Не термодинамика

E  h

 _{n } ¹ 

(5)

2
_{n 0}  

 
n=3

n=2 n=1 n=0

Сурет 1. Кванттық осциллятордың энергиялық деңгейлері.

1-ші суретте кванттық осциллятордың энергиялық деңгейлері көрсетілген. Кванттық талдау

гармоникалық осциллятордың нольге тең деңгейдің энергиясының нольге емес, одан өзгеше

h ₀

2

мəніне тең екендігін береді. Нольдік энергияға температура төмендегенде жоғалмайтын нольдік тербелістер сəйкес келеді. Яғни кванттық осциллятр температура төмендегенде де нольдік энергияның болуына байланысты тыныштық күйде тұрмайды.

Тəжірибеде тербелістің нольдік энергиясының бар екендігін жарықтың температурасы абсолют нөлге жуық кристалдарда шашырауын бақылау нəтижесінде тағайындауға болады.

Осциллятор есебін шешу барысында оның энергиясының меншікті мəндерімен қатар Эрмит-Чебышев полиномы арқылы сипатталатын меншікті функцияларды да табуға болады:

   2  

мұндағы

_n   e ² 

H   

 1ⁿ

е ² 

_d n_e ²

ⁿ d ⁿ
графикте көрсетілген n=0,1,2 күйлер үшін меншікті функциялар

_ 1

₀   ⁴

_ 2

e ² ,

₁  24  ⁴  e

_ 1

2
_ 1


_ 2

2
_ 2

  64  4 4 ²  2 e ²

(6)

Бөлшектің тербеліс сызығының бойымен белгілі бір орында болуының ықтималдығын анықтайық. Классикалық түсінік бойынша энергиясы Е гармоникалық осциллятор +А жəне –А нүктелерінің арасында тербеледі. Тербеліс синусоидалық заңмен q  q_o sin2 ₀t  болатындықтан,

осциллятордың q жəне dq кесіндісінің аралығында болу ықтималдығы осциллятордың осы кесіндіні өту уақытының тербеліс периодының жартысына қатынасымен анықталады. Бұл жағдай үшін ықтималдықтың үлестіру функциясы:

^f кл

q  ¹

(7)

Ал кванттық механикада осциллятор үшін үлестіру тығыздығы dW_кв =Ψ·Ψ* dq, яғни


кв
f q    ^*  q²

(8)

Тербеліс энергиялары өзгермелі жағдайда əртүрлі толқындық функциялар жазу қажет болады. Нольдік жəне біркелкі күйлер үшін классикалық жəне кванттық нəтижелер 2-ші суретте келтірілген.

Кванттық түсініктер бойынша осцилляторды

• 
   тен   аралығына созылған түзу
  

сызықтың кез келген нүктесінде табуға болады.

Сонымен сызықтық осцилляторды кванттық теория тұрғысынан қарастыру классикалық физикадан өзгеше, тəжірибе дəлелденген жаңа нəтижелерді береді. Осциллятормен қатар кванттық механикада қатаң ротатор есебін қарастырады.

Қатаң ротатор деп шеңбер бойымен айналатын материалық нүктені айтады. Классикалық физикада мұндай дененің айналыс энергиясы:

^Eайн ^

m ²

2

_ mr ² ²

2

_ J ²

2

 _M 2

J (9)

-А -В 0 В А
Сурет 2. Кванттық жəне классикалық осцилляторлардың ықтималдық тығыздықтары

Кванттық механикада импульс моментінің орнына оған сəйкес келетін оператор пайдаланылады. Бұл оператордың меншікті мəні

M ² 

h²ll  1 8 ² J
(10)

мұндағы

l  0,1,2, орбиталық сан. (10) -шы қатынасты пайдалансақ кванттық ротатордың

дискретті энергиялық спектрі

Е_е 
h ²ll  1 8 ² J

(11)

Бұл өрнектен кванттық механикада айналмалы қозғалыстағы зарядталған бөлшектің энергиясы тек үзілісті мəндерге ие болады деген тұжырымға келеміз. Бірақ сызықтық

осциллятордан айырмашылығы кванттық ротатордың Е_і энергиясына бір емес, бірнеше, 2l  1

толқындық функциялар сəйкес келеді.