыныштық күйде болып, оған сыртқы күштер əсер етпесiн. Егер объект тепе-теңдiк күйде болса, ол да тыныштық күйде болады. Егер дене ортада қозғалса, онда орта тыныштық күйде болмайды. Тепе-теңдiк күйге келтiруге тырысатын молекулалық əсерлесулер қозғалыстағы объектiге əсер етiп оны тежеуге бағытталған макроскопиялық үйкелiс күштерiн тудырады. Жуықтап алғанда бұл күштер объектiнiң жылдамдығына пропорционал жəне ол объектiнiң қозғалысы тоқтағанда нольге тең болады. ¦йкелiс күштерiнiң шамасы тұтқырлық деп аталатын ортаның қасиеттерiне тəуелдi.

‡сiмдiк майында немесе балдағы қозғалатын денеге суға қарағанда шамасы көп үлкен үйкелiс күшi əсер етедi. Демек, өсiмдiк майының немесе балдың тұтқырлығы сумен салыстырғанда жоғары.

Ендi сиретiлген газдардағы тұтқырлық құбылысының микроскопиялық табиғатын қарастырайық. Газ қозғалмайтын хОу жазықтығында Ох осiнiң бойымен қозғалысы.

Iшкi үйкелiстердiң салдарынан газ iшiнде Оz осiмен бағытталатын жылдамдық градиентi орнайды. (сурет 3.)
y

Сурет 3. Тұтқырлық коэффициентiн есептеу

Оz осiнiң бойымен бағытталған молекулалар, жылдамдық градиентiне байланысты, жылдамдығы жоғары қабаттан жылдамдықтары төмен қабаттарға ауыса бастайды, яғни, бұл молекулалар импульстер тасымалдай алады. Жылдамдықтары əр түрлi қабаттар арасында қозғалатын молекулалар қабаттардың қозғалыстарын үдетуi де, жайлатуы да мүмкiн. Ньютон заңы бойынша

F   s ^du

dz

6. 
   
   

Аудан бiрлiгiне əсер ететiн F –күшi уақыт бiрлiгi iшiндегi импульстiң өзгерiсiне тең болғандықтан

t dz

6. 
   
   

бұдан
_{ } p

t  s ^du

dz

6. 
   
   

Координатасы z қабаттың бiрлiк ауданы арқылы тасымалдайтын импульс

(z  l)

жоғары қабаттан бiр молекула

l
m (u  ^du  )

dz
ал, қарсы бағытта тасымалданатын импульс (-m).

Ал жоғары (z+1) қабаттан төменгi қабатқа тасымалданатын импульс

 ^du 

^m ^{u } _dz ^{ l} 

 

ал, қарсы бағытта

• 
  m . Осы шамалардың айырымы
  

_2m du


l
dz
шамасы қабаттардың бiр

молекуламен алмасқандағы импульстiң өзгерісі.

Есептер мен жаттығулар

1. 
   Азот молекуласының диаметрі
   

d  3,110^10
м . Деп қабылдап, қалыпты жағдайда 1 с

0

1
уақыт ішінде болатын сқтығысулардың орта санын есептеңдер.

Шешуі: Қалыпты жағдайда газдың 1 м³ көлемінде

  2,69 10²⁵

молекула болады, ал азот

N
молекулаларының орташа жылдамдығы   454

2

м/с. Сонда соқтығысулардың орта саны:

Бұдан

z   V  d ² 

0
z  2,69 10²⁵  3,143,110^10 2  454  5,2 10⁹

2. 
   Бір молекуланың уақыт бірлігі ішінде қалған молекулалармен соқтығысу санының
   

p  қысымнан тəуелділігін тағайындаңдар. Молекула радиусы есептеледі.

r  ге қатты шар тəріздес деп

Шешуі: молекулалардың өзара соқтығысуының эффективті қимасы

d ²  4r ² 7. Сонда

0
алдыңғы есепте пайдаланылған соқтығысулар санын анықтайтын өрнек жəне күй теңдеуі бойынша
z  16 r ²

3. 
   Қандай қысымды азот молекуласының еркін жүру жолы 2 мм-ге тең болады. /Т=273⁰ К/.
   

Жауабы:

р  2,3 10^2 ммс.бағ.

4. 
   
   0
   Қысым 1атм, температура 273⁰ К жағдайында диаметрі молекуласының орташа жүру жолын анықтаңдар.
   

d  2,9 10^8 см оттегі

Жауабы: l  110 ^7 м.

5. 
   Газдардың ішкі үйкеіс коэффициентін анықтайтын өрнекті қорытып шығарыңдар. Шешуі: Ішкі үйкеліс күші Ньютон өрнегімен сипатталады:
   

F  S  ^d

dx

мұнда   0_х осіне перпендикуляр ағу жылдамдығы, S  қабаттардың беттесу ауданы,  ішкі

үйкеліс коэффициенті Х₀ – нүктесінің сол жағында макроскопиялық жылдамдығы  х₀  l газ

қабаттары орналассын (сурет 1.). Газ ағының қозғалысына байланысты əрбір молекулада артық m импульс пайда болады. Молекула бір қабаттан екінші қабатқа ауысқанда бір импульс газдың бір бөлігінен екінші бөлігіне беріледі.

Газдың тығыздығы мен температура барлық жерде бірдей болсын. Диффузия салдарынан

t уақыт ішінде газдың

¹  s


l
6

Сурет 1.
молекуласы х=х₀ жазықтығында солдан оңға жəне кері бағытта молекула оңнан солға ауысады.

Мұнда t еркін жүру уақыты газ қабатының қалыңдығы. l  еркін жүру жолына тең деп

қабылдаймыз. Бұл жағдайда солдан оңға қарай берілетін импульс

¹  sm x


l
6 ⁰

• 
  l
  

ал қарсы жаққа қозғалыста

1. 
   
   l
    sm x
   

6 ⁰

• 
  l
  

х₀ нүктесінің оң жағындағы газ қабатындағы импульс

¹ m lsx  l x

 l   ¹ m ls^{  }

₆ 0 0

3 ^ x ^

0
  _x
ал күшке сəйкес келетін шама

бұдан

l
  ¹ m ;

3
 _ ^l 



_t 


 

6. 
   Идеал газ адиабатты түрде қысылған. 1 секунд уақыт ішіндегі соқтығысулардың орта саны мен орташа жүру жолының қысымға тəуелділігін анықтаңдар.
   

Шешуі: 1 с ішіндегі еркін жүру жолы l мен z соқтығысулар санының

p  қысым мен T 

температура арқылы өрнектеледі l  ^kT
жəне

4 d ² p

z ^⁰ . Адиабаттық үрдісте қысым

мен температура Пуассон қатынасы арқылы байланысқан:

1

1

^p  const. Осы қатынастың көмегімен

T

температураны шығарып тастасақ: l ~ p

жəне

z ~ p

7. 
   Температура 0⁰ С жəне қалыпты атмосфералық қысымды азот үшін ішкі үйкеліс коэффициенті 16,8 · 10^-5 г/см² · с. Молекуланың диаметрі мен орташа еркін жүру жолын бағалаңдар.
   

Жауабы: 3 · 10^-8 см; 0,88 · 10^-5 см.

8. 
   Азот үшін Сазерленд тұрақтысы С=102,7⁰ К, 100⁰ жəне 0⁰ С температуралардағы еркін жүру жолдарының қатынасын табыңдар.
   

Жауабы:

l100 _{ 1,075}

l0